Номер 3, страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 9. Треугольники и четырёхугольники. 9.1. Треугольники и их виды. Вопросы - номер 3, страница 197.

Условие.

Назовите:

равнобедренный прямоугольный треугольник;

равнобедренный тупоугольный треугольник;

равнобедренный остроугольный треугольник.

Решение 6.

равнобедренный прямоугольный треугольник
Это треугольник, у которого один угол прямой ($90^\circ$), а две стороны, образующие этот угол (катеты), равны между собой. В таком треугольнике углы при основании (гипотенузе) также равны. Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Поскольку один угол равен $90^\circ$, на два других угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них составляет $90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Таким образом, у равнобедренного прямоугольного треугольника углы равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.
Ответ: Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен $90^\circ$, а два других — по $45^\circ$.

равнобедренный тупоугольный треугольник
Это равнобедренный треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Если предположить, что угол при основании тупой, то сумма двух таких углов уже превысит $180^\circ$, что невозможно для треугольника. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине, то есть угол, образованный равными сторонами. Углы при основании в таком треугольнике всегда будут острыми и равными.
Например, если тупой угол при вершине равен $110^\circ$, то каждый из углов при основании будет равен $(180^\circ - 110^\circ) / 2 = 35^\circ$.
Ответ: Равнобедренный тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого угол между равными сторонами больше $90^\circ$, а два угла при основании равны и острые.

равнобедренный остроугольный треугольник
Это равнобедренный треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим каждый из них как $\alpha$. Тогда угол при вершине будет равен $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$. Чтобы треугольник был остроугольным, все его углы должны быть меньше $90^\circ$.
- Углы при основании $\alpha$ по определению должны быть острыми: $\alpha < 90^\circ$.
- Угол при вершине $\gamma$ также должен быть острым: $180^\circ - 2\alpha < 90^\circ$. Из этого неравенства следует, что $90^\circ < 2\alpha$, или $\alpha > 45^\circ$.
Следовательно, в равнобедренном остроугольном треугольнике равные углы при основании должны быть в диапазоне от $45^\circ$ до $90^\circ$ ($45^\circ < \alpha < 90^\circ$).
Частным и самым известным случаем является равносторонний треугольник, у которого все углы равны $60^\circ$. Другой пример: треугольник с углами $70^\circ$, $70^\circ$ и $40^\circ$.
Ответ: Равнобедренный остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы меньше $90^\circ$, при этом два равных угла при основании имеют величину больше $45^\circ$.