Страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.125 Начертите два угла с общей вершиной и общей стороной так, чтобы выполнялись следующие условия:

a) $\angle AOB = 42^\circ$, $\angle BOC = 105^\circ$, $\angle AOC = 147^\circ$;

б) $\angle AOB = 55^\circ$, $\angle BOC = 80^\circ$, $\angle AOC = 25^\circ$.

а)

Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ имеют общую вершину O и общую сторону OB. Чтобы определить взаимное расположение лучей OA и OC относительно общей стороны OB, необходимо проанализировать, как связаны величины данных углов.

Дано: $\angle AOB = 42^\circ$, $\angle BOC = 105^\circ$ и $\angle AOC = 147^\circ$.

Возможны два основных варианта расположения:
1. Лучи OA и OC лежат по разные стороны от общего луча OB. В этом случае угол $\angle AOC$ является суммой углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$.
2. Лучи OA и OC лежат по одну сторону от общего луча OB. В этом случае один из меньших углов лежит внутри большего.

Проверим первый вариант, сложив два меньших угла:
$\angle AOB + \angle BOC = 42^\circ + 105^\circ = 147^\circ$.

Полученная сумма равна величине угла $\angle AOC$. Это означает, что луч OB проходит между лучами OA и OC. Для построения нужно начертить лучи OA и OC так, чтобы они образовывали угол $147^\circ$, а затем из вершины O провести луч OB между ними, который делит угол $\angle AOC$ на два угла: $\angle AOB = 42^\circ$ и $\angle BOC = 105^\circ$.

Ответ: для выполнения условия луч OB должен проходить между лучами OA и OC.

б)

Дано: $\angle AOB = 55^\circ$, $\angle BOC = 80^\circ$ и $\angle AOC = 25^\circ$. Проанализируем три возможных варианта взаимного расположения лучей OA, OB и OC.

Случай 1: Луч OB лежит между лучами OA и OC. Тогда должно выполняться равенство $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.
Проверка: $55^\circ + 80^\circ = 135^\circ$. Это не равно заданному значению $\angle AOC = 25^\circ$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Луч OC лежит между лучами OA и OB. Тогда должно выполняться равенство $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$.
Проверка: $25^\circ + 80^\circ = 105^\circ$. Это не равно заданному значению $\angle AOB = 55^\circ$. Следовательно, этот случай также невозможен.

Случай 3: Луч OA лежит между лучами OB и OC. Тогда должно выполняться равенство $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC$.
Проверка: $55^\circ + 25^\circ = 80^\circ$. Это в точности равно заданному значению $\angle BOC$. Следовательно, этот случай является верным.

Таким образом, луч OA проходит внутри угла $\angle BOC$. Чтобы начертить эти углы, нужно сначала построить больший угол $\angle BOC = 80^\circ$, а затем внутри него, из той же вершины O, провести луч OA так, чтобы он образовывал с лучом OB угол $\angle AOB = 55^\circ$. Оставшаяся часть угла, $\angle AOC$, будет равна разности $80^\circ - 55^\circ = 25^\circ$.

Ответ: для выполнения условия луч OA должен проходить между лучами OB и OC.

7.126 Строим по алгоритму

1) Рассмотрите четырёхугольник $ABCD$, изображённый на рисунке 7.32.

2) Скопируйте четырёхугольник $ABCD$ по алгоритму:

• Скопируйте отрезок $AC$ – диагональ четырёхугольника $ABCD$.

• Найдите середину отрезка $AC$ и отметьте точку $O$.

• Скопируйте диагональ $BD$ четырёхугольника $ABCD$.

• Соедините последовательно точки $A, B, C$ и $D$ отрезками.

3) Определите для каждого из углов четырёхугольника $ABCD$, каким он является: прямым, тупым или острым.

4) Измерьте и запишите величину каждого угла четырёхугольника $ABCD$.

Рис. 7.32

3) Определите для каждого из углов четырёхугольника ABCD, каким он является: прямым, тупым или острым:

Для определения вида углов рассмотрим треугольники, на которые четырёхугольник ABCD делится его диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O. По клеткам на рисунке видно, что диагонали перпендикулярны, то есть $ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ $. Также определим длины отрезков диагоналей в единицах сетки:

• $AO = 3$, $CO = 3$.
• $BO = 3$, $DO = 4$.

Теперь проанализируем углы в каждом из этих прямоугольных треугольников:

• В $ \triangle AOB $, катеты $AO = 3$ и $BO = 3$. Так как катеты равны, треугольник является равнобедренным, и углы при основании равны $ \angle BAO = \angle ABO = 45^\circ $.
• Аналогично, в $ \triangle COB $, катеты $CO = 3$ и $BO = 3$. Треугольник равнобедренный, и $ \angle BCO = \angle CBO = 45^\circ $.
• В $ \triangle AOD $, катеты $AO = 3$ и $DO = 4$. Так как $DO > AO$, то и противолежащий угол больше: $ \angle DAO > \angle ADO $. Поскольку их сумма равна $90^\circ$, то $ \angle DAO > 45^\circ $, а $ \angle ADO < 45^\circ $.
• Аналогично, в $ \triangle COD $, катеты $CO = 3$ и $DO = 4$. Следовательно, $ \angle DCO > 45^\circ $, а $ \angle CDO < 45^\circ $.

Определим тип каждого угла четырёхугольника:

• Угол A (∠DAB): $ \angle DAB = \angle BAO + \angle DAO = 45^\circ + \angle DAO $. Так как $ \angle DAO > 45^\circ $, то $ \angle DAB > 90^\circ $. Следовательно, угол A — тупой.
• Угол B (∠ABC): $ \angle ABC = \angle ABO + \angle CBO = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $. Следовательно, угол B — прямой.
• Угол C (∠BCD): $ \angle BCD = \angle BCO + \angle DCO = 45^\circ + \angle DCO $. Так как $ \angle DCO > 45^\circ $, то $ \angle BCD > 90^\circ $. Следовательно, угол C — тупой.
• Угол D (∠CDA): $ \angle CDA = \angle ADO + \angle CDO $. Так как оба этих угла меньше $45^\circ$, их сумма $ \angle CDA < 90^\circ $. Следовательно, угол D — острый.

Ответ: Угол A — тупой, угол B — прямой, угол C — тупой, угол D — острый.

4) Измерьте и запишите величину каждого угла четырёхугольника ABCD.

Для нахождения величин углов воспользуемся вычислениями, основанными на свойствах прямоугольных треугольников, рассмотренных в предыдущем пункте. Мы будем использовать тригонометрические функции.

• Угол B (∠ABC):
  Как было показано, $ \angle B = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $.
• Угол D (∠CDA):
  В прямоугольном $ \triangle AOD $ с катетами $AO=3$ и $DO=4$, тангенс угла $ \angle ADO $ равен $ \tan(\angle ADO) = \frac{AO}{DO} = \frac{3}{4} $.
  Тогда $ \angle ADO = \arctan(\frac{3}{4}) \approx 36.87^\circ $.
  Угол D состоит из двух равных углов ($ \triangle AOD \cong \triangle COD $), поэтому $ \angle D = 2 \cdot \angle ADO \approx 2 \cdot 36.87^\circ = 73.74^\circ $.
  Округляя до целых, получаем $ \angle D \approx 74^\circ $.
• Угол A (∠DAB) и Угол C (∠BCD):
  Четырёхугольник является дельтоидом, в котором углы между неравными сторонами равны, поэтому $ \angle A = \angle C $.
  В прямоугольном $ \triangle AOD $, $ \tan(\angle DAO) = \frac{DO}{AO} = \frac{4}{3} $.
  Тогда $ \angle DAO = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.13^\circ $.
  $ \angle A = \angle BAO + \angle DAO = 45^\circ + \angle DAO \approx 45^\circ + 53.13^\circ = 98.13^\circ $.
  Округляя до целых, получаем $ \angle A = \angle C \approx 98^\circ $.

Проверка: Сумма углов четырёхугольника должна быть $360^\circ$.
$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D \approx 98^\circ + 90^\circ + 98^\circ + 74^\circ = 360^\circ $.
Сумма сходится, вычисления верны.

Ответ: $ \angle A \approx 98^\circ $, $ \angle B = 90^\circ $, $ \angle C \approx 98^\circ $, $ \angle D \approx 74^\circ $.