Номер 8.132, страница 188 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 8. Действия с дробями. 8.5. Деление дробей. Упражнения - номер 8.132, страница 188.

Условие.

8.132 Дана последовательность сумм: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \frac{1}{8} + \frac{1}{16}, ...$

1) Продолжите эту последовательность, записав еще три суммы.

2) Вычислите значения первых трех сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трех сумм, и проверьте себя вычислением.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Продолжите эту последовательность, записав ещё три суммы.

Заданная последовательность состоит из сумм. Каждая следующая сумма получается путем добавления к предыдущей следующего члена вида $\frac{1}{2^n}$. Четвертая сумма в последовательности — это $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$. Следующие три члена, которые нужно последовательно добавить, это $\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$, $\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$ и $\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}$.
Таким образом, следующие три суммы в последовательности будут:
Пятая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$
Шестая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$
Седьмая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}$
Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$; $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$; $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}$.

2) Вычислите значения первых трёх сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трёх сумм, и проверьте себя вычислением.

Сначала вычислим значения первых трёх сумм, обозначив их $S_1, S_2, S_3$:
$S_1 = \frac{1}{2}$
$S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Заметим, что результаты можно представить в виде $S_n = \frac{2^n-1}{2^n}$.
$S_1 = \frac{2^1-1}{2^1} = \frac{1}{2}$, $S_2 = \frac{2^2-1}{2^2} = \frac{3}{4}$, $S_3 = \frac{2^3-1}{2^3} = \frac{7}{8}$.
Основываясь на этой закономерности, можно догадаться, чему равны значения следующих трёх сумм ($S_4, S_5, S_6$):
$S_4 = \frac{2^4 - 1}{2^4} = \frac{15}{16}$
$S_5 = \frac{2^5 - 1}{2^5} = \frac{31}{32}$
$S_6 = \frac{2^6 - 1}{2^6} = \frac{63}{64}$

Теперь проверим нашу догадку прямым вычислением:
$S_4 = S_3 + \frac{1}{16} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16} = \frac{14}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. (Совпадает)
$S_5 = S_4 + \frac{1}{32} = \frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{30}{32} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$. (Совпадает)
$S_6 = S_5 + \frac{1}{64} = \frac{31}{32} + \frac{1}{64} = \frac{62}{64} + \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$. (Совпадает)
Ответ: Значения первых трёх сумм: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$. Значения следующих трёх сумм: $\frac{15}{16}$, $\frac{31}{32}$, $\frac{63}{64}$.