Страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Сформулируйте правило деления дроби на дробь. Запишите это правило с помощью букв и проиллюстрируйте его на примере деления дроби $\frac{10}{21}$ на дробь $\frac{2}{3}$.

Правило деления дроби на дробь
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Обратная дробь получается путем перестановки числителя и знаменателя исходной дроби.

Запись правила с помощью букв
Для дробей вида $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, где $b \neq 0$, $c \neq 0$, $d \neq 0$, правило деления выглядит следующим образом:
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример деления дроби $\frac{10}{21}$ на дробь $\frac{2}{3}$
Чтобы разделить $\frac{10}{21}$ на $\frac{2}{3}$, мы должны умножить $\frac{10}{21}$ на дробь, обратную $\frac{2}{3}$, то есть на $\frac{3}{2}$.
$\frac{10}{21} \div \frac{2}{3} = \frac{10}{21} \cdot \frac{3}{2}$
Перед тем как перемножить числители и знаменатели, можно выполнить сокращение для упрощения вычислений. Сократим 10 и 2 на 2, а 21 и 3 на 3:
$\frac{\cancel{10}^5}{\cancel{21}_7} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{2}_1} = \frac{5 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{5}{7}$
Если выполнить умножение без предварительного сокращения, получится:
$\frac{10 \cdot 3}{21 \cdot 2} = \frac{30}{42}$
Теперь сократим полученную дробь $\frac{30}{42}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:
$\frac{30 \div 6}{42 \div 6} = \frac{5}{7}$
Ответ: $\frac{5}{7}$

Покажите на примере, как разделить дробь на натуральное число.

Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель этой дроби умножить на данное число, а числитель оставить без изменений.

Давайте рассмотрим пример. Разделим дробь $ \frac{3}{5} $ на натуральное число $4$.

Следуя правилу, мы умножаем знаменатель $5$ на число $4$ и записываем результат в знаменатель новой дроби. Числитель $3$ остается прежним:

$ \frac{3}{5} \div 4 = \frac{3}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20} $

Это правило легко объяснить. Деление на число — это то же самое, что и умножение на обратное ему число. Натуральное число $4$ можно представить в виде дроби $ \frac{4}{1} $. Обратным к нему будет число $ \frac{1}{4} $. Таким образом, наше деление превращается в умножение:

$ \frac{3}{5} \div 4 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20} $

Рассмотрим еще один пример: $ \frac{8}{9} \div 4 $. Если числитель дроби делится на натуральное число нацело (как здесь $8 \div 4 = 2$), то можно просто разделить числитель, а знаменатель оставить тем же:

$ \frac{8}{9} \div 4 = \frac{8 \div 4}{9} = \frac{2}{9} $

Это всего лишь частный случай общего правила, так как если бы мы умножили знаменатель, то получили бы тот же ответ после сокращения:

$ \frac{8}{9} \div 4 = \frac{8}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36} = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9} $

Ответ: Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения. Например: $ \frac{3}{5} \div 4 = \frac{3}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20} $.

На примере деления чисел $3\frac{1}{3}$ и $1\frac{1}{6}$ расскажите, как выполняют деление смешанных дробей.

Чтобы выполнить деление смешанных дробей, необходимо сначала преобразовать их в неправильные дроби, а затем выполнить деление по правилам деления обыкновенных дробей. Рассмотрим этот процесс на примере деления $3\frac{1}{3}$ на $1\frac{1}{6}$.

Шаг 1: Преобразование смешанных дробей в неправильные

Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, нужно умножить её целую часть на знаменатель и к результату прибавить числитель. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним.

Преобразуем делимое $3\frac{1}{3}$:

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{9 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Преобразуем делитель $1\frac{1}{6}$:

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \times 6 + 1}{6} = \frac{6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

Шаг 2: Выполнение деления неправильных дробей

Теперь наша задача сводится к делению одной неправильной дроби на другую: $\frac{10}{3} \div \frac{7}{6}$.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Обратная дробь получается путем замены числителя и знаменателя местами.

Дробь, обратная $\frac{7}{6}$, это $\frac{6}{7}$.

Заменяем деление умножением:

$\frac{10}{3} \div \frac{7}{6} = \frac{10}{3} \times \frac{6}{7}$

Шаг 3: Умножение и сокращение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения вычислений, можно сократить дроби до умножения, если у числителя одной дроби и знаменателя другой есть общий делитель. В нашем случае числа 6 и 3 делятся на 3.

$\frac{10}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{10}{\cancel{3}_1} \times \frac{\cancel{6}_2}{7} = \frac{10 \times 2}{1 \times 7} = \frac{20}{7}$

Шаг 4: Преобразование результата в смешанную дробь

Мы получили неправильную дробь $\frac{20}{7}$, так как ее числитель больше знаменателя. Чтобы выделить целую часть, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком.

$20 \div 7 = 2$ (остаток $6$)

Целая часть (2) становится целой частью смешанной дроби, остаток (6) — её числителем, а знаменатель (7) остается без изменений.

$\frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$

Таким образом, результатом деления $3\frac{1}{3}$ на $1\frac{1}{6}$ является $2\frac{6}{7}$.

Ответ: $2\frac{6}{7}$

8.99 Запишите дробь, обратную данной:

а) $\frac{2}{5}$;

б) $\frac{7}{9}$;

в) $\frac{12}{5}$;

г) $\frac{9}{4}$;

д) $\frac{1}{3}$;

е) $\frac{m}{n}$.

Дробь, обратная данной (или взаимно обратная дробь), — это дробь, которая при умножении на исходную дает в результате единицу. Чтобы найти дробь, обратную дроби $\frac{a}{b}$, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель. В результате получится дробь $\frac{b}{a}$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$).

а) Дана дробь $\frac{2}{5}$. Чтобы найти обратную, меняем местами числитель 2 и знаменатель 5.
Ответ: $\frac{5}{2}$

б) Дана дробь $\frac{7}{9}$. Чтобы найти обратную, меняем местами числитель 7 и знаменатель 9.
Ответ: $\frac{9}{7}$

в) Дана дробь $\frac{12}{5}$. Чтобы найти обратную, меняем местами числитель 12 и знаменатель 5.
Ответ: $\frac{5}{12}$

г) Дана дробь $\frac{9}{4}$. Чтобы найти обратную, меняем местами числитель 9 и знаменатель 4.
Ответ: $\frac{4}{9}$

д) Дана дробь $\frac{1}{3}$. Чтобы найти обратную, меняем местами числитель 1 и знаменатель 3. Получаем дробь $\frac{3}{1}$, которая равна целому числу 3.
Ответ: $3$

е) Дана дробь $\frac{m}{n}$. Чтобы найти обратную, меняем местами числитель $m$ и знаменатель $n$. При этом предполагается, что и числитель, и знаменатель отличны от нуля ($m \neq 0, n \neq 0$).
Ответ: $\frac{n}{m}$

8.100 Найдите произведение:

а) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}$;

б) $\frac{1}{6} \cdot 6$;

в) $\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8}$;

г) $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$.

а) Для нахождения произведения двух дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели. В данном случае дроби являются взаимно обратными, а произведение взаимно обратных чисел всегда равно единице.

Выполним умножение: $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = \frac{24}{24} = 1$.

Также можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе перед умножением:

$\frac{\cancel{3}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{3}} = 1$.

Ответ: 1

б) Чтобы умножить дробь на целое число, можно представить это число в виде дроби со знаменателем 1. Как и в предыдущем примере, мы имеем произведение взаимно обратных чисел.

$\frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 1} = \frac{6}{6} = 1$.

Сократив общий множитель 6, получим тот же результат:

$\frac{1}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{1} = 1$.

Ответ: 1

в) Чтобы найти произведение нескольких дробей, перемножим все их числители, а результат запишем в числитель новой дроби, и перемножим все их знаменатели, а результат запишем в знаменатель.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 9}{9 \cdot 10 \cdot 8}$.

Теперь сократим одинаковые множители (8 и 9) в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{8} \cdot \cancel{9} \cdot 9}{\cancel{9} \cdot 10 \cdot \cancel{8}} = \frac{9}{10}$.

Ответ: $\frac{9}{10}$

г) Для удобства вычислений можно перегруппировать множители, используя переместительное свойство умножения. Сгруппируем каждое целое число с обратной ему дробью.

$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = (2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (3 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (4 \cdot \frac{1}{4})$.

Так как произведение числа на обратное ему число равно 1, получаем:

$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Альтернативный способ — представить все числа в виде дробей и выполнить умножение, а затем сокращение:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{24}{24} = 1$.

Ответ: 1