Номер 8.151, страница 193 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.6. Нахождение части целого и целого по его части. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.151, страница 193.

8.151 Постройте в тетради отрезок OA и проведите окружность радиусом OA. Проведите радиусы OB, OC и OD так, чтобы $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle AOC = 90^\circ$, $\angle AOD = 135^\circ$ (транспортир не используйте). Чему равен угол DOB?

Для решения задачи выполним построение и вычисления.

Построение

Поскольку использование транспортира запрещено, мы будем строить углы с помощью циркуля и линейки.

1. Начертим произвольный отрезок OA и проведем окружность с центром в точке O и радиусом OA.
2. Для построения угла $ \angle AOC = 90^\circ $, построим прямую, перпендикулярную лучу OA и проходящую через точку O. Для этого продлим отрезок AO за точку O. Поставим иглу циркуля в точку O и проведем дугу, пересекающую прямую в двух точках (назовем их P и Q). Затем из точек P и Q проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем OA) так, чтобы они пересеклись. Соединим точку O с точкой пересечения этих дуг. Луч, который мы получили, будет перпендикулярен OA. Точку пересечения этого луча с нашей окружностью назовем C. Таким образом, мы построили $ \angle AOC = 90^\circ $.
3. Для построения угла $ \angle AOB = 45^\circ $, разделим угол $ \angle AOC $ пополам (построим его биссектрису). Для этого из точек A и C проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла $ \angle AOC $. Через точку пересечения этих дуг и точку O проведем луч. Точку пересечения этого луча с окружностью назовем B. Так как $ 45^\circ = 90^\circ / 2 $, то $ \angle AOB = 45^\circ $.
4. Для построения угла $ \angle AOD = 135^\circ $, заметим, что $ 135^\circ = 90^\circ + 45^\circ $. У нас уже есть угол $ \angle AOC = 90^\circ $. Теперь нам нужно отложить от луча OC угол в $ 45^\circ $ в сторону, противоположную лучу OA. Для этого построим биссектрису угла, смежного с углом $ \angle AOC $. Продлим луч AO за точку O до пересечения с окружностью в точке A'. Угол $ \angle A'OC = 90^\circ $. Построим биссектрису угла $ \angle A'OC $. Точку пересечения биссектрисы с окружностью назовем D. Тогда $ \angle COD = 45^\circ $. Угол $ \angle AOD $ будет равен сумме углов $ \angle AOC $ и $ \angle COD $: $ \angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ $.

Нахождение угла DOB

Угол $ \angle DOB $ можно найти как разность углов $ \angle AOD $ и $ \angle AOB $, так как луч OB находится между лучами OA и OD по нашему построению.

$ \angle DOB = \angle AOD - \angle AOB $

Подставим известные значения:

$ \angle DOB = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ $

Также можно было найти этот угол, сложив углы $ \angle DOC $ и $ \angle COB $. Из построения мы знаем, что $ \angle DOC = 45^\circ $. Угол $ \angle COB $ можно найти как разность: $ \angle COB = \angle AOC - \angle AOB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Тогда $ \angle DOB = \angle DOC + \angle COB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $.

Ответ: Угол DOB равен $90^\circ$.