Страница 178 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Сформулируйте правило умножения дроби на дробь. Запишите это правило с помощью букв и проиллюстрируйте его на примере произведения $\frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5}$.

Правило умножения дроби на дробь

Чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо найти произведение числителей этих дробей и записать его в числитель результирующей дроби, а также найти произведение знаменателей и записать его в знаменатель результирующей дроби.

Запись правила с помощью букв

В общем виде это правило можно записать с помощью следующей формулы:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$, где $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Иллюстрация на примере произведения $\frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5}$

Применим правило к заданному произведению. Перемножим числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй:

$\frac{10}{21} \cdot \frac{3}{5} = \frac{10 \cdot 3}{21 \cdot 5}$

Прежде чем вычислять произведение, удобно выполнить сокращение дроби. Для этого разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Числитель 10 и знаменатель 5 можно сократить на 5. Числитель 3 и знаменатель 21 можно сократить на 3:

$\frac{\cancel{10}^2 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{21}_7 \cdot \cancel{5}_1} = \frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7}$

Таким образом, результатом умножения является дробь $\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$.

Покажите на примере произведения $\frac{3}{8} \cdot 4$, как можно умножать дробь на натуральное число.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, необходимо числитель этой дроби умножить на данное число, а знаменатель оставить без изменения.

Рассмотрим этот процесс на примере произведения $ \frac{3}{8} \cdot 4 $.

Согласно правилу, умножаем числитель дроби, равный 3, на натуральное число 4. Знаменатель 8 оставляем без изменений:

$ \frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{3 \cdot 4}{8} $

Далее есть два варианта вычислений:

1. Сначала выполнить умножение, а потом сократить.

Вычисляем произведение в числителе:

$ \frac{3 \cdot 4}{8} = \frac{12}{8} $

Полученную дробь $ \frac{12}{8} $ можно сократить, так как и числитель (12), и знаменатель (8) делятся на 4 (это их наибольший общий делитель).

$ \frac{12 \div 4}{8 \div 4} = \frac{3}{2} $

2. Сначала сократить, а потом выполнить умножение.

В выражении $ \frac{3 \cdot 4}{8} $ можно сократить множитель 4 в числителе и знаменатель 8 на их общий делитель 4. Этот способ часто бывает удобнее, так как позволяет избежать вычислений с большими числами.

$ \frac{3 \cdot 4}{8} = \frac{3 \cdot (4 \div 4)}{8 \div 4} = \frac{3 \cdot 1}{2} = \frac{3}{2} $

Оба способа приводят к одному и тому же результату $ \frac{3}{2} $. Это неправильная дробь, которую можно представить в виде смешанного числа, выделив целую часть:

$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{3 \cdot 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $

На примере произведения чисел $1\frac{1}{3}$ и $2\frac{2}{5}$ расскажите, как умножают смешанные дроби.

Чтобы умножить смешанные дроби, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Каждую смешанную дробь нужно преобразовать в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и к полученному результату прибавляют числитель. Полученное число записывают в числитель новой дроби, а знаменатель оставляют прежним.

2. Полученные неправильные дроби перемножают. Произведение числителей становится новым числителем, а произведение знаменателей — новым знаменателем.

3. Если в результате получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя или равен ему), то из неё выделяют целую часть, то есть преобразуют обратно в смешанную дробь. Для этого новый числитель делят на знаменатель с остатком. Частное становится целой частью, остаток — новым числителем, а знаменатель не меняется.

4. Если дробная часть полученной смешанной дроби является сократимой, её нужно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примере произведения чисел $1\frac{1}{3}$ и $2\frac{2}{5}$.

Шаг 1: Преобразование в неправильные дроби.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

Шаг 2: Умножение неправильных дробей.
$\frac{4}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{4 \cdot 12}{3 \cdot 5} = \frac{48}{15}$

Шаг 3: Выделение целой части.
Полученная дробь $\frac{48}{15}$ — неправильная. Разделим числитель на знаменатель с остатком: $48 \div 15 = 3$ (остаток $3$).
Значит, $\frac{48}{15} = 3\frac{3}{15}$.

Шаг 4: Сокращение дробной части.
Дробную часть $ \frac{3}{15} $ можно сократить, так как и числитель $3$, и знаменатель $15$ делятся на $3$.
$\frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}$
Таким образом, конечный результат: $3\frac{1}{5}$.

Ответ: $1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{5} = 3\frac{1}{5}$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Выполните умножение (8.76–8.79).

8.76 а) $&frac{1}{3} \cdot &frac{2}{7}$;

б) $&frac{1}{2} \cdot &frac{5}{6}$;

в) $&frac{3}{4} \cdot &frac{1}{4}$;

г) $&frac{4}{9} \cdot &frac{2}{3}$;

д) $&frac{2}{5} \cdot &frac{7}{5}$.

а) Чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Результаты записать в числитель и знаменатель новой дроби соответственно.
$ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{2}{21} $
Полученная дробь $ \frac{2}{21} $ является несократимой, так как числитель 2 и знаменатель 21 не имеют общих делителей, кроме 1.
Ответ: $ \frac{2}{21} $.

б) Умножим числитель первой дроби (1) на числитель второй (5) и знаменатель первой дроби (2) на знаменатель второй (6).
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 6} = \frac{5}{12} $
Дробь $ \frac{5}{12} $ несократима.
Ответ: $ \frac{5}{12} $.

в) Выполним умножение числителей (3 и 1) и знаменателей (4 и 4).
$ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{3}{16} $
Дробь $ \frac{3}{16} $ несократима.
Ответ: $ \frac{3}{16} $.

г) Перемножим числители дробей (4 и 2) и их знаменатели (9 и 3).
$ \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{8}{27} $
Дробь $ \frac{8}{27} $ несократима.
Ответ: $ \frac{8}{27} $.

д) Найдем произведение числителей (2 и 7) и произведение знаменателей (5 и 5).
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{14}{25} $
Дробь $ \frac{14}{25} $ несократима.
Ответ: $ \frac{14}{25} $.

8.77 а) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{5}$;

б) $\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9}$;

в) $\frac{8}{21} \cdot \frac{7}{10}$;

г) $\frac{8}{15} \cdot \frac{25}{28}$;

д) $\frac{2}{15} \cdot \frac{5}{22}$.

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Результат, если возможно, следует сократить. Удобнее проводить сокращение до умножения, находя общие делители у числителя одной дроби и знаменателя другой.
$ \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 5} $
Сократим числитель 3 и знаменатель 9 на их общий делитель 3:
$ \frac{8 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{9}^3 \cdot 5} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} $
Ответ: $ \frac{8}{15} $

б) Перемножим числители и знаменатели данных дробей:
$ \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 9} $
Здесь мы умножаем дробь на обратную ей. Сократим 9 в числителе и 9 в знаменателе, а также 2 в числителе и 2 в знаменателе:
$ \frac{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{2}^1}{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{9}^1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1 $
Ответ: $ 1 $

в) Перемножим числители и знаменатели дробей, а затем выполним сокращение:
$ \frac{8}{21} \cdot \frac{7}{10} = \frac{8 \cdot 7}{21 \cdot 10} $
Сократим числитель 8 и знаменатель 10 на их общий делитель 2. Также сократим числитель 7 и знаменатель 21 на их общий делитель 7:
$ \frac{\cancel{8}^4 \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{21}^3 \cdot \cancel{10}^5} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15} $
Ответ: $ \frac{4}{15} $

г) Перемножим числители и знаменатели, после чего сократим полученную дробь:
$ \frac{8}{15} \cdot \frac{25}{28} = \frac{8 \cdot 25}{15 \cdot 28} $
Сократим числитель 8 и знаменатель 28 на их общий делитель 4. Сократим числитель 25 и знаменатель 15 на их общий делитель 5:
$ \frac{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{25}^5}{\cancel{15}^3 \cdot \cancel{28}^7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} $
Ответ: $ \frac{10}{21} $

д) Перемножим числители и знаменатели, а затем сократим:
$ \frac{2}{15} \cdot \frac{5}{22} = \frac{2 \cdot 5}{15 \cdot 22} $
Сократим числитель 2 и знаменатель 22 на их общий делитель 2. Сократим числитель 5 и знаменатель 15 на их общий делитель 5:
$ \frac{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{15}^3 \cdot \cancel{22}^{11}} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 11} = \frac{1}{33} $
Ответ: $ \frac{1}{33} $

8.78 а) $ \frac{3}{7} \cdot 2;$

б) $ 3 \cdot \frac{1}{6};$

в) $ 9 \cdot \frac{5}{6};$

г) $ \frac{2}{5} \cdot 15;$

д) $ \frac{1}{4} \cdot 4;$

е) $ 5 \cdot \frac{1}{5};$

ж) $ 8 \cdot \frac{3}{8};$

з) $ 6 \cdot \frac{3}{4}.$

а) Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
$ \frac{3}{7} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 2}{7} = \frac{6}{7} $
Ответ: $ \frac{6}{7} $

б) Умножаем числитель дроби на натуральное число, а знаменатель оставляем прежним.
$ 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 1}{6} = \frac{3}{6} $
Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3.
$ \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Умножаем число на числитель дроби.
$ 9 \cdot \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 5}{6} = \frac{45}{6} $
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3.
$ \frac{45 \div 3}{6 \div 3} = \frac{15}{2} $
Так как это неправильная дробь, выделим целую часть. Разделим 15 на 2, получим 7 и в остатке 1.
$ \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} $
Ответ: $ 7\frac{1}{2} $

г) Умножаем числитель дроби на число.
$ \frac{2}{5} \cdot 15 = \frac{2 \cdot 15}{5} = \frac{30}{5} $
Разделим числитель на знаменатель.
$ 30 \div 5 = 6 $
Ответ: $ 6 $

д) Умножаем числитель дроби на число.
$ \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{1 \cdot 4}{4} = \frac{4}{4} $
Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1.
$ \frac{4}{4} = 1 $
Ответ: $ 1 $

е) Умножаем число на числитель дроби.
$ 5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1}{5} = \frac{5}{5} = 1 $
Произведение взаимно обратных чисел всегда равно 1.
Ответ: $ 1 $

ж) Умножаем число на числитель дроби.
$ 8 \cdot \frac{3}{8} = \frac{8 \cdot 3}{8} $
Можно сократить множитель 8 в числителе и знаменателе.
$ \frac{\cancel{8} \cdot 3}{\cancel{8}} = 3 $
Ответ: $ 3 $

з) Умножаем число на числитель дроби.
$ 6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 3}{4} = \frac{18}{4} $
Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2.
$ \frac{18 \div 2}{4 \div 2} = \frac{9}{2} $
Выделим целую часть из неправильной дроби. Разделим 9 на 2, получим 4 и в остатке 1.
$ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $
Ответ: $ 4\frac{1}{2} $

8.79 а) $2\frac{1}{3} \cdot 2;$

б) $4 \cdot 1\frac{1}{2};$

в) $1\frac{1}{3} \cdot 9;$

г) $\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3};$

д) $\frac{7}{8} \cdot 5\frac{1}{3}.$

а) $2\frac{1}{3} \cdot 2$

Для того чтобы умножить смешанное число на целое, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь умножим полученную дробь на 2:

$\frac{7}{3} \cdot 2 = \frac{7 \cdot 2}{3} = \frac{14}{3}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком. Целая часть результата деления будет целой частью смешанного числа, остаток — числителем, а знаменатель останется прежним.

$14 \div 3 = 4$ (остаток $2$)

$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$

Ответ: $4\frac{2}{3}$

б) $4 \cdot 1\frac{1}{2}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь умножим 4 на полученную дробь:

$4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2}$

Сократим дробь:

$\frac{12}{2} = 6$

Ответ: 6

в) $1\frac{1}{3} \cdot 9$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Умножим полученную дробь на 9. Можно сократить знаменатель 3 и число 9 на 3.

$\frac{4}{3} \cdot 9 = \frac{4 \cdot 9}{3} = 4 \cdot 3 = 12$

Ответ: 12

г) $\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь умножим две дроби. Для этого умножим их числители и знаменатели:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{21}{21}$

Сократим дробь:

$\frac{21}{21} = 1$

Ответ: 1

д) $\frac{7}{8} \cdot 5\frac{1}{3}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Теперь умножим дроби:

$\frac{7}{8} \cdot \frac{16}{3} = \frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 3}$

Перед умножением можно сократить 16 в числителе и 8 в знаменателе на 8:

$\frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{14}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$14 \div 3 = 4$ (остаток $2$)

$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$

Ответ: $4\frac{2}{3}$