Страница 170 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.36 Сравните числа:

а) $3\frac{1}{2}$ и $4\frac{1}{3}$;

б) $4\frac{3}{4}$ и $4\frac{1}{4}$;

в) $5\frac{1}{4}$ и $5\frac{1}{3}$;

г) $8\frac{2}{3}$ и $8\frac{2}{5}$.

а) Сравним числа $3\frac{1}{2}$ и $4\frac{1}{3}$.

Для сравнения смешанных чисел в первую очередь сравнивают их целые части. Целая часть первого числа равна 3, а второго — 4. Поскольку $3 < 4$, то и всё число $3\frac{1}{2}$ меньше, чем $4\frac{1}{3}$, независимо от дробных частей.

Ответ: $3\frac{1}{2} < 4\frac{1}{3}$.

б) Сравним числа $4\frac{3}{4}$ и $4\frac{1}{4}$.

Целые части этих чисел равны (оба равны 4). В этом случае необходимо сравнить их дробные части: $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$.

Так как у этих дробей одинаковые знаменатели, большей будет та дробь, у которой больше числитель. Сравниваем числители: $3 > 1$. Следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$.

Поэтому $4\frac{3}{4} > 4\frac{1}{4}$.

Ответ: $4\frac{3}{4} > 4\frac{1}{4}$.

в) Сравним числа $5\frac{1}{4}$ и $5\frac{1}{3}$.

Целые части этих чисел равны (оба равны 5). Сравним их дробные части: $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

Теперь сравним дроби $\frac{3}{12}$ и $\frac{4}{12}$. Так как $3 < 4$, то $\frac{3}{12} < \frac{4}{12}$.

Следовательно, $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$, и поэтому $5\frac{1}{4} < 5\frac{1}{3}$.

Ответ: $5\frac{1}{4} < 5\frac{1}{3}$.

г) Сравним числа $8\frac{2}{3}$ и $8\frac{2}{5}$.

Целые части этих чисел равны (оба равны 8). Сравним их дробные части: $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 — это 15.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$

Теперь сравним дроби $\frac{10}{15}$ и $\frac{6}{15}$. Так как $10 > 6$, то $\frac{10}{15} > \frac{6}{15}$.

Следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$, и поэтому $8\frac{2}{3} > 8\frac{2}{5}$.

Ответ: $8\frac{2}{3} > 8\frac{2}{5}$.

8.37 а) Велосипедист проехал $23 \text{ км}$ за $2 \text{ ч}$. Какой была скорость велосипедиста?

б) Пешеход прошёл $10 \text{ км}$ со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Сколько часов находился пешеход в пути?

а)

Чтобы найти скорость велосипедиста, необходимо разделить пройденное расстояние на время, за которое это расстояние было пройдено.

Дано:
Расстояние ($S$) = 23 км
Время ($t$) = 2 ч

Воспользуемся формулой нахождения скорости: $v = \frac{S}{t}$.

Подставим известные значения в формулу:

$v = \frac{23 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 11,5 \text{ км/ч}$.

Ответ: 11,5 км/ч.

б)

Чтобы найти время, которое пешеход находился в пути, необходимо разделить пройденное расстояние на скорость пешехода.

Дано:
Расстояние ($S$) = 10 км
Скорость ($v$) = 4 км/ч

Воспользуемся формулой нахождения времени: $t = \frac{S}{v}$.

Подставим известные значения в формулу:

$t = \frac{10 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 2,5 \text{ ч}$.

Ответ: 2,5 часа.

8.38 Выразите в километрах:

а) 2 км 400 м, 1 км 750 м, 3 км 250 м, 6 км 200 м,

б) 3200 м, 1450 м, 5500 м, 20 300 м.

Образец. Выразим 3 км 500 м в километрах.

Так как 500 м = $\frac{1}{2}$ км, то 3 км 500 м = $3\frac{1}{2}$ км.

а) Чтобы выразить данные величины в километрах, необходимо часть, выраженную в метрах, перевести в километры и прибавить к уже имеющейся части в километрах. Для перевода метров в километры используется соотношение: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, из которого следует, что $1 \text{ м} = \frac{1}{1000} \text{ км}$.

• 2 км 400 м
Переводим 400 м в километры: $400 \text{ м} = \frac{400}{1000} \text{ км} = \frac{4}{10} \text{ км} = \frac{2}{5} \text{ км}$.
Таким образом, $2 \text{ км } 400 \text{ м} = 2 \text{ км} + \frac{2}{5} \text{ км} = 2\frac{2}{5} \text{ км}$.

• 1 км 750 м
Переводим 750 м в километры: $750 \text{ м} = \frac{750}{1000} \text{ км} = \frac{75}{100} \text{ км} = \frac{3}{4} \text{ км}$.
Таким образом, $1 \text{ км } 750 \text{ м} = 1 \text{ км} + \frac{3}{4} \text{ км} = 1\frac{3}{4} \text{ км}$.

• 3 км 250 м
Переводим 250 м в километры: $250 \text{ м} = \frac{250}{1000} \text{ км} = \frac{25}{100} \text{ км} = \frac{1}{4} \text{ км}$.
Таким образом, $3 \text{ км } 250 \text{ м} = 3 \text{ км} + \frac{1}{4} \text{ км} = 3\frac{1}{4} \text{ км}$.

• 6 км 200 м
Переводим 200 м в километры: $200 \text{ м} = \frac{200}{1000} \text{ км} = \frac{2}{10} \text{ км} = \frac{1}{5} \text{ км}$.
Таким образом, $6 \text{ км } 200 \text{ м} = 6 \text{ км} + \frac{1}{5} \text{ км} = 6\frac{1}{5} \text{ км}$.

Ответ: $2\frac{2}{5}$ км, $1\frac{3}{4}$ км, $3\frac{1}{4}$ км, $6\frac{1}{5}$ км.

б) Чтобы выразить величины, данные в метрах, в километрах, необходимо разделить количество метров на 1000.

• 3200 м
$3200 \text{ м} = \frac{3200}{1000} \text{ км} = 3 \frac{200}{1000} \text{ км} = 3 \frac{2}{10} \text{ км} = 3\frac{1}{5} \text{ км}$.

• 1450 м
$1450 \text{ м} = \frac{1450}{1000} \text{ км} = 1 \frac{450}{1000} \text{ км} = 1 \frac{45}{100} \text{ км} = 1\frac{9}{20} \text{ км}$.

• 5500 м
$5500 \text{ м} = \frac{5500}{1000} \text{ км} = 5 \frac{500}{1000} \text{ км} = 5\frac{1}{2} \text{ км}$.

• 20 300 м
$20300 \text{ м} = \frac{20300}{1000} \text{ км} = 20 \frac{300}{1000} \text{ км} = 20\frac{3}{10} \text{ км}$.

Ответ: $3\frac{1}{5}$ км, $1\frac{9}{20}$ км, $5\frac{1}{2}$ км, $20\frac{3}{10}$ км.

8.39 Выразите в часах:

а) 2 ч 20 мин, 1 ч 30 мин, 3 ч 15 мин, 5 ч 24 мин;

б) 90 мин, 250 мин, 180 мин, 165 мин.

Чтобы выразить заданные величины в часах, необходимо помнить, что 1 час равен 60 минутам. Следовательно, чтобы перевести минуты в часы, нужно количество минут разделить на 60.

а)
Для величин, представленных в часах и минутах, мы переводим минуты в доли часа и прибавляем к целому количеству часов.
2 ч 20 мин = $2 + \frac{20}{60}$ ч = $2 + \frac{1}{3}$ ч = $2\frac{1}{3}$ ч.
1 ч 30 мин = $1 + \frac{30}{60}$ ч = $1 + \frac{1}{2}$ ч = 1,5 ч.
3 ч 15 мин = $3 + \frac{15}{60}$ ч = $3 + \frac{1}{4}$ ч = 3,25 ч.
5 ч 24 мин = $5 + \frac{24}{60}$ ч = $5 + \frac{2}{5}$ ч = 5,4 ч.
Ответ: $2\frac{1}{3}$ ч; 1,5 ч; 3,25 ч; 5,4 ч.

б)
Для величин, представленных только в минутах, мы делим их количество на 60.
90 мин = $\frac{90}{60}$ ч = $\frac{3}{2}$ ч = 1,5 ч.
250 мин = $\frac{250}{60}$ ч = $\frac{25}{6}$ ч = $4\frac{1}{6}$ ч.
180 мин = $\frac{180}{60}$ ч = 3 ч.
165 мин = $\frac{165}{60}$ ч = $\frac{11}{4}$ ч = 2,75 ч.
Ответ: 1,5 ч; $4\frac{1}{6}$ ч; 3 ч; 2,75 ч.

8.40 Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби:

а) $\frac{11}{12} + \frac{7}{12};$

б) $\frac{11}{24} + \frac{2}{3};$

в) $\frac{3}{4} + \frac{4}{5};$

г) $\frac{4}{15} + \frac{17}{20};$

д) $\frac{5}{12} + \frac{11}{18};$

е) $\frac{5}{6} + \frac{7}{18};$

а)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Затем, если получилась неправильная дробь (числитель больше или равен знаменателю), нужно выделить целую часть.

$\frac{11}{12} + \frac{7}{12} = \frac{11+7}{12} = \frac{18}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$\frac{18 \div 6}{12 \div 6} = \frac{3}{2}$

Теперь представим неправильную дробь $\frac{3}{2}$ в виде смешанной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. $3 \div 2 = 1$ (остаток 1). Целая часть равна 1, остаток (1) становится новым числителем, а знаменатель (2) остается прежним.

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

б)

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 24 и 3 — это 24. Дополнительный множитель для второй дроби равен $24 \div 3 = 8$.

$\frac{11}{24} + \frac{2}{3} = \frac{11}{24} + \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{11}{24} + \frac{16}{24} = \frac{11+16}{24} = \frac{27}{24}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{27 \div 3}{24 \div 3} = \frac{9}{8}$

Выделим целую часть: $9 \div 8 = 1$ (остаток 1).

$\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$

Ответ: $1\frac{1}{8}$

в)

Найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 5. Так как 4 и 5 — взаимно простые числа, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $4 \cdot 5 = 20$.

$\frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{15+16}{20} = \frac{31}{20}$

Выделим целую часть: $31 \div 20 = 1$ (остаток 11).

$\frac{31}{20} = 1\frac{11}{20}$

Ответ: $1\frac{11}{20}$

г)

Найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 20. Наименьшее общее кратное (НОК) для 15 и 20 равно 60. Дополнительные множители: для первой дроби $60 \div 15 = 4$, для второй $60 \div 20 = 3$.

$\frac{4}{15} + \frac{17}{20} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{17 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{16}{60} + \frac{51}{60} = \frac{16+51}{60} = \frac{67}{60}$

Выделим целую часть: $67 \div 60 = 1$ (остаток 7).

$\frac{67}{60} = 1\frac{7}{60}$

Ответ: $1\frac{7}{60}$

д)

Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 18. НОК(12, 18) = 36. Дополнительные множители: для первой дроби $36 \div 12 = 3$, для второй $36 \div 18 = 2$.

$\frac{5}{12} + \frac{11}{18} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{15}{36} + \frac{22}{36} = \frac{15+22}{36} = \frac{37}{36}$

Выделим целую часть: $37 \div 36 = 1$ (остаток 1).

$\frac{37}{36} = 1\frac{1}{36}$

Ответ: $1\frac{1}{36}$

е)

Наименьший общий знаменатель для 6 и 18 — это 18. Дополнительный множитель для первой дроби равен $18 \div 6 = 3$.

$\frac{5}{6} + \frac{7}{18} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{7}{18} = \frac{15}{18} + \frac{7}{18} = \frac{15+7}{18} = \frac{22}{18}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{22 \div 2}{18 \div 2} = \frac{11}{9}$

Выделим целую часть: $11 \div 9 = 1$ (остаток 2).

$\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$

Ответ: $1\frac{2}{9}$

8.41 а) На тренировке Антон сначала $\frac{5}{12}$ ч разминался, а после разминки $\frac{3}{4}$ ч занимался с тренером. Сколько времени Антон тренировался? Выразите ответ сначала в часах, а затем в часах и минутах.

б) Автобус прошёл расстояние между городом и посёлком с одной остановкой, которая заняла $\frac{3}{10}$ ч. До остановки автобус шёл $\frac{4}{5}$ ч, а после остановки — $\frac{2}{3}$ ч. Сколько времени затратил пассажир этого автобуса на весь путь? Выразите ответ сначала в часах, а затем в часах и минутах.

а)

Чтобы найти общее время тренировки, нужно сложить время, затраченное на разминку, и время, затраченное на занятия с тренером.

1. Найдём общее время в часах, сложив дроби:

$ \frac{5}{12} + \frac{3}{4} $

Для сложения дробей их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 4 это 12. Приведём дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{5+9}{12} = \frac{14}{12} $

Сократим полученную дробь и выделим целую часть:

$ \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} $ ч.

2. Теперь выразим полученное время в часах и минутах. Мы знаем, что 1 час равен 60 минутам.

$ 1\frac{1}{6} $ часа — это 1 полный час и ещё $ \frac{1}{6} $ часа. Найдём, сколько минут составляет $ \frac{1}{6} $ часа:

$ \frac{1}{6} \cdot 60 = \frac{60}{6} = 10 $ минут.

Следовательно, общее время тренировки равно 1 часу 10 минутам.

Ответ: $ 1\frac{1}{6} $ ч; 1 час 10 минут.

б)

Чтобы найти общее время, которое пассажир затратил на весь путь, необходимо сложить время движения автобуса до остановки, время самой остановки и время движения после остановки.

1. Найдём общее время в часах, сложив все три дроби:

$ \frac{4}{5} + \frac{3}{10} + \frac{2}{3} $

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 10 и 3 это 30.

$ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30} $

$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30} $

Теперь сложим полученные дроби:

$ \frac{24}{30} + \frac{9}{30} + \frac{20}{30} = \frac{24+9+20}{30} = \frac{53}{30} $

Выделим целую часть:

$ \frac{53}{30} = 1\frac{23}{30} $ ч.

2. Выразим полученное время в часах и минутах.

$ 1\frac{23}{30} $ часа — это 1 полный час и ещё $ \frac{23}{30} $ часа. Найдём, сколько минут составляет $ \frac{23}{30} $ часа:

$ \frac{23}{30} \cdot 60 = 23 \cdot \frac{60}{30} = 23 \cdot 2 = 46 $ минут.

Таким образом, общее время в пути составляет 1 час 46 минут.

Ответ: $ 1\frac{23}{30} $ ч; 1 час 46 минут.

8.42 Сколько чисел в римской нумерации можно записать, используя цифры X и L?

Для решения этой задачи необходимо вспомнить правила записи чисел в римской нумерации, используя только цифры X ($10$) и L ($50$).

Основные правила, применимые к нашим цифрам:

• Если большая цифра стоит перед меньшей, их значения складываются. Цифры при этом записываются в порядке убывания. Например, LX = $50 + 10 = 60$.
• Если меньшая цифра (в нашем случае X) стоит перед большей (L), то ее значение вычитается из значения большей. Например, XL = $50 - 10 = 40$.
• Цифра X может повторяться не более трех раз подряд (XXX = $30$).
• Цифра L не может повторяться.

Исходя из этих правил, перечислим все возможные числа в порядке возрастания:

1. X - Число $10$.
2. XX - Число $10 + 10 = 20$.
3. XXX - Число $10 + 10 + 10 = 30$.
4. XL - Число $50 - 10 = 40$.
5. L - Число $50$.
6. LX - Число $50 + 10 = 60$.
7. LXX - Число $50 + 10 + 10 = 70$.
8. LXXX - Число $50 + 10 + 10 + 10 = 80$.

Другие комбинации невозможны. Например, XXXX нарушает правило трех повторений, а LL нарушает правило запрета повторения цифры L. Комбинации вроде LXL являются некорректными.

Подсчитав количество уникальных чисел в списке, мы получаем 8.

Ответ: 8.

8.43 а) Учащиеся пятых классов посадили 40 деревьев. Учащиеся 5А класса посадили 16 деревьев, а остальные деревья посадили учащиеся 5Б. Какую часть деревьев посадил каждый класс?

б) Учитель математики взял на проверку 20 тетрадей у учащихся 5 класса и 12 тетрадей у учащихся 10 класса. Какую часть всех взятых на проверку тетрадей составляют тетради пятиклассников; тетради десятиклассников?

а)

1. Сначала найдем, сколько деревьев посадили учащиеся 5Б класса. Для этого из общего количества посаженных деревьев вычтем количество деревьев, посаженных 5А классом:
$40 - 16 = 24$ (дерева) – посадили учащиеся 5Б класса.

2. Теперь определим, какую часть от общего числа деревьев посадил 5А класс. Для этого разделим количество деревьев, посаженных 5А классом, на общее количество деревьев и сократим полученную дробь:
$\frac{16}{40} = \frac{16 \div 8}{40 \div 8} = \frac{2}{5}$

3. Аналогично найдем, какую часть деревьев посадил 5Б класс:
$\frac{24}{40} = \frac{24 \div 8}{40 \div 8} = \frac{3}{5}$

Ответ: 5А класс посадил $\frac{2}{5}$ всех деревьев, а 5Б класс – $\frac{3}{5}$ всех деревьев.

б)

1. Сначала найдем общее количество тетрадей, которые учитель взял на проверку. Для этого сложим количество тетрадей учащихся 5 и 10 классов:
$20 + 12 = 32$ (тетради) – всего взято на проверку.

2. Определим, какую часть от общего количества составляют тетради пятиклассников. Для этого разделим количество их тетрадей на общее число тетрадей и сократим дробь:
$\frac{20}{32} = \frac{20 \div 4}{32 \div 4} = \frac{5}{8}$

3. Теперь определим, какую часть от общего количества составляют тетради десятиклассников:
$\frac{12}{32} = \frac{12 \div 4}{32 \div 4} = \frac{3}{8}$

Ответ: тетради пятиклассников составляют $\frac{5}{8}$ всех взятых на проверку тетрадей, а тетради десятиклассников – $\frac{3}{8}$.