Страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Умею читать и записывать дроби; знаю, что означают числитель и знаменатель дроби.

1. Прочитайте дробь $ \frac{7}{8} $, назовите числитель и знаменатель и объясните, что они показывают. Начертите прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см и закрасьте $ \frac{7}{8} $ этого прямоугольника.

1. Прочитайте дробь $\frac{7}{8}$, назовите числитель и знаменатель и объясните, что они показывают. Начертите прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см и закрасьте $\frac{7}{8}$ этого прямоугольника.

Анализ дроби

Дробь $\frac{7}{8}$ читается как «семь восьмых».

Число 7, которое находится над чертой, называется числителем.

Число 8, которое находится под чертой, называется знаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько равных частей (долей) разделено целое. В данном случае целое разделено на 8 равных частей.

Числитель показывает, сколько таких равных частей (долей) взято. В данном случае взято 7 частей.

Построение и закрашивание прямоугольника

Для выполнения второй части задания необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см.

2. Знаменатель дроби равен 8, поэтому нужно разделить прямоугольник на 8 равных частей. Это можно сделать, разделив сторону длиной 4 см на 4 равных отрезка по 1 см, а сторону длиной 2 см — на 2 равных отрезка по 1 см. Таким образом, прямоугольник будет состоять из 8 одинаковых квадратов.

3. Числитель дроби равен 7, поэтому необходимо закрасить 7 из 8 полученных квадратов.

Изображение результата:

На рисунке показан прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см, разделенный на 8 равных частей, 7 из которых закрашены.

Ответ: Дробь $\frac{7}{8}$ читается «семь восьмых». Числитель — 7, он показывает, сколько равных частей взято. Знаменатель — 8, он показывает, на сколько равных частей разделено целое. На рисунке выше изображен прямоугольник, $\frac{7}{8}$ которого закрашено.

2. В коробке 10 карандашей, 7 из них цветные, остальные – простые. Какую часть всех карандашей составляют цветные карандаши; простые карандаши?

цветные карандаши
В задаче дано, что всего в коробке 10 карандашей. Это общее количество, или целое, которое принимается за знаменатель дроби. Количество цветных карандашей равно 7, это будет числителем дроби. Чтобы определить, какую часть от общего числа карандашей составляют цветные, нужно количество цветных карандашей разделить на общее количество карандашей.
Таким образом, цветные карандаши составляют $\frac{7}{10}$ всех карандашей.
Ответ: $\frac{7}{10}$

простые карандаши
Сначала необходимо найти количество простых карандашей. Для этого нужно из общего количества карандашей вычесть количество цветных карандашей.
$10 - 7 = 3$ (простых карандаша).
Теперь, зная количество простых карандашей, можно определить, какую часть они составляют от общего числа. Общее количество карандашей (10) — это знаменатель, а количество простых карандашей (3) — это числитель.
Таким образом, простые карандаши составляют $\frac{3}{10}$ всех карандашей.
Ответ: $\frac{3}{10}$

3. Определите:

а) сколько граммов содержится в $\frac{1}{2}$ кг; в $\frac{3}{5}$ кг;

б) сколько секунд содержится в $\frac{1}{6}$ мин; в $\frac{2}{3}$ мин.

а) Чтобы определить, сколько граммов в указанных долях килограмма, нужно знать основное соотношение: в одном килограмме содержится 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

Для того чтобы найти часть от целого, нужно это целое (1000 г) умножить на соответствующую дробь.

• Найдем, сколько граммов содержится в $\frac{1}{2}$ кг:
  $1000 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1000}{2} = 500$ г.

• Найдем, сколько граммов содержится в $\frac{3}{5}$ кг:
  $1000 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1000 \cdot 3}{5} = 200 \cdot 3 = 600$ г.

Ответ: в $\frac{1}{2}$ кг содержится 500 граммов; в $\frac{3}{5}$ кг содержится 600 граммов.

б) Чтобы определить, сколько секунд в указанных долях минуты, нужно знать основное соотношение: в одной минуте содержится 60 секунд ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$).

Для того чтобы найти часть от целого, нужно это целое (60 с) умножить на соответствующую дробь.

• Найдем, сколько секунд содержится в $\frac{1}{6}$ мин:
  $60 \cdot \frac{1}{6} = \frac{60}{6} = 10$ с.

• Найдем, сколько секунд содержится в $\frac{2}{3}$ мин:
  $60 \cdot \frac{2}{3} = \frac{60 \cdot 2}{3} = 20 \cdot 2 = 40$ с.

Ответ: в $\frac{1}{6}$ мин содержится 10 секунд; в $\frac{2}{3}$ мин содержится 40 секунд.

Знаю, какие дроби называют правильными и какие — неправильными.

4. Запишите:

а) три правильные дроби со знаменателем 8;

б) три неправильные дроби со знаменателем 8.

а) три правильные дроби со знаменателем 8;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель (число сверху) меньше знаменателя (числа снизу). Знаменатель в нашей задаче равен 8.

Чтобы дробь была правильной, ее числитель должен быть меньше 8. Это могут быть любые целые числа от 1 до 7.

Выберем три любых числа из этого диапазона, например, 2, 5 и 7.

Получаем следующие правильные дроби: $ \frac{2}{8} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{7}{8} $.

Ответ: $ \frac{2}{8} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{7}{8} $.

б) три неправильные дроби со знаменателем 8.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Знаменатель равен 8.

Следовательно, числитель должен быть равен 8 или быть больше 8.

Выберем три любых числа, которые удовлетворяют этому условию, например, 8, 9 и 20.

Получаем следующие неправильные дроби: $ \frac{8}{8} $, $ \frac{9}{8} $, $ \frac{20}{8} $.

Ответ: $ \frac{8}{8} $, $ \frac{9}{8} $, $ \frac{20}{8} $.

Умею изображать дроби точками на координатной прямой; определять координаты точек, отмеченных на координатной прямой.

5. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа $\frac{1}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{5}$.

5. Для того чтобы отметить числа $\frac{1}{5}$, $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{5}$ на координатной прямой, выполним следующие шаги:

1. Начертим координатную прямую. Проведем горизонтальную линию, отметим на ней начало отсчета — точку О с координатой 0, и зададим положительное направление стрелкой вправо.

2. Выберем единичный отрезок. Знаменатель всех дробей равен 5, поэтому удобно разделить единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) на 5 равных частей. Каждая такая часть будет равна $\frac{1}{5}$. Для наглядности можно принять длину единичного отрезка за 5 клеток тетради, тогда одна клетка будет соответствовать $\frac{1}{5}$.

3. Отметим заданные числа на прямой.
• Точка с координатой $\frac{1}{5}$ находится на расстоянии одной такой части (1/5) от начала отсчета.
• Точка с координатой $\frac{3}{5}$ находится на расстоянии трех таких частей от начала отсчета.
• Точка с координатой $\frac{7}{5}$ находится на расстоянии семи таких частей от начала отсчета. Дробь $\frac{7}{5}$ можно представить в виде смешанного числа $1\frac{2}{5}$. Это означает, что данная точка находится на расстоянии двух частей (2/5) правее числа 1.

Ниже приведена координатная прямая с отмеченными точками.

Ответ: Координатная прямая с отмеченными точками $\frac{1}{5}$, $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{5}$ изображена на рисунке выше.

6. Запишите координаты точек, отмеченных на координатной прямой.

A: $0.4$

B: $0.8$

C: $1.2$

D: $1.6$

E: $2.2$

Для того чтобы найти координаты отмеченных точек, сначала определим цену одного деления на координатной прямой. Отрезок от 0 до 1 разделен на 10 равных частей (делений). Это означает, что длина одного деления составляет:

$ (1 - 0) \div 10 = 0.1 $

Теперь, зная цену деления, мы можем найти координату каждой точки, умножив количество делений от начала отсчета (точки 0) до этой точки на цену деления.

Точка A отстоит от начала координат (точки 0) на 2 деления вправо. Поэтому ее координата равна:

$2 \cdot 0.1 = 0.2$

Ответ: A(0.2)

Точка B отстоит от начала координат на 4 деления вправо. Поэтому ее координата равна:

$4 \cdot 0.1 = 0.4$

Ответ: B(0.4)

Точка C отстоит от начала координат на 6 делений вправо. Поэтому ее координата равна:

$6 \cdot 0.1 = 0.6$

Ответ: C(0.6)

Точка D отстоит от начала координат на 9 делений вправо. Поэтому ее координата равна:

$9 \cdot 0.1 = 0.9$

Ответ: D(0.9)

Точка E находится правее отметки 1. Она отстоит от отметки 1 на 3 деления. Отметка 1 соответствует 10 делениям от начала координат. Следовательно, точка E отстоит от начала координат на $10 + 3 = 13$ делений. Ее координата равна:

$13 \cdot 0.1 = 1.3$

Другой способ: к координате 1 прибавить значение трех делений: $1 + 3 \cdot 0.1 = 1 + 0.3 = 1.3$.

Ответ: E(1.3)

Знаю, в чём заключается основное свойство дроби, и умею применять его для нахождения равных дробей.

7. а) Сформулируйте основное свойство дроби.

б) Среди данных дробей найдите дроби, равные $ \frac{3}{4} $: $ \frac{15}{30} $, $ \frac{6}{8} $, $ \frac{3}{12} $, $ \frac{15}{20} $

а)

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Это свойство позволяет упрощать (сокращать) дроби и приводить их к новому знаменателю.
В виде формулы это можно записать так:
$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $ и $ \frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c} $, где $a$, $b$, $c$ - натуральные числа.

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится.

б)

Чтобы найти дроби, равные $ \frac{3}{4} $, необходимо проверить каждую из предложенных дробей. Для этого мы сократим каждую дробь, то есть разделим ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), и сравним полученный результат с дробью $ \frac{3}{4} $.

1. Проверим дробь $ \frac{15}{30} $.
НОД(15, 30) = 15. Сокращаем дробь:
$ \frac{15}{30} = \frac{15:15}{30:15} = \frac{1}{2} $.
Так как $ \frac{1}{2} \neq \frac{3}{4} $, эта дробь не подходит.

2. Проверим дробь $ \frac{6}{8} $.
НОД(6, 8) = 2. Сокращаем дробь:
$ \frac{6}{8} = \frac{6:2}{8:2} = \frac{3}{4} $.
Эта дробь равна $ \frac{3}{4} $.

3. Проверим дробь $ \frac{3}{12} $.
НОД(3, 12) = 3. Сокращаем дробь:
$ \frac{3}{12} = \frac{3:3}{12:3} = \frac{1}{4} $.
Так как $ \frac{1}{4} \neq \frac{3}{4} $, эта дробь не подходит.

4. Проверим дробь $ \frac{15}{20} $.
НОД(15, 20) = 5. Сокращаем дробь:
$ \frac{15}{20} = \frac{15:5}{20:5} = \frac{3}{4} $.
Эта дробь равна $ \frac{3}{4} $.

Таким образом, дроби $ \frac{6}{8} $ и $ \frac{15}{20} $ равны $ \frac{3}{4} $.

Ответ: $ \frac{6}{8} $; $ \frac{15}{20} $.