Номер 8.132, страница 188 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.5. Деление дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.132, страница 188.

8.132 Дана последовательность сумм: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \frac{1}{8} + \frac{1}{16}, ...$

1) Продолжите эту последовательность, записав еще три суммы.

2) Вычислите значения первых трех сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трех сумм, и проверьте себя вычислением.

1) Продолжите эту последовательность, записав ещё три суммы.

Заданная последовательность состоит из сумм. Каждая следующая сумма получается путем добавления к предыдущей следующего члена вида $\frac{1}{2^n}$. Четвертая сумма в последовательности — это $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$. Следующие три члена, которые нужно последовательно добавить, это $\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$, $\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$ и $\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}$.
Таким образом, следующие три суммы в последовательности будут:
Пятая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$
Шестая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$
Седьмая сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}$
Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$; $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$; $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}$.

2) Вычислите значения первых трёх сумм. Догадайтесь, чему равны значения следующих трёх сумм, и проверьте себя вычислением.

Сначала вычислим значения первых трёх сумм, обозначив их $S_1, S_2, S_3$:
$S_1 = \frac{1}{2}$
$S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$S_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Заметим, что результаты можно представить в виде $S_n = \frac{2^n-1}{2^n}$.
$S_1 = \frac{2^1-1}{2^1} = \frac{1}{2}$, $S_2 = \frac{2^2-1}{2^2} = \frac{3}{4}$, $S_3 = \frac{2^3-1}{2^3} = \frac{7}{8}$.
Основываясь на этой закономерности, можно догадаться, чему равны значения следующих трёх сумм ($S_4, S_5, S_6$):
$S_4 = \frac{2^4 - 1}{2^4} = \frac{15}{16}$
$S_5 = \frac{2^5 - 1}{2^5} = \frac{31}{32}$
$S_6 = \frac{2^6 - 1}{2^6} = \frac{63}{64}$

Теперь проверим нашу догадку прямым вычислением:
$S_4 = S_3 + \frac{1}{16} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16} = \frac{14}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. (Совпадает)
$S_5 = S_4 + \frac{1}{32} = \frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{30}{32} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$. (Совпадает)
$S_6 = S_5 + \frac{1}{64} = \frac{31}{32} + \frac{1}{64} = \frac{62}{64} + \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$. (Совпадает)
Ответ: Значения первых трёх сумм: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$. Значения следующих трёх сумм: $\frac{15}{16}$, $\frac{31}{32}$, $\frac{63}{64}$.