Номер 8.100, страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.5. Деление дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.100, страница 183.

8.100 Найдите произведение:

а) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}$;

б) $\frac{1}{6} \cdot 6$;

в) $\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8}$;

г) $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$.

а) Для нахождения произведения двух дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели. В данном случае дроби являются взаимно обратными, а произведение взаимно обратных чисел всегда равно единице.

Выполним умножение: $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = \frac{24}{24} = 1$.

Также можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе перед умножением:

$\frac{\cancel{3}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{3}} = 1$.

Ответ: 1

б) Чтобы умножить дробь на целое число, можно представить это число в виде дроби со знаменателем 1. Как и в предыдущем примере, мы имеем произведение взаимно обратных чисел.

$\frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 1} = \frac{6}{6} = 1$.

Сократив общий множитель 6, получим тот же результат:

$\frac{1}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{1} = 1$.

Ответ: 1

в) Чтобы найти произведение нескольких дробей, перемножим все их числители, а результат запишем в числитель новой дроби, и перемножим все их знаменатели, а результат запишем в знаменатель.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 9}{9 \cdot 10 \cdot 8}$.

Теперь сократим одинаковые множители (8 и 9) в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{8} \cdot \cancel{9} \cdot 9}{\cancel{9} \cdot 10 \cdot \cancel{8}} = \frac{9}{10}$.

Ответ: $\frac{9}{10}$

г) Для удобства вычислений можно перегруппировать множители, используя переместительное свойство умножения. Сгруппируем каждое целое число с обратной ему дробью.

$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = (2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (3 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (4 \cdot \frac{1}{4})$.

Так как произведение числа на обратное ему число равно 1, получаем:

$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Альтернативный способ — представить все числа в виде дробей и выполнить умножение, а затем сокращение:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{24}{24} = 1$.

Ответ: 1