Страница 149 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.95 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $\frac{5}{4}$ и $\frac{3}{2}$;

б) $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{15}$;

в) $\frac{7}{15}$ и $\frac{5}{9}$;

г) $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{10}$;

д) $\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{18}$;

е) $\frac{5}{8}$ и $\frac{2}{3}$;

ж) $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{15}$;

з) $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{15}$;

и) $\frac{3}{10}$ и $\frac{33}{100}$.

а) Для дробей $\frac{5}{4}$ и $\frac{3}{2}$ наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 4 и 2. Поскольку 4 делится на 2, НОК(4, 2) = 4.
Первая дробь $\frac{5}{4}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для второй дроби $\frac{3}{2}$ найдем дополнительный множитель: $4 \div 2 = 2$. Умножим числитель и знаменатель на этот множитель: $\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$ и $\frac{6}{4}$.

б) Для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{15}$ наименьший общий знаменатель — это НОК(3, 15). Поскольку 15 делится на 3, НОК(3, 15) = 15.
Вторая дробь $\frac{2}{15}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для первой дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $15 \div 3 = 5$. Умножим числитель и знаменатель на 5: $\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$.
Ответ: $\frac{10}{15}$ и $\frac{2}{15}$.

в) Для дробей $\frac{7}{15}$ и $\frac{5}{9}$ найдем НОК знаменателей 15 и 9.
Разложим знаменатели на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$; $9 = 3^2$.
НОК(15, 9) = $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $45 \div 15 = 3$. Получаем: $\frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{21}{45}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $45 \div 9 = 5$. Получаем: $\frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{25}{45}$.
Ответ: $\frac{21}{45}$ и $\frac{25}{45}$.

г) Для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{10}$ найдем НОК знаменателей 6 и 10.
Разложим знаменатели на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$; $10 = 2 \cdot 5$.
НОК(6, 10) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $30 \div 6 = 5$. Получаем: $\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $30 \div 10 = 3$. Получаем: $\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$.
Ответ: $\frac{5}{30}$ и $\frac{9}{30}$.

д) Для дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{18}$ наименьший общий знаменатель — это НОК(3, 18). Поскольку 18 делится на 3, НОК(3, 18) = 18.
Вторая дробь $\frac{5}{18}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для первой дроби $\frac{1}{3}$ дополнительный множитель равен $18 \div 3 = 6$. Умножим числитель и знаменатель на 6: $\frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}$.
Ответ: $\frac{6}{18}$ и $\frac{5}{18}$.

е) Для дробей $\frac{5}{8}$ и $\frac{2}{3}$ найдем НОК знаменателей 8 и 3.
Числа 8 и 3 взаимно простые, поэтому их НОК равен их произведению: НОК(8, 3) = $8 \cdot 3 = 24$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 8 = 3$. Получаем: $\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 3 = 8$. Получаем: $\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$.
Ответ: $\frac{15}{24}$ и $\frac{16}{24}$.

ж) Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{15}$ найдем НОК знаменателей 2 и 15.
Числа 2 и 15 взаимно простые, поэтому их НОК равен их произведению: НОК(2, 15) = $2 \cdot 15 = 30$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $30 \div 2 = 15$. Получаем: $\frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{15}{30}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $30 \div 15 = 2$. Получаем: $\frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30}$.
Ответ: $\frac{15}{30}$ и $\frac{4}{30}$.

з) Для дробей $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{15}$ найдем НОК знаменателей 12 и 15.
Разложим знаменатели на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$; $15 = 3 \cdot 5$.
НОК(12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $60 \div 12 = 5$. Получаем: $\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $60 \div 15 = 4$. Получаем: $\frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$.
Ответ: $\frac{25}{60}$ и $\frac{28}{60}$.

и) Для дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{33}{100}$ наименьший общий знаменатель — это НОК(10, 100). Поскольку 100 делится на 10, НОК(10, 100) = 100.
Вторая дробь $\frac{33}{100}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для первой дроби $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель равен $100 \div 10 = 10$. Умножим числитель и знаменатель на 10: $\frac{3 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{30}{100}$.
Ответ: $\frac{30}{100}$ и $\frac{33}{100}$.

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю (7.96–7.97).

7.96 а) $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}; $

б) $ \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{2}{3}; $

в) $ \frac{8}{15}, \frac{7}{10}, \frac{3}{5}; $

г) $ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}; $

д) $ \frac{1}{6}, \frac{3}{8}, \frac{2}{9}; $

е) $ \frac{5}{12}, \frac{4}{15}, \frac{3}{10}. $

а) Даны дроби $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6} $.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 2, 4 и 6.
НОК(2, 4, 6) = 12.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен 12.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби и умножим на них числитель и знаменатель:
Для $ \frac{1}{2} $ дополнительный множитель $ 12 \div 2 = 6 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} $.
Для $ \frac{1}{4} $ дополнительный множитель $ 12 \div 4 = 3 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $.
Для $ \frac{1}{6} $ дополнительный множитель $ 12 \div 6 = 2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $.
Ответ: $ \frac{6}{12}, \frac{3}{12}, \frac{2}{12} $.

б) Даны дроби $ \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{2}{3} $.
Найдем НОК знаменателей: 4, 8 и 3.
НОК(4, 8, 3) = 24.
Наименьший общий знаменатель равен 24.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot (24 \div 4)}{4 \cdot 6} = \frac{3 \cdot 6}{24} = \frac{18}{24} $
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot (24 \div 8)}{8 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 3}{24} = \frac{9}{24} $
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot (24 \div 3)}{3 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 8}{24} = \frac{16}{24} $
Ответ: $ \frac{18}{24}, \frac{9}{24}, \frac{16}{24} $.

в) Даны дроби $ \frac{8}{15}, \frac{7}{10}, \frac{3}{5} $.
Найдем НОК знаменателей: 15, 10 и 5.
$ 15 = 3 \cdot 5 $
$ 10 = 2 \cdot 5 $
$ 5 = 5 $
НОК(15, 10, 5) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $.
Наименьший общий знаменатель равен 30.
Приведем дроби к знаменателю 30:
$ \frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30} $
$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30} $
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30} $
Ответ: $ \frac{16}{30}, \frac{21}{30}, \frac{18}{30} $.

г) Даны дроби $ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5} $.
Знаменатели 2, 3, 5 являются простыми числами.
НОК(2, 3, 5) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $.
Наименьший общий знаменатель равен 30.
Приведем дроби к знаменателю 30:
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{15}{30} $
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30} $
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30} $
Ответ: $ \frac{15}{30}, \frac{20}{30}, \frac{18}{30} $.

д) Даны дроби $ \frac{1}{6}, \frac{3}{8}, \frac{2}{9} $.
Найдем НОК знаменателей: 6, 8 и 9.
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ 8 = 2^3 $
$ 9 = 3^2 $
НОК(6, 8, 9) = $ 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $.
Наименьший общий знаменатель равен 72.
Приведем дроби к знаменателю 72:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 12}{6 \cdot 12} = \frac{12}{72} $
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72} $
$ \frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{16}{72} $
Ответ: $ \frac{12}{72}, \frac{27}{72}, \frac{16}{72} $.

е) Даны дроби $ \frac{5}{12}, \frac{4}{15}, \frac{3}{10} $.
Найдем НОК знаменателей: 12, 15 и 10.
$ 12 = 2^2 \cdot 3 $
$ 15 = 3 \cdot 5 $
$ 10 = 2 \cdot 5 $
НОК(12, 15, 10) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $.
Наименьший общий знаменатель равен 60.
Приведем дроби к знаменателю 60:
$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60} $
$ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{16}{60} $
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{18}{60} $
Ответ: $ \frac{25}{60}, \frac{16}{60}, \frac{18}{60} $.

7.97 a) $\frac{1}{12}$, $\frac{7}{18}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{15}$;

б) $\frac{3}{14}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{10}{21}$, $\frac{11}{42}$;

в) $\frac{4}{15}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{20}$, $\frac{5}{12}$;

г) $\frac{7}{30}$, $\frac{2}{45}$, $\frac{9}{20}$, $\frac{17}{60}$.

а) Чтобы привести дроби $\frac{1}{12}$, $\frac{7}{18}$, $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{15}$ к общему знаменателю, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 12, 18, 3 и 15. Разложим знаменатели на простые множители:
$12 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^2$
$3 = 3$
$15 = 3 \cdot 5$
НОК(12, 18, 3, 15) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Теперь найдем для каждой дроби дополнительный множитель и умножим на него числитель и знаменатель:
Для $\frac{1}{12}$ дополнительный множитель равен $180 \div 12 = 15$, поэтому $\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 15}{12 \cdot 15} = \frac{15}{180}$.
Для $\frac{7}{18}$ дополнительный множитель равен $180 \div 18 = 10$, поэтому $\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 10}{18 \cdot 10} = \frac{70}{180}$.
Для $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $180 \div 3 = 60$, поэтому $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 60}{3 \cdot 60} = \frac{120}{180}$.
Для $\frac{4}{15}$ дополнительный множитель равен $180 \div 15 = 12$, поэтому $\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 12}{15 \cdot 12} = \frac{48}{180}$.
Ответ: $\frac{15}{180}, \frac{70}{180}, \frac{120}{180}, \frac{48}{180}$.

б) Чтобы привести дроби $\frac{3}{14}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{10}{21}$ и $\frac{11}{42}$ к общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 14, 7, 21 и 42.
Разложим знаменатели на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$7 = 7$
$21 = 3 \cdot 7$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
НОК(14, 7, 21, 42) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Теперь приведем дроби к знаменателю 42:
Для $\frac{3}{14}$ дополнительный множитель равен $42 \div 14 = 3$, поэтому $\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$.
Для $\frac{5}{7}$ дополнительный множитель равен $42 \div 7 = 6$, поэтому $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{30}{42}$.
Для $\frac{10}{21}$ дополнительный множитель равен $42 \div 21 = 2$, поэтому $\frac{10}{21} = \frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{20}{42}$.
Дробь $\frac{11}{42}$ уже имеет нужный знаменатель.
Ответ: $\frac{9}{42}, \frac{30}{42}, \frac{20}{42}, \frac{11}{42}$.

в) Чтобы привести дроби $\frac{4}{15}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{20}$ и $\frac{5}{12}$ к общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 15, 6, 20 и 12.
Разложим знаменатели на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$6 = 2 \cdot 3$
$20 = 2^2 \cdot 5$
$12 = 2^2 \cdot 3$
НОК(15, 6, 20, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Теперь приведем дроби к знаменателю 60:
Для $\frac{4}{15}$ дополнительный множитель равен $60 \div 15 = 4$, поэтому $\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{16}{60}$.
Для $\frac{1}{6}$ дополнительный множитель равен $60 \div 6 = 10$, поэтому $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{10}{60}$.
Для $\frac{3}{20}$ дополнительный множитель равен $60 \div 20 = 3$, поэтому $\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60}$.
Для $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель равен $60 \div 12 = 5$, поэтому $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$.
Ответ: $\frac{16}{60}, \frac{10}{60}, \frac{9}{60}, \frac{25}{60}$.

г) Чтобы привести дроби $\frac{7}{30}$, $\frac{2}{45}$, $\frac{9}{20}$ и $\frac{17}{60}$ к общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 30, 45, 20 и 60.
Разложим знаменатели на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$45 = 3^2 \cdot 5$
$20 = 2^2 \cdot 5$
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
НОК(30, 45, 20, 60) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Теперь приведем дроби к знаменателю 180:
Для $\frac{7}{30}$ дополнительный множитель равен $180 \div 30 = 6$, поэтому $\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 6}{30 \cdot 6} = \frac{42}{180}$.
Для $\frac{2}{45}$ дополнительный множитель равен $180 \div 45 = 4$, поэтому $\frac{2}{45} = \frac{2 \cdot 4}{45 \cdot 4} = \frac{8}{180}$.
Для $\frac{9}{20}$ дополнительный множитель равен $180 \div 20 = 9$, поэтому $\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 9}{20 \cdot 9} = \frac{81}{180}$.
Для $\frac{17}{60}$ дополнительный множитель равен $180 \div 60 = 3$, поэтому $\frac{17}{60} = \frac{17 \cdot 3}{60 \cdot 3} = \frac{51}{180}$.
Ответ: $\frac{42}{180}, \frac{8}{180}, \frac{81}{180}, \frac{51}{180}$.

7.98 Значение какого выражения больше и на сколько:

а) $11^2 + 12^2$ или $(11 + 12)^2$;

б) $(25 - 10)^2$ или $25^2 - 10^2$?

а) Сравним значения выражений $11^2 + 12^2$ и $(11 + 12)^2$.

1. Вычислим значение первого выражения:
$11^2 + 12^2 = 121 + 144 = 265$.

2. Вычислим значение второго выражения:
$(11 + 12)^2 = 23^2 = 529$.

3. Сравним полученные результаты:
$529 > 265$.
Следовательно, значение выражения $(11 + 12)^2$ больше.

4. Найдем, на сколько одно значение больше другого, для этого вычтем из большего значения меньшее:
$529 - 265 = 264$.

Также можно было воспользоваться формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Разница между $(11+12)^2$ и $11^2 + 12^2$ составляет $2ab$, то есть $2 \cdot 11 \cdot 12 = 264$.

Ответ: значение выражения $(11 + 12)^2$ больше на 264.

б) Сравним значения выражений $(25 - 10)^2$ и $25^2 - 10^2$.

1. Вычислим значение первого выражения:
$(25 - 10)^2 = 15^2 = 225$.

2. Вычислим значение второго выражения, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$25^2 - 10^2 = (25 - 10)(25 + 10) = 15 \cdot 35 = 525$.

3. Сравним полученные результаты:
$525 > 225$.
Следовательно, значение выражения $25^2 - 10^2$ больше.

4. Найдем, на сколько одно значение больше другого:
$525 - 225 = 300$.

Также можно было сравнить формулы:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$a^2 - b^2$
Разница между ними: $(a^2 - b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab - 2b^2$.
Для наших чисел: $2 \cdot 25 \cdot 10 - 2 \cdot 10^2 = 500 - 2 \cdot 100 = 500 - 200 = 300$.

Ответ: значение выражения $25^2 - 10^2$ больше на 300.

7.99 Разделив с остатком 17 на 3, мы получим неполное частное 5 и остаток 2. Этот факт с помощью равенства записывается так: $17 = 3 \cdot 5 + 2$. Выполните деление с остатком и запишите соответствующее равенство:

а) 96 : 15;

б) 136 : 6;

в) 217 : 11;

г) 125 : 3.

а) Чтобы разделить 96 на 15 с остатком, найдем наибольшее число до 96, которое делится на 15 без остатка. Это число 90, так как $15 \cdot 6 = 90$. Значит, неполное частное равно 6. Теперь найдем остаток от деления: $96 - 90 = 6$. Остаток (6) меньше делителя (15), следовательно, деление выполнено верно. Запишем соответствующее равенство по формуле: делимое = делитель $\cdot$ неполное частное + остаток.

Ответ: $96 = 15 \cdot 6 + 6$

б) Выполним деление 136 на 6. Подберем ближайшее к 136 число, которое делится на 6 без остатка. $6 \cdot 20 = 120$. $136 - 120 = 16$. $16 : 6 = 2$ (ост. 4). Значит, неполное частное равно $20 + 2 = 22$. Проверим: $6 \cdot 22 = 132$. Найдем остаток: $136 - 132 = 4$. Остаток (4) меньше делителя (6). Запишем равенство.

Ответ: $136 = 6 \cdot 22 + 4$

в) Разделим 217 на 11. Выполним деление столбиком или подбором. $11 \cdot 10 = 110$. $11 \cdot 20 = 220$ (это больше 217). Значит, неполное частное меньше 20. Попробуем 19: $11 \cdot 19 = 11 \cdot (20 - 1) = 220 - 11 = 209$. Это ближайшее к 217 число, кратное 11. Неполное частное равно 19. Найдем остаток: $217 - 209 = 8$. Остаток (8) меньше делителя (11). Запишем итоговое равенство.

Ответ: $217 = 11 \cdot 19 + 8$

г) Разделим 125 на 3. Найдем неполное частное. $12$ делится на $3$, получаем $4$. Сносим $5$. $5$ делим на $3$, получаем $1$ и остаток $2$. Значит, неполное частное равно 41. Проверим: $3 \cdot 41 = 123$. Найдем остаток: $125 - 123 = 2$. Остаток (2) меньше делителя (3). Запишем равенство.

Ответ: $125 = 3 \cdot 41 + 2$

7.100 РАССУЖДАЕМ

1) Радиус колеса обозрения равен 35 м (рис. 7.30). На какую наибольшую высоту от поверхности земли поднимается кабина, если в нижней точке она находится на высоте 3 м?

2) На колесе 12 кабин. Определите величину угла между двумя соседними кабинами.

3) Полный оборот колесо совершает за 24 мин. Где окажется кабина с номером 1 через 12 мин; через 6 мин; через 20 мин?

Рис. 7.30

1)

Наибольшая высота подъема кабины равна сумме высоты ее нижней точки над землей и диаметра колеса обозрения. Диаметр колеса равен удвоенному радиусу.

Дано:

• Радиус колеса $R = 35$ м.
• Высота нижней точки над землей $h_{min} = 3$ м.

Найдем диаметр колеса:

$D = 2 \times R = 2 \times 35 \text{ м} = 70 \text{ м}$.

Теперь найдем наибольшую высоту подъема:

$h_{max} = h_{min} + D = 3 \text{ м} + 70 \text{ м} = 73 \text{ м}$.

Ответ: 73 м.

2)

Колесо представляет собой окружность, полный угол которой составляет $360^\circ$. На колесе равномерно расположены 12 кабин. Чтобы найти величину угла между двумя соседними кабинами, необходимо полный угол окружности разделить на количество кабин.

Угол $\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

3)

Полный оборот колесо совершает за 24 минуты. На колесе 12 кабин. Следовательно, время, за которое колесо поворачивается на одну позицию (от одной кабины до следующей), составляет:

$t_{1 \text{ поз}} = \frac{24 \text{ мин}}{12} = 2 \text{ мин}$.

Начальное положение кабины 1 — самая нижняя точка. Движение происходит против часовой стрелки (как показано на рисунке).

• Через 12 мин:

  За 12 минут колесо совершит $12 / 24 = 1/2$ полного оборота. Это означает, что кабина 1 переместится в диаметрально противоположную точку, то есть в самую верхнюю. В начальный момент времени в этой точке находится кабина 7.

• Через 6 мин:

  За 6 минут колесо совершит $6 / 24 = 1/4$ полного оборота. Это соответствует повороту на $90^\circ$ против часовой стрелки. Кабина 1 переместится на $6 \text{ мин} / 2 \text{ мин/поз} = 3$ позиции. Отсчитывая от позиции 1 против часовой стрелки, получим: 1 → 12 → 11 → 10. Кабина 1 окажется на месте кабины 10.

• Через 20 мин:

  За 20 минут кабина 1 переместится на $20 \text{ мин} / 2 \text{ мин/поз} = 10$ позиций против часовой стрелки. Отсчитывая от позиции 1 десять позиций: 1 → 12 → 11 → 10 → 9 → 8 → 7 → 6 → 5 → 4 → 3. Кабина 1 окажется на месте кабины 3.

Ответ: через 12 мин кабина 1 окажется на месте кабины 7; через 6 мин — на месте кабины 10; через 20 мин — на месте кабины 3.