Страница 191 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.135 а) Велосипедисты за три дня проехали 144 км. В первый день они проехали $\frac{1}{3}$ всего пути, а во второй $-$ $\frac{5}{12}$ всего пути. Сколько километров они проехали в третий день?

б) Автотуристы за три дня проехали 360 км. В первый день они проехали $\frac{2}{5}$ всего пути, а во второй день $-$ $\frac{3}{8}$ всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

а)

1. Сначала найдем, какое расстояние велосипедисты проехали в первый день. Для этого умножим весь путь на соответствующую долю:

$144 \cdot \frac{1}{3} = \frac{144}{3} = 48$ км.

2. Теперь найдем расстояние, которое они проехали во второй день:

$144 \cdot \frac{5}{12} = \frac{144 \cdot 5}{12} = 12 \cdot 5 = 60$ км.

3. Сложим расстояния, пройденные за первые два дня, чтобы узнать, сколько всего они проехали:

$48 + 60 = 108$ км.

4. Наконец, чтобы найти расстояние, которое велосипедисты проехали в третий день, вычтем из общего расстояния путь, пройденный за первые два дня:

$144 - 108 = 36$ км.

Ответ: 36 км.

б)

1. Вычислим расстояние, которое автотуристы проехали в первый день, умножив общий путь на долю пути первого дня:

$360 \cdot \frac{2}{5} = \frac{360 \cdot 2}{5} = 72 \cdot 2 = 144$ км.

2. Вычислим расстояние, которое они проехали во второй день:

$360 \cdot \frac{3}{8} = \frac{360 \cdot 3}{8} = 45 \cdot 3 = 135$ км.

3. Найдем общее расстояние, пройденное за первые два дня, сложив результаты:

$144 + 135 = 279$ км.

4. Чтобы найти, сколько километров автотуристы проехали в третий день, вычтем из общего пути расстояние, пройденное за первые два дня:

$360 - 279 = 81$ км.

Ответ: 81 км.

8.136 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Разберите два способа решения задачи: «Ребята заработали 3500 р. На подарки к Новому году для ребят подшефного детского сада они потратили $ \frac{5}{7} $ всех денег. Сколько денег осталось?»

Способ 1. 1) $ 3500 \cdot \frac{5}{7} = 2500 $ (р.) — столько денег потратили.

2) $ 3500 - 2500 = 1000 $ (р.) — столько денег осталось.

Способ 2. 1) $ 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7} $ — такая часть денег осталась.

2) $ 3500 \cdot \frac{2}{7} = 1000 $ (р.) — столько денег осталось.

Решите задачу:

a) В тетради 24 страницы. В ней уже исписано $ \frac{5}{8} $ всех страниц. Сколько в тетради чистых страниц?

б) На дереве сидело 15 птиц. Подул ветер, и $ \frac{3}{5} $ из них улетело. Сколько птиц осталось на дереве?

а)

Способ 1:

1. Сначала найдем, сколько страниц в тетради уже исписано. Для этого общее количество страниц (24) умножим на долю исписанных страниц ($\frac{5}{8}$):

$24 \cdot \frac{5}{8} = \frac{24 \cdot 5}{8} = 3 \cdot 5 = 15$ (страниц) – исписано.

2. Затем вычтем из общего числа страниц количество исписанных, чтобы найти, сколько чистых страниц осталось:

$24 - 15 = 9$ (страниц).

Способ 2:

1. Сначала найдем, какая часть страниц в тетради осталась чистой. Все страницы в тетради – это целое, то есть 1. Вычтем из единицы долю исписанных страниц:

$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ – такая часть страниц осталась чистой.

2. Теперь найдем количество чистых страниц. Для этого общее количество страниц (24) умножим на долю чистых страниц ($\frac{3}{8}$):

$24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$ (страниц).

Ответ: в тетради 9 чистых страниц.

б)

Способ 1:

1. Сначала найдем, сколько птиц улетело. Для этого общее количество птиц (15) умножим на долю улетевших ($\frac{3}{5}$):

$15 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15 \cdot 3}{5} = 3 \cdot 3 = 9$ (птиц) – улетело.

2. Затем вычтем из общего числа птиц количество улетевших, чтобы найти, сколько птиц осталось на дереве:

$15 - 9 = 6$ (птиц).

Способ 2:

1. Сначала найдем, какая часть птиц осталась на дереве. Все птицы – это целое, то есть 1. Вычтем из единицы долю улетевших птиц:

$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ – такая часть птиц осталась на дереве.

2. Теперь найдем количество оставшихся птиц. Для этого общее количество птиц (15) умножим на долю оставшихся ($\frac{2}{5}$):

$15 \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{5} = 3 \cdot 2 = 6$ (птиц).

Ответ: на дереве осталось 6 птиц.

8.137 а) В драмкружке занимается несколько мальчиков и 24 девочки. Число всех мальчиков составляет $\frac{3}{8}$ числа девочек. Сколько всего учащихся занимается в драмкружке?

б) Фильм длится 80 мин. При трансляции по телевидению фильм прерывается рекламой, длительность которой составляет $\frac{3}{40}$ продолжительности фильма. Сколько времени займёт трансляция фильма (вместе с рекламой) по телевидению?

а)

1. По условию задачи, в драмкружке занимается 24 девочки. Число мальчиков составляет $ \frac{3}{8} $ от числа девочек. Чтобы найти число мальчиков, нужно умножить число девочек на эту дробь:
$ 24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9 $ (мальчиков).

2. Чтобы найти общее число учащихся в драмкружке, сложим число мальчиков и число девочек:
$ 9 + 24 = 33 $ (учащихся).

Ответ: всего в драмкружке занимается 33 учащихся.

б)

1. По условию, длительность фильма составляет 80 минут. Длительность рекламы составляет $ \frac{3}{40} $ от продолжительности фильма. Найдём, сколько минут длится реклама:
$ 80 \cdot \frac{3}{40} = \frac{80 \cdot 3}{40} = 2 \cdot 3 = 6 $ (минут).

2. Чтобы найти, сколько времени займёт вся трансляция, нужно сложить продолжительность фильма и длительность рекламы:
$ 80 + 6 = 86 $ (минут).

Ответ: трансляция фильма вместе с рекламой займёт 86 минут.

8.138 Какая из следующих задач является задачей на нахождение части целого, а какая — на нахождение целого по его части? Решите каждую из этих задач.

1) Сыну 10 лет. Его возраст составляет $\frac{2}{7}$ возраста отца. Сколько лет отцу?

2) Матери 40 лет. Возраст дочери составляет $\frac{2}{5}$ возраста матери. Сколько лет дочери?

1)

Это задача на нахождение целого по его части. В этой задаче известна часть (возраст сына, 10 лет), которая составляет $\frac{2}{7}$ от целого (возраста отца). Требуется найти целое.
Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно эту часть разделить на данную дробь.
$10 \div \frac{2}{7} = 10 \cdot \frac{7}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$ (лет).
Ответ: 35 лет.

2)

Это задача на нахождение части целого. В этой задаче известно целое (возраст матери, 40 лет), и требуется найти его часть (возраст дочери), которая составляет $\frac{2}{5}$ от целого.
Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь.
$40 \cdot \frac{2}{5} = \frac{40 \cdot 2}{5} = \frac{80}{5} = 16$ (лет).
Ответ: 16 лет.

8.139 а) Какова сумма денег, если 48 р. составляют $ \frac{3}{4} $ этой суммы?

б) Определите длину отрезка, $ \frac{3}{5} $ которого составляют 45 см.

а) Какова сумма денег, если 48 р. составляют 3/4 этой суммы?

Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которую эта часть составляет от целого.

В данном случае, нам известно, что 48 рублей – это $\frac{3}{4}$ от всей суммы. Пусть искомая сумма – это $x$. Тогда можно составить уравнение:

$\frac{3}{4} \cdot x = 48$

Чтобы найти $x$, нужно 48 разделить на $\frac{3}{4}$. При делении на дробь, мы умножаем на дробь, обратную делителю:

$x = 48 \div \frac{3}{4} = 48 \cdot \frac{4}{3} = \frac{48 \cdot 4}{3}$

Сократим 48 и 3 ( $48 \div 3 = 16$ ):

$x = 16 \cdot 4 = 64$ (р.)

Также можно рассуждать по-другому. Если 3 части из 4 составляют 48 рублей, то сначала найдем, сколько составляет одна часть ($\frac{1}{4}$):

1) $48 \div 3 = 16$ (р.) – составляет одна четвертая часть суммы.

Вся сумма состоит из четырех таких частей, поэтому:

2) $16 \cdot 4 = 64$ (р.) – составляет вся сумма.

Ответ: 64 р.

б) Определите длину отрезка, 3/5 которого составляют 45 см.

Эта задача решается аналогично предыдущей. Нам нужно найти всю длину отрезка, зная, что 45 см – это $\frac{3}{5}$ от этой длины.

Пусть искомая длина отрезка – это $L$. Составим уравнение:

$\frac{3}{5} \cdot L = 45$

Найдем $L$, разделив 45 на $\frac{3}{5}$:

$L = 45 \div \frac{3}{5} = 45 \cdot \frac{5}{3} = \frac{45 \cdot 5}{3}$

Сократим 45 и 3 ( $45 \div 3 = 15$ ):

$L = 15 \cdot 5 = 75$ (см)

Рассуждая по частям: если 3 части из 5 составляют 45 см, то найдем, сколько составляет одна часть ($\frac{1}{5}$):

1) $45 \div 3 = 15$ (см) – составляет одна пятая часть отрезка.

Весь отрезок состоит из пяти таких частей, следовательно:

2) $15 \cdot 5 = 75$ (см) – длина всего отрезка.

Ответ: 75 см.