Страница 194 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Знаю правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; умею складывать и вычитать дроби.

1. 1) Сформулируйте и запишите с помощью букв правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

2) Выполните действия:

а) $\frac{2}{9} + \frac{1}{9}$;

б) $\frac{3}{5} + \frac{2}{7}$;

в) $\frac{11}{15} - \frac{3}{5}$;

г) $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$.

1)

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В буквенной форме это правило записывается так:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы вычесть одну дробь из другой с таким же знаменателем, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. В буквенной форме это правило записывается так:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

2)

а) $\frac{2}{9} + \frac{1}{9}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители, а знаменатель оставляем прежним:

$\frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2+1}{9} = \frac{3}{9}$

Полученную дробь $\frac{3}{9}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) $\frac{3}{5} + \frac{2}{7}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для знаменателей 5 и 7, которые являются простыми числами, НОЗ равен их произведению: $5 \cdot 7 = 35$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 35, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$

$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{10}{35}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{21+10}{35} = \frac{31}{35}$

Ответ: $\frac{31}{35}$.

в) $\frac{11}{15} - \frac{3}{5}$

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Для знаменателей 15 и 5 НОЗ равен 15, так как 15 делится на 5.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3}{5}$ равен $15 \div 5 = 3$. Первую дробь оставляем без изменений.

$\frac{11}{15} - \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{11}{15} - \frac{9}{15}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{11-9}{15} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$.

г) $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное для 6 и 4. НОК(6, 4) = 12.

Дополнительный множитель для первой дроби: $12 \div 6 = 2$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $12 \div 4 = 3$.

$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{10-3}{12} = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$.

Знаю правила умножения и деления дробей, умею умножать и делить дроби.

2. 1) Сформулируйте и запишите с помощью букв правила умножения и деления дробей.

2) Выполните действия:

а) $\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5}$

б) $\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49}$

в) $\frac{4}{15} \cdot \frac{2}{5}$

1)

Правило умножения дробей: чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение записать в числитель, а второе — в знаменатель.
Запись с помощью букв: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

Правило деления дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю), то есть на перевернутую вторую дробь.
Запись с помощью букв: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$.

2)

а) $\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 5} = \frac{14}{45}$.
Ответ: $\frac{14}{45}$.

б) $\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49} = \frac{14 \cdot 10}{15 \cdot 49}$. Перед умножением выполним сокращение: 14 и 49 сокращаются на 7, а 10 и 15 сокращаются на 5. Получаем: $\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21}$.
Ответ: $\frac{4}{21}$.

в) $\frac{4}{15} \div \frac{2}{5}$. Для выполнения деления заменим его на умножение, перевернув вторую дробь: $\frac{4}{15} \cdot \frac{5}{2} = \frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 2}$. Теперь выполним сокращение: 4 и 2 сокращаются на 2, а 5 и 15 сокращаются на 5. Получаем: $\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

Умею выделять целую часть из неправильной дроби и представлять смешанную дробь в виде неправильной.

3. 1) Как называется число $2\frac{1}{3}$? Что означает эта запись?

2) Представьте число $7\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби. Выделите целую часть из дроби $\frac{30}{7}$.

1) Число $2\frac{1}{3}$ называется смешанным числом.

Эта запись означает сумму целой и дробной частей. Смешанное число $2\frac{1}{3}$ состоит из целой части, равной 2, и дробной части, равной $\frac{1}{3}$. Таким образом, эта запись представляет собой сокращенную форму суммы целого числа и правильной дроби.

$2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}$

Ответ: Число $2\frac{1}{3}$ — это смешанное число, которое представляет собой сумму целого числа 2 и дроби $\frac{1}{3}$.

2) Эта задача состоит из двух частей: преобразование смешанного числа в неправильную дробь и выделение целой части из неправильной дроби.

Представим число $7\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби.
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Этот результат записывается в числитель новой дроби, а знаменатель остается без изменений.
$7\frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{35 + 2}{5} = \frac{37}{5}$

Выделим целую часть из дроби $\frac{30}{7}$.
Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.
Делим 30 на 7:
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
Таким образом, целая часть равна 4, числитель дробной части — 2, а знаменатель — 7.
$\frac{30}{7} = 4\frac{2}{7}$

Ответ: $7\frac{2}{5} = \frac{37}{5}$; из дроби $\frac{30}{7}$ можно выделить целую часть, получив смешанное число $4\frac{2}{7}$.

Умею вычислять значения выражений, содержащих дробные числа.

4. Выполните действия:

a) $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}$;

б) $2\frac{5}{6} - 1\frac{5}{12}$;

в) $4 - 1\frac{2}{3}$;

г) $3\frac{2}{7} - \frac{6}{7}$;

д) $1\frac{1}{3} \cdot 4$;

е) $3\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$;

ж) $2\frac{1}{4} : 3$;

з) $20 : 2\frac{1}{2}$.

а) $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}$. Для сложения смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 - это 4. Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ на 2: $1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 1\frac{2}{4}$. Теперь сложим целые и дробные части по отдельности: $3\frac{3}{4} + 1\frac{2}{4} = (3+1) + (\frac{3}{4} + \frac{2}{4}) = 4 + \frac{5}{4}$. Так как $\frac{5}{4}$ - неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$. Окончательный результат: $4 + 1\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$.
Ответ: $5\frac{1}{4}$

б) $2\frac{5}{6} - 1\frac{5}{12}$. Приведем дробные части к общему знаменателю 12. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{6}$ на 2: $2\frac{5}{6} = 2\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 2\frac{10}{12}$. Теперь вычтем целые и дробные части по отдельности: $2\frac{10}{12} - 1\frac{5}{12} = (2-1) + (\frac{10}{12} - \frac{5}{12}) = 1 + \frac{5}{12} = 1\frac{5}{12}$.
Ответ: $1\frac{5}{12}$

в) $4 - 1\frac{2}{3}$. Чтобы из целого числа вычесть смешанное, представим целое число 4 в виде смешанного числа со знаменателем 3. "Займем" единицу у 4: $4 = 3 + 1 = 3 + \frac{3}{3} = 3\frac{3}{3}$. Теперь выполним вычитание: $3\frac{3}{3} - 1\frac{2}{3} = (3-1) + (\frac{3}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$.
Ответ: $2\frac{1}{3}$

г) $3\frac{2}{7} - \frac{6}{7}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{7}$), "займем" единицу у целой части. $3\frac{2}{7} = 2 + 1 + \frac{2}{7} = 2 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 2\frac{9}{7}$. Теперь выполним вычитание: $2\frac{9}{7} - \frac{6}{7} = 2 + (\frac{9}{7} - \frac{6}{7}) = 2 + \frac{3}{7} = 2\frac{3}{7}$.
Ответ: $2\frac{3}{7}$

д) $1\frac{1}{3} \cdot 4$. Для умножения смешанного числа на целое, представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$. Теперь умножим полученную дробь на 4: $\frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{4 \cdot 4}{3} = \frac{16}{3}$. Выделим целую часть из результата: $16 : 3 = 5$ (остаток 1), значит $\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{3}$

е) $3\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$. Сначала переведем смешанное число $3\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$. Теперь умножим дроби: $\frac{13}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{13 \cdot 2}{4 \cdot 5}$. Перед умножением можно сократить 2 и 4 на 2: $\frac{13 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{13}{10}$. Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$.
Ответ: $1\frac{3}{10}$

ж) $2\frac{1}{4} : 3$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Деление на целое число 3 эквивалентно умножению на обратное число $\frac{1}{3}$. Выполним умножение: $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 1}{4 \cdot 3}$. Сократим 9 и 3 на 3: $\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

з) $20 : 2\frac{1}{2}$. Переведем смешанное число $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$. Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю. $20 : \frac{5}{2} = 20 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{5}$. Сократим 20 и 5 на 5: $\frac{4 \cdot 2}{1} = 8$.
Ответ: $8$

5. Найдите значение выражения:

а) $\frac{3}{7} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{4}{9}\right)$;

б) $\frac{4}{5} - \frac{1}{4} : \frac{5}{6}$.

а) Найдем значение выражения $\frac{3}{7} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{4}{9}\right)$.
Сначала выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 9 — это 9.
$\frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{3+4}{9} = \frac{7}{9}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 9}$
Сократим дробь на 7:
$\frac{3}{9}$
Теперь сократим дробь на 3:
$\frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Найдем значение выражения $\frac{4}{5} - \frac{1}{4} : \frac{5}{6}$.
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю.
$\frac{1}{4} : \frac{5}{6} = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20}$
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{6 : 2}{20 : 2} = \frac{3}{10}$
Теперь выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 — это 10.
$\frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10}$
Сократим итоговую дробь на 5:
$\frac{5 : 5}{10 : 5} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

6. Старший брат покрасил $\frac{7}{10}$ забора, а младший $-\frac{1}{4}$. Какая часть забора осталась непокрашенной?

Для того чтобы определить, какая часть забора осталась непокрашенной, нужно выполнить два действия: сначала найти общую часть забора, которую покрасили оба брата, а затем вычесть эту часть из целого (весь забор).

1. Находим общую покрашенную часть забора.
Чтобы найти, какую часть забора братья покрасили вместе, нужно сложить доли, покрашенные каждым из них.
Старший брат покрасил $\frac{7}{10}$ забора, а младший — $\frac{1}{4}$.
Складываем эти дроби: $\frac{7}{10} + \frac{1}{4}$.
Для сложения дробей с разными знаменателями их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 10 и 4 — это 20.
Приводим первую дробь к знаменателю 20 (дополнительный множитель 2):
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{14}{20}$
Приводим вторую дробь к знаменателю 20 (дополнительный множитель 5):
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$
Теперь складываем полученные дроби:
$\frac{14}{20} + \frac{5}{20} = \frac{14 + 5}{20} = \frac{19}{20}$
Следовательно, оба брата вместе покрасили $\frac{19}{20}$ забора.

2. Находим непокрашенную часть забора.
Весь забор принимается за единицу (1). Чтобы найти оставшуюся непокрашенной часть, нужно из единицы вычесть общую покрашенную часть.
Представим единицу в виде дроби со знаменателем 20: $1 = \frac{20}{20}$.
Вычитаем:
$1 - \frac{19}{20} = \frac{20}{20} - \frac{19}{20} = \frac{20 - 19}{20} = \frac{1}{20}$

Ответ: $\frac{1}{20}$ часть забора осталась непокрашенной.

7. В одной коробке $7\frac{1}{2}$ кг яблок, а в другой - в 3 раза меньше. Сколько килограммов яблок в двух коробках?

Для решения задачи выполним два действия.

1. Найдем, сколько килограммов яблок во второй коробке.

По условию, в первой коробке $7\frac{1}{2}$ кг яблок, а во второй — в 3 раза меньше. Чтобы найти массу яблок во второй коробке, нужно массу яблок из первой коробки разделить на 3.

Сначала преобразуем смешанное число $7\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$7\frac{1}{2} = \frac{7 \times 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$

Теперь разделим полученную дробь на 3:

$\frac{15}{2} \div 3 = \frac{15}{2 \times 3} = \frac{15}{6}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ кг.

Итак, во второй коробке находится $2\frac{1}{2}$ кг яблок.

2. Найдем, сколько всего килограммов яблок в двух коробках.

Для этого сложим массу яблок из первой и второй коробок:

$7\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2}$

Можно сложить целые и дробные части отдельно:

$7 + 2 = 9$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь сложим полученные результаты:

$9 + 1 = 10$ кг.

Ответ: 10 кг яблок в двух коробках.