Страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.16 Вычислите сумму:

а) $\frac{11}{30} + \frac{7}{12};$

б) $\frac{1}{27} + \frac{5}{18};$

в) $\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15};$

г) $\frac{3}{7} + \frac{1}{6} + \frac{5}{14};$

д) $\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18};$

е) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}.$

а) $\frac{11}{30} + \frac{7}{12}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 30 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Наименьший общий знаменатель: НОК(30, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для $\frac{11}{30}$ дополнительный множитель: $60 \div 30 = 2$.

Для $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель: $60 \div 12 = 5$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{22}{60} + \frac{35}{60} = \frac{22 + 35}{60} = \frac{57}{60}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3.

$\frac{57 \div 3}{60 \div 3} = \frac{19}{20}$.

Ответ: $\frac{19}{20}$.

б) $\frac{1}{27} + \frac{5}{18}$

Найдем НОК для знаменателей 27 и 18.

Разложим на множители:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

НОК(27, 18) = $2 \cdot 3^3 = 54$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{1}{27}$: $54 \div 27 = 2$.

Для $\frac{5}{18}$: $54 \div 18 = 3$.

Сложим дроби:

$\frac{1 \cdot 2}{27 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{2}{54} + \frac{15}{54} = \frac{2 + 15}{54} = \frac{17}{54}$.

Дробь $\frac{17}{54}$ несократима, так как 17 - простое число.

Ответ: $\frac{17}{54}$.

в) $\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Найдем НОК для знаменателей 6, 10 и 15.

Разложим на множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$10 = 2 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(6, 10, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{1}{6}$: $30 \div 6 = 5$.

Для $\frac{1}{10}$: $30 \div 10 = 3$.

Для $\frac{1}{15}$: $30 \div 15 = 2$.

Сложим дроби:

$\frac{1 \cdot 5}{30} + \frac{1 \cdot 3}{30} + \frac{1 \cdot 2}{30} = \frac{5 + 3 + 2}{30} = \frac{10}{30}$.

Сократим дробь:

$\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) $\frac{3}{7} + \frac{1}{6} + \frac{5}{14}$

Найдем НОК для знаменателей 7, 6 и 14.

Разложим на множители:

$7 = 7$

$6 = 2 \cdot 3$

$14 = 2 \cdot 7$

НОК(7, 6, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{3}{7}$: $42 \div 7 = 6$.

Для $\frac{1}{6}$: $42 \div 6 = 7$.

Для $\frac{5}{14}$: $42 \div 14 = 3$.

Сложим дроби:

$\frac{3 \cdot 6}{42} + \frac{1 \cdot 7}{42} + \frac{5 \cdot 3}{42} = \frac{18 + 7 + 15}{42} = \frac{40}{42}$.

Сократим дробь на 2:

$\frac{40 \div 2}{42 \div 2} = \frac{20}{21}$.

Ответ: $\frac{20}{21}$.

д) $\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18}$

Найдем НОК для знаменателей 12, 9 и 18.

Разложим на множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$9 = 3^2$

$18 = 2 \cdot 3^2$

НОК(12, 9, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{5}{12}$: $36 \div 12 = 3$.

Для $\frac{2}{9}$: $36 \div 9 = 4$.

Для $\frac{1}{18}$: $36 \div 18 = 2$.

Сложим дроби:

$\frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{2 \cdot 4}{36} + \frac{1 \cdot 2}{36} = \frac{15 + 8 + 2}{36} = \frac{25}{36}$.

Дробь $\frac{25}{36}$ несократима.

Ответ: $\frac{25}{36}$.

е) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

Найдем НОК для знаменателей 2, 3 и 9.

Разложим на множители:

$2 = 2$

$3 = 3$

$9 = 3^2$

НОК(2, 3, 9) = $2 \cdot 3^2 = 18$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{1}{2}$: $18 \div 2 = 9$.

Для $\frac{1}{3}$: $18 \div 3 = 6$.

Для $\frac{1}{9}$: $18 \div 9 = 2$.

Сложим дроби:

$\frac{1 \cdot 9}{18} + \frac{1 \cdot 6}{18} + \frac{1 \cdot 2}{18} = \frac{9 + 6 + 2}{18} = \frac{17}{18}$.

Дробь $\frac{17}{18}$ несократима.

Ответ: $\frac{17}{18}$.

8.17 Вычислите наиболее рациональным способом:

a) $ \frac{1}{11} + \frac{1}{5} + \frac{4}{11} + \frac{4}{5} + \frac{6}{11} $;

б) $ \frac{1}{15} + \frac{4}{15} + \frac{1}{18} + \frac{5}{18} + \frac{2}{21} + \frac{5}{21} + \frac{1}{24} + \frac{7}{24} $.

а) Наиболее рациональный способ вычисления — это сгруппировать слагаемые с одинаковыми знаменателями, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:

$\frac{1}{11} + \frac{1}{5} + \frac{4}{11} + \frac{4}{5} + \frac{6}{11} = (\frac{1}{11} + \frac{4}{11} + \frac{6}{11}) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{5})$

Выполним сложение в каждой группе:

$(\frac{1+4+6}{11}) + (\frac{1+4}{5}) = \frac{11}{11} + \frac{5}{5}$

Так как любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице, получаем:

$1 + 1 = 2$

Ответ: $2$

б) Аналогично, сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{1}{15} + \frac{4}{15} + \frac{1}{18} + \frac{5}{18} + \frac{2}{21} + \frac{5}{21} + \frac{1}{24} + \frac{7}{24} = (\frac{1}{15} + \frac{4}{15}) + (\frac{1}{18} + \frac{5}{18}) + (\frac{2}{21} + \frac{5}{21}) + (\frac{1}{24} + \frac{7}{24})$

Вычислим сумму в каждой скобке:

$(\frac{1+4}{15}) + (\frac{1+5}{18}) + (\frac{2+5}{21}) + (\frac{1+7}{24}) = \frac{5}{15} + \frac{6}{18} + \frac{7}{21} + \frac{8}{24}$

Сократим каждую полученную дробь:

$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

$\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

$\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

8.18 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{7}{20} - \left(\frac{9}{35} - \frac{3}{28}\right); $

б) $ \left(\frac{21}{22} - \frac{5}{11}\right) - \left(\frac{22}{39} - \frac{3}{13}\right). $

а) $\frac{7}{20} - (\frac{9}{35} - \frac{3}{28})$

1. Сначала выполним действие в скобках: $\frac{9}{35} - \frac{3}{28}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 35 и 28.
Разложим знаменатели на простые множители:
$35 = 5 \cdot 7$
$28 = 2^2 \cdot 7$
НОК(35, 28) = $2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

2. Приведем дроби к знаменателю 140:
$\frac{9}{35} = \frac{9 \cdot 4}{35 \cdot 4} = \frac{36}{140}$
$\frac{3}{28} = \frac{3 \cdot 5}{28 \cdot 5} = \frac{15}{140}$

3. Выполним вычитание в скобках:
$\frac{36}{140} - \frac{15}{140} = \frac{36 - 15}{140} = \frac{21}{140}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:
$\frac{21 \div 7}{140 \div 7} = \frac{3}{20}$

4. Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{7}{20} - \frac{3}{20} = \frac{7 - 3}{20} = \frac{4}{20}$

5. Сократим окончательный результат, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4 \div 4}{20 \div 4} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $(\frac{21}{22} - \frac{5}{11}) - (\frac{22}{39} - \frac{3}{13})$

1. Выполним действие в первой скобке: $\frac{21}{22} - \frac{5}{11}$.
Общий знаменатель для 22 и 11 равен 22. Приведем дробь $\frac{5}{11}$ к этому знаменателю:
$\frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{10}{22}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{21}{22} - \frac{10}{22} = \frac{21 - 10}{22} = \frac{11}{22}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{11 \div 11}{22 \div 11} = \frac{1}{2}$

2. Выполним действие во второй скобке: $\frac{22}{39} - \frac{3}{13}$.
Общий знаменатель для 39 и 13 равен 39. Приведем дробь $\frac{3}{13}$ к этому знаменателю:
$\frac{3}{13} = \frac{3 \cdot 3}{13 \cdot 3} = \frac{9}{39}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{22}{39} - \frac{9}{39} = \frac{22 - 9}{39} = \frac{13}{39}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{13 \div 13}{39 \div 13} = \frac{1}{3}$

3. Теперь вычтем результат второго действия из результата первого:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
Найдем общий знаменатель для 2 и 3, он равен 6. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
Выполним вычитание:
$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

8.19 РАССУЖДАЕМ Не выполняя сложения, сравните с числом 1 сумму:

а) $ \frac{7}{8} + \frac{1}{6} $;

б) $ \frac{24}{25} + \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{9}{10} + \frac{1}{100} $;

г) $ \frac{13}{14} + \frac{1}{15} $.

Образец. Сравним с 1 сумму $ \frac{8}{9} + \frac{1}{7} $. Если к $ \frac{8}{9} $ прибавить $ \frac{1}{9} $, то получится 1. Но $ \frac{1}{7} > \frac{1}{9} $, поэтому $ \frac{8}{9} + \frac{1}{7} > 1 $.

а) Чтобы сравнить сумму $ \frac{7}{8} + \frac{1}{6} $ с 1, определим, сколько не хватает дроби $ \frac{7}{8} $ до единицы. Для этого нужно из 1 вычесть $ \frac{7}{8} $: $ 1 - \frac{7}{8} = \frac{8}{8} - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} $. Теперь сравним второе слагаемое ($ \frac{1}{6} $) с недостающей до единицы частью ($ \frac{1}{8} $). При сравнении дробей с одинаковыми числителями, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $ 6 < 8 $, то $ \frac{1}{6} > \frac{1}{8} $. Поскольку мы прибавляем к $ \frac{7}{8} $ число ($ \frac{1}{6} $), которое больше, чем необходимо для получения 1 ($ \frac{1}{8} $), то итоговая сумма будет больше 1.

Ответ: $ \frac{7}{8} + \frac{1}{6} > 1 $

б) Рассмотрим сумму $ \frac{24}{25} + \frac{1}{4} $. Чтобы получить 1 из дроби $ \frac{24}{25} $, нужно прибавить $ \frac{1}{25} $, так как $ \frac{24}{25} + \frac{1}{25} = 1 $. Сравним второе слагаемое $ \frac{1}{4} $ с недостающей до единицы дробью $ \frac{1}{25} $. У дробей одинаковые числители (1), поэтому сравниваем знаменатели. Знаменатель 4 меньше знаменателя 25, следовательно $ \frac{1}{4} > \frac{1}{25} $. Мы прибавляем к $ \frac{24}{25} $ число, которое больше, чем необходимо для получения 1. Значит, итоговая сумма будет больше 1.

Ответ: $ \frac{24}{25} + \frac{1}{4} > 1 $

в) Сравним сумму $ \frac{9}{10} + \frac{1}{100} $ с числом 1. Первому слагаемому $ \frac{9}{10} $ не хватает до единицы $ \frac{1}{10} $, поскольку $ \frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1 $. Теперь сравним второе слагаемое $ \frac{1}{100} $ с дробью $ \frac{1}{10} $. Так как знаменатель 100 больше знаменателя 10, то дробь $ \frac{1}{100} $ меньше дроби $ \frac{1}{10} $. Мы прибавляем к $ \frac{9}{10} $ число ($ \frac{1}{100} $), которое меньше, чем нужно для получения 1 ($ \frac{1}{10} $). Следовательно, сумма будет меньше 1.

Ответ: $ \frac{9}{10} + \frac{1}{100} < 1 $

г) Рассмотрим сумму $ \frac{13}{14} + \frac{1}{15} $. Чтобы из дроби $ \frac{13}{14} $ получить 1, к ней нужно прибавить $ \frac{1}{14} $, потому что $ \frac{13}{14} + \frac{1}{14} = 1 $. Теперь сравним второе слагаемое $ \frac{1}{15} $ с недостающей до единицы дробью $ \frac{1}{14} $. У дробей одинаковые числители, а знаменатель 15 больше знаменателя 14. Следовательно, $ \frac{1}{15} < \frac{1}{14} $. Это означает, что мы прибавляем к $ \frac{13}{14} $ число, которое меньше, чем необходимо для получения 1. Поэтому итоговая сумма будет меньше 1.

Ответ: $ \frac{13}{14} + \frac{1}{15} < 1 $

8.20 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Даны выражения

$\frac{1}{2^2 - 1}$, $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1}$, $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1}$

1) Вычислите значение каждого из выражений.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

1) Вычислите значение каждого из выражений.

Вычислим значение первого выражения:

$\frac{1}{2^2 - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$

Вычислим значение второго выражения:

$\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{16 - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Вычислим значение третьего выражения:

$\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} = (\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1}) + \frac{1}{6^2-1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{36 - 1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{35} = \frac{14}{35} + \frac{1}{35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{3}{7}$.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

Закономерность составления выражений: каждое следующее выражение получается из предыдущего путем добавления нового слагаемого вида $\frac{1}{(2n)^2 - 1}$, где $n$ — это номер слагаемого в сумме. Основания степеней в знаменателях ($2, 4, 6, \dots$) — это последовательные чётные числа.

Следуя этой закономерности, следующее, четвертое выражение, будет состоять из четырех слагаемых, где последнее слагаемое будет $\frac{1}{(2 \cdot 4)^2 - 1} = \frac{1}{8^2 - 1}$.

Следующее выражение: $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} + \frac{1}{8^2 - 1}$.

Теперь проанализируем значения, полученные в пункте 1:

• Значение первого выражения (1 слагаемое): $\frac{1}{3}$
• Значение второго выражения (2 слагаемых): $\frac{2}{5}$
• Значение третьего выражения (3 слагаемых): $\frac{3}{7}$

Можно заметить, что значение суммы из $n$ слагаемых представляет собой дробь, числитель которой равен количеству слагаемых $n$, а знаменатель равен $2n+1$. То есть, $S_n = \frac{n}{2n+1}$.

Основываясь на этой закономерности, предположим, что значение четвертого выражения (при $n=4$) будет равно: $S_4 = \frac{4}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{4}{9}$.

Проверим это предположение с помощью вычислений. Возьмем значение третьего выражения и добавим к нему четвертое слагаемое:

$S_4 = \frac{3}{7} + \frac{1}{8^2 - 1} = \frac{3}{7} + \frac{1}{64 - 1} = \frac{3}{7} + \frac{1}{63}$

Приведем дроби к общему знаменателю 63:

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{1}{63} = \frac{27}{63} + \frac{1}{63} = \frac{28}{63}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{28 \div 7}{63 \div 7} = \frac{4}{9}$

Результат вычислений совпал с предположением.

Ответ: Следующее выражение: $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} + \frac{1}{8^2 - 1}$. Его значение равно $\frac{4}{9}$.

8.21 Таня, Наташа и Алёша упаковывают подарки. Таня может выполнить всю работу за 20 мин, если будет работать одна, Наташа — за 15 мин, а Алёша — за 12 мин. Какую часть работы выполнят они за 1 мин, работая вместе? Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин?

Какую часть работы выполнят они за 1 мин, работая вместе?

Для решения задачи примем всю работу за 1 (единицу). Сначала определим производительность каждого человека, то есть какую часть работы он или она выполняет за 1 минуту.

• Производительность Тани: $1 \div 20 = \frac{1}{20}$ (часть работы в минуту)
• Производительность Наташи: $1 \div 15 = \frac{1}{15}$ (часть работы в минуту)
• Производительность Алёши: $1 \div 12 = \frac{1}{12}$ (часть работы в минуту)

Чтобы найти, какую часть работы они выполнят за 1 минуту, работая вместе, нужно сложить их производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 20, 15 и 12 равно 60.

$\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 3}{60} + \frac{1 \cdot 4}{60} + \frac{1 \cdot 5}{60} = \frac{3+4+5}{60} = \frac{12}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

Таким образом, за 1 минуту совместной работы они выполнят $\frac{1}{5}$ всей работы.

Ответ: $\frac{1}{5}$ часть работы.

Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин?

Мы выяснили, что за 1 минуту, работая вместе, они выполняют $\frac{1}{5}$ всей работы. Чтобы узнать, какую часть работы они выполнят за 2 минуты, нужно их совместную производительность умножить на 2:

$\frac{1}{5} \cdot 2 = \frac{2}{5}$

Теперь нам нужно сравнить выполненную за 2 минуты работу ($\frac{2}{5}$) с половиной всей работы ($\frac{1}{2}$). Приведем дроби к общему знаменателю 10, чтобы их сравнить:

$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$

Сравниваем полученные дроби: $\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$.

Это означает, что за 2 минуты они выполнят меньшую часть работы, чем половина. Следовательно, они не успеют упаковать половину всех подарков за 2 минуты.

Ответ: нет.