Страница 187 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.126 От причала вниз по реке отплыл плот. Ниже по течению реки на расстоянии 17 км от первого причала находится второй причал. От него на встречу плоту через $2/3$ ч после отплытия плота отправляется теплоход. Собственная скорость теплохода равна 25 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч. Через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом?

Для решения задачи необходимо определить скорости движения плота и теплохода относительно берега, а также расстояние между ними в момент, когда теплоход начал движение.

1. Скорость плота равна скорости течения реки, так как плот движется по течению, не имея собственного двигателя.
$v_{плота} = v_{течения} = 3$ км/ч.

2. Теплоход движется от второго причала к первому, то есть против течения реки. Его скорость относительно берега будет равна разности его собственной скорости и скорости течения.
$v_{теплохода} = v_{собств.} - v_{течения} = 25 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 22$ км/ч.

3. Теплоход отправляется через $\frac{2}{3}$ часа после плота. За это время плот успевает отплыть от первого причала на некоторое расстояние. Вычислим это расстояние:
$S_{1} = v_{плота} \cdot t_{форы} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$ км.

4. Изначально расстояние между причалами составляло 17 км. К моменту начала движения теплохода расстояние между ним и плотом сократилось на то расстояние, которое уже проплыл плот.
$S_{между} = 17 \text{ км} - S_{1} = 17 - 2 = 15$ км.

5. Плот и теплоход движутся навстречу друг другу. Найдем их скорость сближения, которая равна сумме их скоростей.
$v_{сближения} = v_{плота} + v_{теплохода} = 3 \text{ км/ч} + 22 \text{ км/ч} = 25$ км/ч.

6. Теперь можно найти время, через которое они встретятся после начала движения теплохода. Для этого разделим расстояние между ними на скорость сближения.
$t_{встречи} = \frac{S_{между}}{v_{сближения}} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ ч.

7. Вопрос задачи — через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом. Это время состоит из времени, которое плот плыл один ($\frac{2}{3}$ ч), и времени, которое они двигались навстречу друг другу до встречи ($\frac{3}{5}$ ч).
$T_{общее} = t_{форы} + t_{встречи} = \frac{2}{3} + \frac{3}{5}$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$T_{общее} = \frac{2 \cdot 5}{15} + \frac{3 \cdot 3}{15} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15}$ ч.

Результат можно представить в виде смешанной дроби:
$T_{общее} = 1\frac{4}{15}$ ч.

Ответ: $1\frac{4}{15}$ ч.

8.127 Расстояние между пунктами А и В составляет 20 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Один шёл со скоростью $4\frac{1}{2}$ км/ч, другой — со скоростью $5\frac{1}{2}$ км/ч. Встретившись, туристы продолжили идти каждый в своём направлении. Через какое время после начала движения расстояние между ними было равным 4 км? (Рассмотрите два случая.)

Для решения задачи сначала найдем скорость сближения (а после встречи - скорость удаления) туристов. Она равна сумме их скоростей.

Скорость первого туриста: $v_1 = 4\frac{1}{2} = 4.5$ км/ч.

Скорость второго туриста: $v_2 = 5\frac{1}{2} = 5.5$ км/ч.

Скорость сближения (и удаления): $v_{общ} = v_1 + v_2 = 4.5 + 5.5 = 10$ км/ч.

В задаче указано рассмотреть два случая, когда расстояние между туристами будет равно 4 км.

Случай 1: Туристы еще не встретились

Изначально расстояние между туристами составляло 20 км. Чтобы расстояние между ними стало 4 км, им нужно вместе пройти расстояние:

$S_1 = 20 - 4 = 16$ км.

Найдем время, за которое они вместе пройдут это расстояние, двигаясь навстречу друг другу со скоростью сближения 10 км/ч:

$t_1 = \frac{S_1}{v_{общ}} = \frac{16}{10} = 1.6$ часа.

Чтобы перевести в часы и минуты: $1.6 \text{ ч} = 1 \text{ час} + 0.6 \cdot 60 \text{ мин} = 1 \text{ час } 36 \text{ минут}$.

Ответ: 1,6 часа.

Случай 2: Туристы встретились и продолжили движение

В этом случае туристы сначала прошли все 20 км до встречи, а затем, продолжив движение, удалились друг от друга на 4 км. Общее расстояние, которое они прошли вместе с момента начала движения, составляет:

$S_2 = 20 + 4 = 24$ км.

Найдем время, за которое они вместе преодолеют это расстояние, двигаясь со скоростью сближения/удаления 10 км/ч:

$t_2 = \frac{S_2}{v_{общ}} = \frac{24}{10} = 2.4$ часа.

Чтобы перевести в часы и минуты: $2.4 \text{ ч} = 2 \text{ часа} + 0.4 \cdot 60 \text{ мин} = 2 \text{ часа } 24 \text{ минуты}$.

Ответ: 2,4 часа.

8.128 Два курьера идут навстречу друг другу и в пути встречаются. Через $5/12 \text{ ч}$ после их встречи расстояние между ними стало равным $3\frac{3}{4} \text{ км}$. С какой скоростью движется первый курьер, если скорость движения второго курьера $3\frac{1}{2} \text{ км/ч}$?

Пусть $v_1$ – скорость первого курьера, а $v_2$ – скорость второго курьера. После встречи они продолжили движение, удаляясь друг от друга. Скорость, с которой они удаляются (скорость удаления), равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_1 + v_2$.

Расстояние $S$, которое образовалось между ними за время $t$, вычисляется по формуле: $S = v_{уд} \cdot t$.

По условию задачи имеем:

Время движения после встречи $t = \frac{5}{12}$ ч.

Расстояние между курьерами $S = 3\frac{3}{4}$ км.

Скорость второго курьера $v_2 = 3\frac{1}{2}$ км/ч.

Необходимо найти скорость первого курьера $v_1$.

1. Найдём общую скорость удаления курьеров.

Для этого выразим скорость удаления из формулы расстояния: $v_{уд} = \frac{S}{t}$.

Предварительно переведём смешанную дробь $S$ в неправильную для удобства вычислений:

$S = 3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$ км.

Теперь подставим значения в формулу:

$v_{уд} = \frac{15}{4} \div \frac{5}{12} = \frac{15}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{15 \cdot 12}{4 \cdot 5}$

Сократим полученное выражение:

$v_{уд} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 5} = 3 \cdot 3 = 9$ км/ч.

2. Найдём скорость первого курьера.

Так как $v_{уд} = v_1 + v_2$, то скорость первого курьера можно найти, вычтя из скорости удаления скорость второго курьера:

$v_1 = v_{уд} - v_2$

Переведём скорость второго курьера в неправильную дробь:

$v_2 = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ км/ч.

Вычислим $v_1$:

$v_1 = 9 - \frac{7}{2} = \frac{18}{2} - \frac{7}{2} = \frac{18 - 7}{2} = \frac{11}{2}$ км/ч.

Представим результат в виде смешанной дроби:

$v_1 = 5\frac{1}{2}$ км/ч.

Ответ: $5\frac{1}{2}$ км/ч.

8.129 Вычислите данную сумму и представьте её в виде квадрата некоторого числа, при необходимости воспользуйтесь таблицей квадратов двузначных чисел (см. с. 296):

а) $5^2 + 12^2;$

б) $8^2 + 15^2;$

в) $8^2 + 6^2;$

г) $10^2 + 24^2.$

Образец. Вычислим сумму $3^2 + 4^2$.

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Так как $25 = 5^2$, то $3^2 + 4^2 = 5^2$.

а) Для того чтобы вычислить сумму $5^2 + 12^2$ и представить её в виде квадрата, выполним следующие действия:
1. Возведем каждое число в квадрат: $5^2 = 25$ и $12^2 = 144$.
2. Сложим полученные результаты: $25 + 144 = 169$.
3. Найдем число, квадрат которого равен 169. Это число 13, так как $13^2 = 169$.
Таким образом, $5^2 + 12^2 = 13^2$.
Ответ: $13^2$

б) Вычислим сумму $8^2 + 15^2$ и представим её в виде квадрата:
1. Найдем значения квадратов: $8^2 = 64$ и $15^2 = 225$.
2. Сложим эти значения: $64 + 225 = 289$.
3. Найдем число, квадрат которого равен 289. Это число 17, так как $17^2 = 289$.
Следовательно, $8^2 + 15^2 = 17^2$.
Ответ: $17^2$

в) Вычислим сумму $8^2 + 6^2$ и представим её в виде квадрата:
1. Возведем числа в квадрат: $8^2 = 64$ и $6^2 = 36$.
2. Найдем сумму результатов: $64 + 36 = 100$.
3. Найдем число, квадрат которого равен 100. Это число 10, так как $10^2 = 100$.
Значит, $8^2 + 6^2 = 10^2$.
Ответ: $10^2$

г) Вычислим сумму $10^2 + 24^2$ и представим её в виде квадрата:
1. Вычислим значения квадратов: $10^2 = 100$ и $24^2 = 576$.
2. Сложим полученные числа: $100 + 576 = 676$.
3. Найдем число, квадрат которого равен 676. Воспользовавшись таблицей квадратов или выполнив проверку, находим, что это 26, так как $26^2 = 676$.
Таким образом, $10^2 + 24^2 = 26^2$.
Ответ: $26^2$

8.130 Рассмотрите рисунок 8.8 и ответьте на вопросы:

1) Сколько окружностей изображено на рисунке?

2) Скольким клеткам равен радиус каждой окружности?

Рис. 8.8

3) Центры окружностей являются вершинами многоугольника. Что это за многоугольник?

Скопируйте рисунок.

1) Сколько окружностей изображено на рисунке?

На рисунке изображены четыре одинаковые пересекающиеся окружности: одна сверху, одна снизу, одна слева и одна справа. Путем простого подсчета определяем их общее количество.

Ответ: 4.

2) Скольким клеткам равен радиус каждой окружности?

Рассмотрим любую из окружностей, например, самую левую. Ее центр отмечен точкой и находится на пересечении линий сетки. Если измерить расстояние от центра этой окружности до самой левой или самой правой ее точки вдоль горизонтальной линии сетки, то оно составит 2 клетки. Аналогично, для верхней окружности расстояние от ее центра до самой верхней или самой нижней точки вдоль вертикальной линии сетки также составляет 2 клетки. Таким образом, радиус каждой окружности равен двум клеткам.

Ответ: 2 клеткам.

3) Центры окружностей являются вершинами многоугольника. Что это за многоугольник?

На рисунке 4 окружности, следовательно, у многоугольника, образованного их центрами, 4 вершины. Это четырехугольник. Чтобы определить его вид, соединим центры окружностей. Введем систему координат, приняв левый нижний узел сетки, на которой нарисован узор, за начало координат (0,0). Тогда центры окружностей будут иметь следующие координаты: нижний центр $A(2, 1)$, левый центр $B(1, 2)$, верхний центр $C(2, 3)$ и правый центр $D(3, 2)$. Найдем длины сторон четырехугольника $ABCD$, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Длина стороны $AB = \sqrt{(1-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Длина стороны $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Длина стороны $CD = \sqrt{(3-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Длина стороны $DA = \sqrt{(2-3)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Все стороны четырехугольника равны ($AB=BC=CD=DA=\sqrt{2}$), значит, это ромб. Теперь найдем длины его диагоналей, чтобы проверить, является ли он квадратом.
Длина диагонали $AC = \sqrt{(2-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
Длина диагонали $BD = \sqrt{(3-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
Так как диагонали ромба равны ($AC=BD=2$), этот четырехугольник является квадратом.

Ответ: квадрат.

Скопируйте рисунок.

Чтобы скопировать рисунок, нужно выполнить следующие действия: 1. На листе бумаги в клетку начертите квадратную сетку, например, размером 4x4 клетки. 2. Отметьте центры четырех окружностей. Если принять левый нижний угол сетки 4x4 за точку (0,0), то центры будут в точках с координатами (2,1), (1,2), (2,3) и (3,2). 3. Из каждой отмеченной точки как из центра начертите с помощью циркуля окружность радиусом, равным двум клеткам.

Ответ: Инструкция по копированию рисунка предоставлена.