Страница 167 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.22 Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Первый проходит расстояние между А и В за 3 ч, а второй — за 4 ч. Состоялась ли встреча автомобилей, если они находятся в пути:

1 ч

2 ч

Для решения задачи примем все расстояние между пунктами A и B за 1 (единицу). Тогда скорость автомобилей будет измеряться в долях этого расстояния в час.

Скорость первого автомобиля, который проходит все расстояние за 3 часа, составляет $v_1 = \frac{1}{3}$ пути/час.

Скорость второго автомобиля, который проходит все расстояние за 4 часа, составляет $v_2 = \frac{1}{4}$ пути/час.

Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ пути/час.

Встреча состоится, когда суммарное расстояние, которое они проедут, станет равно всему пути, то есть 1. Если пройденное ими суммарное расстояние меньше 1, встреча еще не произошла. Если больше или равно 1 — встреча состоялась.

1 ч

За 1 час автомобили вместе преодолеют расстояние, равное их скорости сближения, умноженной на время:

$S_1 = v_{сбл} \times t = \frac{7}{12} \times 1 = \frac{7}{12}$

Поскольку пройденная часть пути $\frac{7}{12}$ меньше, чем весь путь 1 ($\frac{7}{12} < 1$), автомобили еще не встретились.

Ответ: нет, встреча еще не состоялась.

2 ч

За 2 часа автомобили вместе преодолеют расстояние:

$S_2 = v_{сбл} \times t = \frac{7}{12} \times 2 = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Поскольку пройденная часть пути $\frac{7}{6}$ больше, чем весь путь 1 ($\frac{7}{6} > 1$), это означает, что автомобили уже встретились и продолжили движение, разъехавшись.

Ответ: да, встреча уже состоялась.

8.23 a) Два тракториста вспахали поле за 4 дня. Если бы работал один из них, то он вспахал бы поле за 6 дней. Какую часть поля обрабатывал каждый тракторист за день?

б) Мастер и ученик сделали партию деталей за 3 ч. Если бы мастер работал один, то он выполнил бы эту работу за 4 ч. Какую часть работы выполнял каждый за 1 ч?

а)

Примем всю работу по вспашке поля за 1.
Производительность двух трактористов при совместной работе составляет $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ часть поля в день.
Производительность одного из трактористов (назовем его первым), работающего в одиночку, составляет $1 \div 6 = \frac{1}{6}$ часть поля в день.
Чтобы найти производительность второго тракториста, необходимо из их совместной производительности вычесть производительность первого тракториста:
$P_2 = P_{общая} - P_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
Таким образом, второй тракторист обрабатывал $\frac{1}{12}$ часть поля за день.

Ответ: один тракторист обрабатывал $\frac{1}{6}$ часть поля за день, а другой — $\frac{1}{12}$ часть поля за день.

б)

Примем всю работу по изготовлению партии деталей за 1.
Совместная производительность мастера и ученика составляет $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ часть работы в час.
Производительность мастера, работающего в одиночку, составляет $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ часть работы в час.
Чтобы найти производительность ученика, необходимо из совместной производительности вычесть производительность мастера:
$P_{ученик} = P_{общая} - P_{мастер} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$
Следовательно, ученик выполнял $\frac{1}{12}$ часть работы за 1 час.

Ответ: мастер выполнял $\frac{1}{4}$ часть работы за 1 час, а ученик — $\frac{1}{12}$ часть работы за 1 час.

8.24 Запишите все возможные двузначные числа, сумма цифр которых равна 10. Есть ли среди них простые числа?

Запишите все возможные двузначные числа, сумма цифр которых равна 10.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. По определению двузначного числа, цифра десятков $a$ не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, а цифра единиц $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Согласно условию задачи, сумма цифр числа должна быть равна 10: $a + b = 10$

Будем последовательно перебирать все возможные значения для цифры десятков $a$ и находить для каждого из них соответствующую цифру единиц $b$:
- Если $a = 1$, то $b = 10 - 1 = 9$. Получаем число 19.
- Если $a = 2$, то $b = 10 - 2 = 8$. Получаем число 28.
- Если $a = 3$, то $b = 10 - 3 = 7$. Получаем число 37.
- Если $a = 4$, то $b = 10 - 4 = 6$. Получаем число 46.
- Если $a = 5$, то $b = 10 - 5 = 5$. Получаем число 55.
- Если $a = 6$, то $b = 10 - 6 = 4$. Получаем число 64.
- Если $a = 7$, то $b = 10 - 7 = 3$. Получаем число 73.
- Если $a = 8$, то $b = 10 - 8 = 2$. Получаем число 82.
- Если $a = 9$, то $b = 10 - 9 = 1$. Получаем число 91.

Таким образом, все двузначные числа, сумма цифр которых равна 10, найдены.

Ответ: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91.

Есть ли среди них простые числа?

Теперь проверим каждое из найденных чисел на простоту. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

- 19 – простое число, так как делится только на 1 и на 19.
- 28 – составное число, так как оно четное и делится на 2 ($28 = 2 \cdot 14$).
- 37 – простое число, так как делится только на 1 и на 37.
- 46 – составное число, так как оно четное и делится на 2 ($46 = 2 \cdot 23$).
- 55 – составное число, так как оканчивается на 5, а значит делится на 5 ($55 = 5 \cdot 11$).
- 64 – составное число, так как оно четное и делится на 2 ($64 = 2 \cdot 32$).
- 73 – простое число, так как делится только на 1 и на 73.
- 82 – составное число, так как оно четное и делится на 2 ($82 = 2 \cdot 41$).
- 91 – составное число, так как оно делится на 7 и 13 ($91 = 7 \cdot 13$).

Таким образом, среди найденных чисел есть простые.

Ответ: Да, среди этих чисел есть простые: 19, 37, 73.

8.25 Сократите дробь, используя признаки делимости.

а) $\frac{540}{945}$;

б) $\frac{184}{552}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{540}{945}$, последовательно применим признаки делимости.

1. Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Числитель 540 оканчивается на 0, а знаменатель 945 — на 5. Следовательно, оба числа делятся на 5. Сократим дробь на 5:

$\frac{540}{945} = \frac{540 \div 5}{945 \div 5} = \frac{108}{189}$

2. Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Для числа 108 сумма цифр равна $1+0+8=9$. Так как 9 делится на 9, то и 108 делится на 9. Для числа 189 сумма цифр равна $1+8+9=18$. Так как 18 делится на 9, то и 189 делится на 9. Сократим дробь на 9:

$\frac{108}{189} = \frac{108 \div 9}{189 \div 9} = \frac{12}{21}$

3. Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Оба числа, 12 и 21, делятся на 3 (сумма цифр $1+2=3$ и $2+1=3$ соответственно). Сократим дробь на 3:

$\frac{12}{21} = \frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7}$

Дробь $\frac{4}{7}$ является несократимой, так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{4}{7}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{184}{552}$, также воспользуемся признаками делимости.

1. Признак делимости на 2: число делится на 2, если оно четное. Оба числа, 184 и 552, — чётные, так как оканчиваются на 4 и 2. Можно проверить делимость на 4 или 8. Проверим на 8. Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

$184 \div 8 = 23$

$552 \div 8 = 69$

Поскольку оба числа делятся на 8 без остатка, сократим дробь на 8:

$\frac{184}{552} = \frac{184 \div 8}{552 \div 8} = \frac{23}{69}$

2. Теперь рассмотрим дробь $\frac{23}{69}$. Число 23 является простым. Проверим, делится ли знаменатель 69 на 23. Для этого разложим 69 на простые множители. Сумма цифр числа 69 равна $6+9=15$, что делится на 3. Следовательно, 69 делится на 3:

$69 = 3 \times 23$

Таким образом, и числитель, и знаменатель делятся на 23. Сократим дробь на 23:

$\frac{23}{69} = \frac{23 \div 23}{69 \div 23} = \frac{1}{3}$

Дробь $\frac{1}{3}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{1}{3}$

8.26 На клетчатой бумаге построен квадрат $5 \times 5$, который разбит на маленькие квадраты (рис. 8.2). Постройте в тетради три разных прямоугольника, имеющие площадь, равную площади закрашенной части квадрата.

Рис. 8.2

Для решения задачи сначала необходимо определить площадь закрашенной части квадрата. Площадь будем измерять в количестве маленьких квадратных клеток.

Большой квадрат имеет размер $5 \times 5$ клеток, его общая площадь составляет $5 \times 5 = 25$ клеток.

Посчитаем количество закрашенных клеток на рисунке. Мы видим, что во втором и четвертом рядах закрашено по 5 клеток, а в третьем (центральном) ряду закрашены 2 крайние клетки.

Суммарная площадь закрашенной части равна: $S_{закраш.} = 5 + 2 + 5 = 12$ клеток.

Теперь нужно найти три разных прямоугольника, площадь каждого из которых равна 12 клеткам. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон. Нам необходимо найти пары натуральных чисел, произведение которых равно 12.

Существует три такие уникальные пары множителей для числа 12:

1. Прямоугольник со сторонами 1 и 12 клеток. Его площадь: $S_1 = 1 \times 12 = 12$ клеток.

2. Прямоугольник со сторонами 2 и 6 клеток. Его площадь: $S_2 = 2 \times 6 = 12$ клеток.

3. Прямоугольник со сторонами 3 и 4 клетки. Его площадь: $S_3 = 3 \times 4 = 12$ клеток.

Эти три прямоугольника имеют одинаковую площадь, равную площади закрашенной фигуры, и являются разными по форме.

Ответ: Три разных прямоугольника, имеющие площадь, равную площади закрашенной части квадрата (12 клеток), могут иметь следующие размеры сторон (в клетках): $1 \times 12$, $2 \times 6$ и $3 \times 4$.