Страница 172 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Расскажите на примере выражения $1\frac{3}{7} - \frac{5}{7}$, как вычислить разность двух чисел, если одно из них (или оба) является смешанной дробью.

Чтобы вычислить разность двух чисел, когда одно из них (или оба) является смешанной дробью, нужно привести их к виду, удобному для вычитания. Рассмотрим это на примере выражения $1\frac{3}{7} - \frac{5}{7}$.

В этом примере мы вычитаем из смешанного числа правильную дробь. Сложность заключается в том, что дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{7}$) меньше, чем вычитаемая дробь ($\frac{5}{7}$). Для решения этой задачи есть два основных способа.

Первый способ: преобразование в неправильную дробь

Это наиболее универсальный метод, который подходит для любых действий со смешанными числами.

1. Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{3}{7}$ в неправильную. Для этого целую часть (1) умножаем на знаменатель (7) и к результату прибавляем числитель (3). Полученное число ($1 \cdot 7 + 3 = 10$) становится новым числителем, а знаменатель (7) остается прежним: $1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$.
2. Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{10}{7} - \frac{5}{7}$.
3. Поскольку у дробей одинаковые знаменатели, мы можем просто вычесть их числители, оставив знаменатель без изменений: $\frac{10 - 5}{7} = \frac{5}{7}$.

Второй способ: «занимание» единицы у целой части

Этот метод позволяет работать со смешанными числами, не преобразуя их полностью в неправильные дроби.

1. Мы видим, что вычесть $\frac{5}{7}$ из $\frac{3}{7}$ напрямую нельзя, так как $3 < 5$. Поэтому мы «занимаем» 1 у целой части числа $1\frac{3}{7}$. После этого целая часть становится равной $0$ (так как $1-1=0$).
2. Занятую единицу мы представляем в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробных частей. В нашем случае это 7, то есть $1 = \frac{7}{7}$.
3. Прибавляем эту дробь к имеющейся дробной части уменьшаемого: $\frac{7}{7} + \frac{3}{7} = \frac{10}{7}$.
4. Таким образом, мы представили число $1\frac{3}{7}$ в виде $\frac{10}{7}$.
5. Теперь выполняем вычитание: $\frac{10}{7} - \frac{5}{7} = \frac{5}{7}$.

Оба способа приводят к одному и тому же правильному результату.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

Выполните сложение (8.46–8.49).

8.46 a) $1 + 1\frac{1}{4}$;

б) $3\frac{1}{2} + 7$;

в) $3 + 1\frac{2}{3} + 6$;

г) $2\frac{3}{8} + 3 + 7$;

д) $9 + 8 + 1\frac{2}{3}$;

е) $1\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} + 3$.

Образец. $2 + 5\frac{1}{6} = (2 + 5) + \frac{1}{6} = 7 + \frac{1}{6} = 7\frac{1}{6}$.

а) Чтобы сложить целое число и смешанное число, нужно сложить их целые части, а дробную часть оставить без изменений.
$1 + 1\frac{1}{4} = (1 + 1) + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$
Ответ: $2\frac{1}{4}$

б) Складываем целые части смешанного числа и целого числа, а дробную часть приписываем к результату.
$3\frac{1}{2} + 7 = (3 + 7) + \frac{1}{2} = 10 + \frac{1}{2} = 10\frac{1}{2}$
Ответ: $10\frac{1}{2}$

в) Чтобы сложить несколько целых чисел и смешанное число, нужно сложить все целые части, а дробную часть оставить без изменений.
$3 + 1\frac{2}{3} + 6 = (3 + 1 + 6) + \frac{2}{3} = 10 + \frac{2}{3} = 10\frac{2}{3}$
Ответ: $10\frac{2}{3}$

г) Складываем все целые части вместе, а дробную часть добавляем к полученной сумме.
$2\frac{3}{8} + 3 + 7 = (2 + 3 + 7) + \frac{3}{8} = 12 + \frac{3}{8} = 12\frac{3}{8}$
Ответ: $12\frac{3}{8}$

д) Складываем все целые числа, включая целую часть смешанного числа, и приписываем дробную часть.
$9 + 8 + 1\frac{2}{3} = (9 + 8 + 1) + \frac{2}{3} = 18 + \frac{2}{3} = 18\frac{2}{3}$
Ответ: $18\frac{2}{3}$

е) Чтобы сложить несколько смешанных чисел и целое число, нужно отдельно сложить все целые части и отдельно все дробные части, а затем сложить полученные результаты.
$1\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} + 3 = (1 + 2 + 3) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = 6 + \frac{1+1}{3} = 6 + \frac{2}{3} = 6\frac{2}{3}$
Ответ: $6\frac{2}{3}$

8.47 a) $3\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$;

б) $4\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3}$;

в) $2\frac{3}{8} + 3\frac{5}{8}$;

г) $3\frac{2}{3} + 1\frac{2}{3}$;

д) $\frac{5}{7} + 5\frac{4}{7}$;

е) $5\frac{2}{9} + 2\frac{1}{9}$.

а) При сложении смешанного числа и дроби с одинаковыми знаменателями, складываем дробные части, а целую часть оставляем без изменений. Если в результате сложения дробных частей получается целое число, прибавляем его к целой части.
$3\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 3 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 3 + \frac{1+1}{2} = 3 + \frac{2}{2} = 3 + 1 = 4$.
Ответ: $4$

б) При сложении смешанных чисел с одинаковыми знаменателями, складываем отдельно целые части и отдельно дробные части.
$4\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3} = (4+1) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 5 + \frac{1+2}{3} = 5 + \frac{3}{3} = 5 + 1 = 6$.
Ответ: $6$

в) Складываем отдельно целые и дробные части.
$2\frac{3}{8} + 3\frac{5}{8} = (2+3) + (\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) = 5 + \frac{3+5}{8} = 5 + \frac{8}{8} = 5 + 1 = 6$.
Ответ: $6$

г) Складываем отдельно целые и дробные части. Так как сумма дробных частей является неправильной дробью, выделяем из нее целую часть и прибавляем к сумме целых частей.
$3\frac{2}{3} + 1\frac{2}{3} = (3+1) + (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = 4 + \frac{4}{3} = 4 + 1\frac{1}{3} = 5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{3}$

д) При сложении дроби и смешанного числа с одинаковыми знаменателями, складываем дробные части, а целую часть оставляем без изменений. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть и прибавляем к имеющейся целой части.
$\frac{5}{7} + 5\frac{4}{7} = 5 + (\frac{5}{7} + \frac{4}{7}) = 5 + \frac{5+4}{7} = 5 + \frac{9}{7} = 5 + 1\frac{2}{7} = 6\frac{2}{7}$.
Ответ: $6\frac{2}{7}$

е) Складываем отдельно целые и дробные части. Полученную в результате дробную часть необходимо сократить, если это возможно.
$5\frac{2}{9} + 2\frac{1}{9} = (5+2) + (\frac{2}{9} + \frac{1}{9}) = 7 + \frac{2+1}{9} = 7 + \frac{3}{9} = 7\frac{1}{3}$.
Ответ: $7\frac{1}{3}$

8.48 a) $\frac{3}{8} + 2\frac{1}{4};$

B) $5\frac{2}{15} + 3\frac{2}{9};$

Д) $1\frac{3}{5} + 10\frac{1}{4};$

б) $\frac{1}{4} + 3\frac{1}{6};$

Г) $2\frac{4}{9} + \frac{1}{6};$

e) $4\frac{1}{4} + \frac{2}{9}.$

а) Чтобы сложить дробь и смешанное число, приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 8 и 4 равен 8. Затем сложим целые и дробные части.

$\frac{3}{8} + 2\frac{1}{4} = \frac{3}{8} + 2\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} + 2\frac{2}{8} = 2\frac{3+2}{8} = 2\frac{5}{8}$

Ответ: $2\frac{5}{8}$.

б) Для сложения дроби и смешанного числа, приведем их дробные части к общему знаменателю. НОЗ для 4 и 6 равен 12. Затем сложим целые и дробные части.

$\frac{1}{4} + 3\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + 3\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{3}{12} + 3\frac{2}{12} = 3\frac{3+2}{12} = 3\frac{5}{12}$

Ответ: $3\frac{5}{12}$.

в) Чтобы сложить смешанные числа, сложим их целые и дробные части по отдельности. НОЗ для 15 и 9 равен 45.

$5\frac{2}{15} + 3\frac{2}{9} = (5+3) + (\frac{2}{15} + \frac{2}{9}) = 8 + (\frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5}) = 8 + (\frac{6}{45} + \frac{10}{45}) = 8 + \frac{16}{45} = 8\frac{16}{45}$

Ответ: $8\frac{16}{45}$.

г) Для сложения смешанного числа и дроби, приведем дробные части к общему знаменателю. НОЗ для 9 и 6 равен 18.

$2\frac{4}{9} + \frac{1}{6} = 2 + (\frac{4}{9} + \frac{1}{6}) = 2 + (\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3}) = 2 + (\frac{8}{18} + \frac{3}{18}) = 2 + \frac{11}{18} = 2\frac{11}{18}$

Ответ: $2\frac{11}{18}$.

д) Чтобы сложить смешанные числа, сложим их целые и дробные части по отдельности. НОЗ для 5 и 4 равен 20.

$1\frac{3}{5} + 10\frac{1}{4} = (1+10) + (\frac{3}{5} + \frac{1}{4}) = 11 + (\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5}) = 11 + (\frac{12}{20} + \frac{5}{20}) = 11 + \frac{17}{20} = 11\frac{17}{20}$

Ответ: $11\frac{17}{20}$.

е) Для сложения смешанного числа и дроби, приведем дробные части к общему знаменателю. НОЗ для 4 и 9 равен 36.

$4\frac{1}{4} + \frac{2}{9} = 4 + (\frac{1}{4} + \frac{2}{9}) = 4 + (\frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4}) = 4 + (\frac{9}{36} + \frac{8}{36}) = 4 + \frac{17}{36} = 4\frac{17}{36}$

Ответ: $4\frac{17}{36}$.

8.49 a) $2\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3};$

б) $8\frac{3}{5} + 1\frac{9}{10};$

в) $\frac{7}{20} + 8\frac{3}{4};$

г) $12\frac{5}{6} + \frac{4}{15};$

д) $8\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8};$

e) $1\frac{4}{5} + 3\frac{11}{30}.$

а) $2\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3}$

Чтобы сложить смешанные числа, мы можем сложить их целые и дробные части по отдельности.

$2\frac{3}{4} + 1\frac{2}{3} = (2 + 1) + (\frac{3}{4} + \frac{2}{3})$

Сначала складываем целые части:

$2 + 1 = 3$

Затем складываем дробные части. Для этого нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 4 и 3 равно 12. Это будет наш общий знаменатель.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

Теперь складываем дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{9 + 8}{12} = \frac{17}{12}$

Полученная дробь $\frac{17}{12}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть:

$\frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$

Теперь сложим полученные результаты (сумму целых частей и сумму дробных частей):

$3 + 1\frac{5}{12} = 4\frac{5}{12}$

Ответ: $4\frac{5}{12}$

б) $8\frac{3}{5} + 1\frac{9}{10}$

Складываем целые части: $8 + 1 = 9$.

Складываем дробные части. Общий знаменатель для 5 и 10 это 10.

$\frac{3}{5} + \frac{9}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{9}{10} = \frac{6}{10} + \frac{9}{10} = \frac{6 + 9}{10} = \frac{15}{10}$

Сокращаем дробь $\frac{15}{10}$ на 5 и выделяем целую часть:

$\frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Складываем результаты:

$9 + 1\frac{1}{2} = 10\frac{1}{2}$

Ответ: $10\frac{1}{2}$

в) $\frac{7}{20} + 8\frac{3}{4}$

В этом примере одно из слагаемых не имеет целой части. Складываем дробные части. Общий знаменатель для 20 и 4 это 20.

$\frac{7}{20} + \frac{3}{4} = \frac{7}{20} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{7}{20} + \frac{15}{20} = \frac{7 + 15}{20} = \frac{22}{20}$

Сокращаем дробь $\frac{22}{20}$ на 2 и выделяем целую часть:

$\frac{22}{20} = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$

Добавляем полученный результат к целой части второго слагаемого:

$8 + 1\frac{1}{10} = 9\frac{1}{10}$

Ответ: $9\frac{1}{10}$

г) $12\frac{5}{6} + \frac{4}{15}$

Складываем дробные части. Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 15. Он равен 30.

$\frac{5}{6} + \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{25}{30} + \frac{8}{30} = \frac{25 + 8}{30} = \frac{33}{30}$

Сокращаем дробь $\frac{33}{30}$ на 3 и выделяем целую часть:

$\frac{33}{30} = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$

Добавляем полученный результат к целой части первого слагаемого:

$12 + 1\frac{1}{10} = 13\frac{1}{10}$

Ответ: $13\frac{1}{10}$

д) $8\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8}$

Складываем целые части: $8 + 2 = 10$.

Складываем дробные части. Наименьший общий знаменатель для 6 и 8 это 24.

$\frac{5}{6} + \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{20 + 9}{24} = \frac{29}{24}$

Выделяем целую часть из дроби $\frac{29}{24}$:

$\frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$

Складываем результаты:

$10 + 1\frac{5}{24} = 11\frac{5}{24}$

Ответ: $11\frac{5}{24}$

е) $1\frac{4}{5} + 3\frac{11}{30}$

Складываем целые части: $1 + 3 = 4$.

Складываем дробные части. Общий знаменатель для 5 и 30 это 30.

$\frac{4}{5} + \frac{11}{30} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{11}{30} = \frac{24}{30} + \frac{11}{30} = \frac{24 + 11}{30} = \frac{35}{30}$

Сокращаем дробь $\frac{35}{30}$ на 5 и выделяем целую часть:

$\frac{35}{30} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

Складываем результаты:

$4 + 1\frac{1}{6} = 5\frac{1}{6}$

Ответ: $5\frac{1}{6}$

8.50 а) В среду уроки в 5 классе длились $3\frac{1}{3}$ ч, а перемены - $\frac{5}{6}$ ч. Сколько времени пятиклассники находились в школе? Выразите ответ сначала в часах, а затем в часах и минутах.

б) Масса котёнка $\frac{3}{5}$ кг, а масса щенка $1\frac{3}{4}$ кг. Какими будут показания весов, если их поместить на весы вместе? Дайте ответ сначала в килограммах, а затем в килограммах и граммах.

а)

1. Чтобы найти, сколько времени пятиклассники находились в школе, нужно сложить продолжительность уроков и продолжительность перемен.
$3\frac{1}{3} + \frac{5}{6}$

2. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 равен 6.
$3\frac{1}{3} = 3\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 3\frac{2}{6}$

3. Теперь выполним сложение:
$3\frac{2}{6} + \frac{5}{6} = 3\frac{2+5}{6} = 3\frac{7}{6}$

4. Так как дробная часть $\frac{7}{6}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть:
$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$
Следовательно, $3\frac{7}{6} = 3 + 1\frac{1}{6} = 4\frac{1}{6}$ ч.

5. Теперь выразим это время в часах и минутах. Мы знаем, что в 1 часе 60 минут.
$4\frac{1}{6}$ часа — это 4 целых часа и $\frac{1}{6}$ часа.
Найдем, сколько минут составляет $\frac{1}{6}$ часа:
$\frac{1}{6} \cdot 60 = \frac{60}{6} = 10$ минут.
Таким образом, общее время, проведенное в школе, составляет 4 часа 10 минут.

Ответ: $4\frac{1}{6}$ ч, или 4 ч 10 мин.

б)

1. Чтобы найти, какими будут показания весов, нужно сложить массу котенка и массу щенка.
$\frac{3}{5} + 1\frac{3}{4}$

2. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 равен 20.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$
$1\frac{3}{4} = 1\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 1\frac{15}{20}$

3. Теперь выполним сложение:
$\frac{12}{20} + 1\frac{15}{20} = 1\frac{12+15}{20} = 1\frac{27}{20}$

4. Так как дробная часть $\frac{27}{20}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть:
$\frac{27}{20} = 1\frac{7}{20}$
Следовательно, $1\frac{27}{20} = 1 + 1\frac{7}{20} = 2\frac{7}{20}$ кг.

5. Теперь выразим эту массу в килограммах и граммах. Мы знаем, что в 1 кг 1000 граммов.
$2\frac{7}{20}$ кг — это 2 целых килограмма и $\frac{7}{20}$ кг.
Найдем, сколько граммов составляет $\frac{7}{20}$ кг:
$\frac{7}{20} \cdot 1000 = 7 \cdot 50 = 350$ г.
Таким образом, общая масса составляет 2 кг 350 г.

Ответ: $2\frac{7}{20}$ кг, или 2 кг 350 г.