Страница 188 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.131 Запишите дроби в порядке возрастания: $ \frac{7}{15} $, $ \frac{14}{15} $, $ \frac{2}{15} $, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{1}{10} $, $ \frac{3}{4} $.

Подсказка. Выделите две группы дробей: меньшие $ \frac{1}{2} $ и большие $ \frac{1}{2} $.

Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, воспользуемся подсказкой и разделим их на две группы: дроби, которые меньше $\frac{1}{2}$, и дроби, которые больше $\frac{1}{2}$. Дробь $\frac{1}{2}$ будет находиться между этими двумя группами.

1. Сначала сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$. Дробь меньше $\frac{1}{2}$, если ее числитель меньше половины знаменателя.

• $\frac{7}{15}$: половина от 15 это 7,5. Так как $7 < 7,5$, то $\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$.
• $\frac{14}{15}$: так как $14 > 7,5$, то $\frac{14}{15} > \frac{1}{2}$.
• $\frac{2}{15}$: так как $2 < 7,5$, то $\frac{2}{15} < \frac{1}{2}$.
• $\frac{3}{5}$: половина от 5 это 2,5. Так как $3 > 2,5$, то $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$.
• $\frac{1}{10}$: половина от 10 это 5. Так как $1 < 5$, то $\frac{1}{10} < \frac{1}{2}$.
• $\frac{3}{4}$: половина от 4 это 2. Так как $3 > 2$, то $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили следующие группы:

• Группа 1 (дроби меньше $\frac{1}{2}$): $\frac{7}{15}, \frac{2}{15}, \frac{1}{10}$.
• Группа 2 (дроби больше $\frac{1}{2}$): $\frac{14}{15}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}$.

2. Теперь упорядочим дроби внутри каждой группы, приведя их к общему знаменателю.

Для Группы 1 ($\frac{7}{15}, \frac{2}{15}, \frac{1}{10}$) наименьший общий знаменатель равен 30.

• $\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30}$
• $\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{14}{30}$
• $\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{3}{30}$

Сравнивая числители ($3 < 4 < 14$), располагаем дроби в порядке возрастания: $\frac{1}{10}, \frac{2}{15}, \frac{7}{15}$.

Для Группы 2 ($\frac{14}{15}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}$) наименьший общий знаменатель равен 60.

• $\frac{14}{15} = \frac{14 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{56}{60}$
• $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{36}{60}$
• $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60}$

Сравнивая числители ($36 < 45 < 56$), располагаем дроби в порядке возрастания: $\frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{14}{15}$.

3. Наконец, объединим все части в один итоговый ряд. Сначала идут дроби из первой группы в порядке возрастания, затем $\frac{1}{2}$, и после нее — дроби из второй группы в порядке возрастания.

$\frac{1}{10}, \frac{2}{15}, \frac{7}{15}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{14}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{10}, \frac{2}{15}, \frac{7}{15}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{14}{15}$.

8.132 Дана последовательность сумм: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \frac{1}{8} + \frac{1}{16}, ...$

1) Продолжите эту последовательность, записав еще три суммы.

2) Вычислите значения первых трех сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трех сумм, и проверьте себя вычислением.

1) Продолжите эту последовательность, записав ещё три суммы.

Заданная последовательность состоит из сумм. Каждая следующая сумма получается путем добавления к предыдущей следующего члена вида $\frac{1}{2^n}$. Четвертая сумма в последовательности — это $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$. Следующие три члена, которые нужно последовательно добавить, это $\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$, $\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$ и $\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}$.
Таким образом, следующие три суммы в последовательности будут:
Пятая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$
Шестая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$
Седьмая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}$
Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$; $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$; $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}$.

2) Вычислите значения первых трёх сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трёх сумм, и проверьте себя вычислением.

Сначала вычислим значения первых трёх сумм, обозначив их $S_1, S_2, S_3$:
$S_1 = \frac{1}{2}$
$S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Заметим, что результаты можно представить в виде $S_n = \frac{2^n-1}{2^n}$.
$S_1 = \frac{2^1-1}{2^1} = \frac{1}{2}$, $S_2 = \frac{2^2-1}{2^2} = \frac{3}{4}$, $S_3 = \frac{2^3-1}{2^3} = \frac{7}{8}$.
Основываясь на этой закономерности, можно догадаться, чему равны значения следующих трёх сумм ($S_4, S_5, S_6$):
$S_4 = \frac{2^4 - 1}{2^4} = \frac{15}{16}$
$S_5 = \frac{2^5 - 1}{2^5} = \frac{31}{32}$
$S_6 = \frac{2^6 - 1}{2^6} = \frac{63}{64}$

Теперь проверим нашу догадку прямым вычислением:
$S_4 = S_3 + \frac{1}{16} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16} = \frac{14}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. (Совпадает)
$S_5 = S_4 + \frac{1}{32} = \frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{30}{32} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$. (Совпадает)
$S_6 = S_5 + \frac{1}{64} = \frac{31}{32} + \frac{1}{64} = \frac{62}{64} + \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$. (Совпадает)
Ответ: Значения первых трёх сумм: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$. Значения следующих трёх сумм: $\frac{15}{16}$, $\frac{31}{32}$, $\frac{63}{64}$.