Страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.141 Сравните числа:

а) $2$ и $\frac{10}{5}$;

б) $\frac{15}{3}$ и $4$;

в) $\frac{16}{2}$ и $\frac{21}{3}$;

г) $\frac{66}{22}$ и $\frac{111}{37}$.

а) Чтобы сравнить число 2 и дробь $\frac{10}{5}$, представим дробь в виде целого числа. Для этого разделим числитель дроби на ее знаменатель.
$\frac{10}{5} = 10 \div 5 = 2$
Теперь сравним полученный результат с числом 2:
$2 = 2$
Следовательно, числа равны.
Ответ: $2 = \frac{10}{5}$.

б) Для сравнения дроби $\frac{15}{3}$ и числа 4, сначала упростим дробь, разделив ее числитель на знаменатель:
$\frac{15}{3} = 15 \div 3 = 5$
Теперь сравним полученное число 5 с числом 4:
$5 > 4$
Значит, исходная дробь больше числа 4.
Ответ: $\frac{15}{3} > 4$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{16}{2}$ и $\frac{21}{3}$, преобразуем каждую из них в целое число, выполнив деление.
Для первой дроби:
$\frac{16}{2} = 16 \div 2 = 8$
Для второй дроби:
$\frac{21}{3} = 21 \div 3 = 7$
Теперь сравним полученные целые числа 8 и 7:
$8 > 7$
Следовательно, первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{16}{2} > \frac{21}{3}$.

г) Для сравнения дробей $\frac{66}{22}$ и $\frac{111}{37}$, вычислим значение каждой из них.
Вычислим значение первой дроби:
$\frac{66}{22} = 66 \div 22 = 3$
Вычислим значение второй дроби:
$\frac{111}{37} = 111 \div 37 = 3$
Сравним полученные результаты:
$3 = 3$
Таким образом, данные дроби равны.
Ответ: $\frac{66}{22} = \frac{111}{37}$.

7.142 а) Для покраски пола можно выбрать один из двух видов краски. Расход одной краски составляет $ \frac{2 \text{ кг}}{5 \text{ м}^2} $, а другой – $ \frac{3 \text{ кг}}{8 \text{ м}^2} $. Какую из этих двух красок выгоднее использовать?

б) Коля за 2 с делает 3 шага, а Борис за 3 с – 5 шагов. Кто из них идёт с большей скоростью? (Длина шага у мальчиков одинакова.)

в) Таня и Алёша запечатывают конверты. Таня заклеивает 10 конвертов за 8 мин, а Алёша – 6 конвертов за 4 мин. Кто из них работает быстрее?

а) Чтобы определить, какую краску выгоднее использовать, нужно сравнить их расход на одинаковую площадь, например, на 1 м². Выгоднее та краска, расход которой на 1 м² меньше.
1. Найдём расход первой краски на 1 м²: $2 \text{ кг} \div 5 \text{ м}^2 = \frac{2}{5}$ кг/м².
2. Найдём расход второй краски на 1 м²: $3 \text{ кг} \div 8 \text{ м}^2 = \frac{3}{8}$ кг/м².
3. Сравним полученные дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{8}$. Для этого приведём их к общему знаменателю 40.
Расход первой краски: $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}$ кг/м².
Расход второй краски: $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}$ кг/м².
Так как $\frac{15}{40} < \frac{16}{40}$, то и $\frac{3}{8} < \frac{2}{5}$. Это означает, что расход второй краски меньше, а значит, она выгоднее.
Ответ: выгоднее использовать вторую краску.

б) Чтобы определить, кто из мальчиков идёт с большей скоростью, нужно сравнить количество шагов, которое каждый из них делает за одну и ту же единицу времени (например, за 1 секунду). Поскольку длина шага у них одинакова, тот, кто делает больше шагов в секунду, идёт быстрее.
1. Найдём скорость Коли в шагах в секунду: $3 \text{ шага} \div 2 \text{ с} = \frac{3}{2}$ шага/с.
2. Найдём скорость Бориса в шагах в секунду: $5 \text{ шагов} \div 3 \text{ с} = \frac{5}{3}$ шага/с.
3. Сравним дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Приведём их к общему знаменателю 6.
Скорость Коли: $\frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6}$ шага/с.
Скорость Бориса: $\frac{5}{3} = \frac{5 \times 2}{3 \times 2} = \frac{10}{6}$ шага/с.
Так как $\frac{10}{6} > \frac{9}{6}$, скорость Бориса больше.
Ответ: Борис идёт с большей скоростью.

в) Чтобы выяснить, кто работает быстрее, нужно сравнить их производительность — количество конвертов, запечатанных за единицу времени (например, за 1 минуту).
1. Найдём производительность Тани (конвертов в минуту): $10 \text{ конвертов} \div 8 \text{ мин} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ конверта/мин.
2. Найдём производительность Алёши (конвертов в минуту): $6 \text{ конвертов} \div 4 \text{ мин} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ конверта/мин.
3. Сравним дроби $\frac{5}{4}$ и $\frac{3}{2}$. Приведём их к общему знаменателю 4.
Производительность Тани: $\frac{5}{4}$ конверта/мин.
Производительность Алёши: $\frac{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{6}{4}$ конверта/мин.
Так как $\frac{6}{4} > \frac{5}{4}$, производительность Алёши выше.
Ответ: Алёша работает быстрее.

7.143 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) Представьте, что весь урожай яблок вы использовали для приготовления яблочного сока. У вас получилось 50 л сока, которым вы заполнили 50-литровый бидон. Сколько надо подготовить трёхлитровых банок, чтобы перелить в них весь сок из бидона?

б) Представьте, что вы работаете инструктором по туризму и организуете поход по малым рекам на лодках. У вас собралась группа в составе 45 человек. Какое наименьшее число четырёхместных лодок надо заказать для такой группы?

а)

Для того чтобы определить, сколько трёхлитровых банок потребуется, чтобы разлить 50 литров сока, необходимо общий объём сока разделить на объём одной банки. Так как количество банок должно быть целым числом, мы выполним деление с остатком.

$50 : 3 = 16$ (ост. $2$)

Результат деления показывает, что 16 банок будут полностью заполнены, но останется ещё 2 литра сока. Для этих оставшихся 2 литров понадобится ещё одна, семнадцатая банка. Таким образом, общее количество банок:

$16 + 1 = 17$

Ответ: 17 банок.

б)

Чтобы найти наименьшее количество четырёхместных лодок для группы из 45 человек, нужно разделить общее число людей на вместимость одной лодки. Поскольку все люди должны быть размещены, и число лодок должно быть целым, мы также используем деление с остатком.

$45 : 4 = 11$ (ост. $1$)

Это означает, что 11 лодок будут полностью заняты (в каждой по 4 человека), и ещё один человек останется. Для этого одного человека потребуется дополнительная, двенадцатая лодка. Следовательно, минимальное необходимое количество лодок:

$11 + 1 = 12$

Ответ: 12 лодок.

7.144 РАССУЖДАЕМ

1) Определите, какой цифрой оканчивается куб числа:

925; 113; 482; 527.

2) Найдите приближённое значение степени, округлив основание степени до старшего разряда: $21^3$; $99^3$; $309^3$; $985^3$.

Образец. $38^3 \approx 40^3 = 64 000$.

3) Среди приведённых равенств только одно верное. Воспользовавшись результатами заданий 1 и 2, найдите это равенство.

а) $113^3 = 1 442 893$.

б) $309^3 = 2 953 629$.

в) $925^3 = 791 453 125$.

г) $99^3 = 97 299$.

1) Чтобы определить, какой цифрой оканчивается куб числа, достаточно возвести в куб последнюю цифру этого числа и посмотреть на последнюю цифру результата.

• Для числа 925: последняя цифра – 5. $5^3 = 125$. Куб числа 925 оканчивается на 5.
• Для числа 113: последняя цифра – 3. $3^3 = 27$. Куб числа 113 оканчивается на 7.
• Для числа 482: последняя цифра – 2. $2^3 = 8$. Куб числа 482 оканчивается на 8.
• Для числа 527: последняя цифра – 7. $7^3 = 343$. Куб числа 527 оканчивается на 3.

Ответ: куб числа 925 оканчивается цифрой 5; 113 – цифрой 7; 482 – цифрой 8; 527 – цифрой 3.

2) Чтобы найти приближенное значение степени, округлим основание до старшего разряда (наибольшего разряда, в котором стоит цифра, отличная от нуля) и возведем в куб.

• $21^3$: старший разряд – десятки. Округляем 21 до 20.
  $21^3 \approx 20^3 = 20 \times 20 \times 20 = 8000$.
• $99^3$: старший разряд – десятки. Округляем 99 до 100.
  $99^3 \approx 100^3 = 100 \times 100 \times 100 = 1\;000\;000$.
• $309^3$: старший разряд – сотни. Округляем 309 до 300.
  $309^3 \approx 300^3 = 300 \times 300 \times 300 = 27\;000\;000$.
• $985^3$: старший разряд – сотни. Округляем 985 до 1000.
  $985^3 \approx 1000^3 = 1000 \times 1000 \times 1000 = 1\;000\;000\;000$.

Ответ: $21^3 \approx 8000$; $99^3 \approx 1\;000\;000$; $309^3 \approx 27\;000\;000$; $985^3 \approx 1\;000\;000\;000$.

3) Проверим каждое равенство, используя результаты из заданий 1 и 2.

• а) $113^3 = 1\;442\;893$.
  Проверка по последней цифре (из задания 1): куб числа 113 должен оканчиваться на 7, а число $1\;442\;893$ оканчивается на 3. Равенство неверно.
• б) $309^3 = 2\;953\;629$.
  Проверка по последней цифре: куб числа 309 оканчивается на 9 ($9^3 = 729$), что соответствует результату.
  Проверка по приближенному значению (из задания 2): $309^3 \approx 27\;000\;000$. Результат $2\;953\;629$ значительно меньше. Равенство неверно.
• в) $925^3 = 791\;453\;125$.
  Проверка по последней цифре (из задания 1): куб числа 925 должен оканчиваться на 5, что соответствует результату.
  Проверка по приближенному значению: округлим 925 до 900. $925^3 \approx 900^3 = 729\;000\;000$. Результат $791\;453\;125$ близок к приближенному значению. Равенство верно.
• г) $99^3 = 97\;299$.
  Проверка по последней цифре: куб числа 99 оканчивается на 9 ($9^3 = 729$), что соответствует результату.
  Проверка по приближенному значению (из задания 2): $99^3 \approx 1\;000\;000$. Результат $97\;299$ значительно меньше. Равенство неверно.

Ответ: в) $925^3 = 791\;453\;125$.

б) $309^3 = 2\ 953\ 629$.

г) $99^3 = 97\ 299$.

7.145 Определите на глаз, есть ли в четырёхугольнике, изображённом на рисунке 7.34, прямой угол, какой из его углов тупой, сколько у него острых углов. Измерьте и запишите величину каждого угла четырёхугольника. Выполнив необходимые измерения, найдите его периметр.

Рис. 7.34

Определение типа углов на глаз

При визуальном осмотре четырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке, можно сделать следующие выводы: в нём нет прямых углов (равных $90^\circ$). Угол при вершине B, то есть $\angle B$, является тупым, так как он очевидно больше $90^\circ$. Углы при вершинах A, C и D, то есть $\angle A$, $\angle C$ и $\angle D$, являются острыми, так как они меньше $90^\circ$.

Ответ: В четырёхугольнике нет прямых углов, один тупой угол и три острых угла.

Измерение величины углов

Для определения точных значений углов воспользуемся транспортиром. Измерения показывают следующие приблизительные значения:

• $\angle A \approx 78^\circ$
• $\angle B \approx 112^\circ$
• $\angle C \approx 85^\circ$
• $\angle D \approx 85^\circ$

Проверим сумму углов: $78^\circ + 112^\circ + 85^\circ + 85^\circ = 360^\circ$. Сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$, так что измерения выполнены корректно.

Ответ: $\angle A \approx 78^\circ$, $\angle B \approx 112^\circ$, $\angle C \approx 85^\circ$, $\angle D \approx 85^\circ$.

Нахождение периметра

Для нахождения периметра необходимо измерить длину каждой стороны четырёхугольника с помощью линейки. Результаты измерений (могут незначительно отличаться в зависимости от масштаба изображения):

• Длина стороны $AB \approx 2.8$ см
• Длина стороны $BC \approx 4.0$ см
• Длина стороны $CD \approx 2.5$ см
• Длина стороны $DA \approx 3.0$ см

Периметр $P$ четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон:

$P = AB + BC + CD + DA$

$P \approx 2.8 \text{ см} + 4.0 \text{ см} + 2.5 \text{ см} + 3.0 \text{ см} = 12.3 \text{ см}$

Ответ: Периметр четырёхугольника примерно равен $12.3$ см.