Номер 8.25, страница 167 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.1. Сложение и вычитание дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.25, страница 167.

8.25 Сократите дробь, используя признаки делимости.

а) $\frac{540}{945}$;

б) $\frac{184}{552}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{540}{945}$, последовательно применим признаки делимости.

1. Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Числитель 540 оканчивается на 0, а знаменатель 945 — на 5. Следовательно, оба числа делятся на 5. Сократим дробь на 5:

$\frac{540}{945} = \frac{540 \div 5}{945 \div 5} = \frac{108}{189}$

2. Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Для числа 108 сумма цифр равна $1+0+8=9$. Так как 9 делится на 9, то и 108 делится на 9. Для числа 189 сумма цифр равна $1+8+9=18$. Так как 18 делится на 9, то и 189 делится на 9. Сократим дробь на 9:

$\frac{108}{189} = \frac{108 \div 9}{189 \div 9} = \frac{12}{21}$

3. Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Оба числа, 12 и 21, делятся на 3 (сумма цифр $1+2=3$ и $2+1=3$ соответственно). Сократим дробь на 3:

$\frac{12}{21} = \frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7}$

Дробь $\frac{4}{7}$ является несократимой, так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{4}{7}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{184}{552}$, также воспользуемся признаками делимости.

1. Признак делимости на 2: число делится на 2, если оно четное. Оба числа, 184 и 552, — чётные, так как оканчиваются на 4 и 2. Можно проверить делимость на 4 или 8. Проверим на 8. Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

$184 \div 8 = 23$

$552 \div 8 = 69$

Поскольку оба числа делятся на 8 без остатка, сократим дробь на 8:

$\frac{184}{552} = \frac{184 \div 8}{552 \div 8} = \frac{23}{69}$

2. Теперь рассмотрим дробь $\frac{23}{69}$. Число 23 является простым. Проверим, делится ли знаменатель 69 на 23. Для этого разложим 69 на простые множители. Сумма цифр числа 69 равна $6+9=15$, что делится на 3. Следовательно, 69 делится на 3:

$69 = 3 \times 23$

Таким образом, и числитель, и знаменатель делятся на 23. Сократим дробь на 23:

$\frac{23}{69} = \frac{23 \div 23}{69 \div 23} = \frac{1}{3}$

Дробь $\frac{1}{3}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{1}{3}$