Номер 8.21, страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.1. Сложение и вычитание дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.21, страница 166.

8.21 Таня, Наташа и Алёша упаковывают подарки. Таня может выполнить всю работу за 20 мин, если будет работать одна, Наташа — за 15 мин, а Алёша — за 12 мин. Какую часть работы выполнят они за 1 мин, работая вместе? Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин?

Какую часть работы выполнят они за 1 мин, работая вместе?

Для решения задачи примем всю работу за 1 (единицу). Сначала определим производительность каждого человека, то есть какую часть работы он или она выполняет за 1 минуту.

• Производительность Тани: $1 \div 20 = \frac{1}{20}$ (часть работы в минуту)
• Производительность Наташи: $1 \div 15 = \frac{1}{15}$ (часть работы в минуту)
• Производительность Алёши: $1 \div 12 = \frac{1}{12}$ (часть работы в минуту)

Чтобы найти, какую часть работы они выполнят за 1 минуту, работая вместе, нужно сложить их производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 20, 15 и 12 равно 60.

$\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 3}{60} + \frac{1 \cdot 4}{60} + \frac{1 \cdot 5}{60} = \frac{3+4+5}{60} = \frac{12}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

Таким образом, за 1 минуту совместной работы они выполнят $\frac{1}{5}$ всей работы.

Ответ: $\frac{1}{5}$ часть работы.

Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин?

Мы выяснили, что за 1 минуту, работая вместе, они выполняют $\frac{1}{5}$ всей работы. Чтобы узнать, какую часть работы они выполнят за 2 минуты, нужно их совместную производительность умножить на 2:

$\frac{1}{5} \cdot 2 = \frac{2}{5}$

Теперь нам нужно сравнить выполненную за 2 минуты работу ($\frac{2}{5}$) с половиной всей работы ($\frac{1}{2}$). Приведем дроби к общему знаменателю 10, чтобы их сравнить:

$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$

Сравниваем полученные дроби: $\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$.

Это означает, что за 2 минуты они выполнят меньшую часть работы, чем половина. Следовательно, они не успеют упаковать половину всех подарков за 2 минуты.

Ответ: нет.