Страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.56 МОДЕЛИРУЕМ Начертите прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см.

Разделите его на три равные части.

а) На сколько равных частей надо разделить каждую третью часть, чтобы получить девятые доли? Сделайте это. Сколько девятых долей в $\frac{1}{3}$?

б) На сколько равных частей надо разделить каждую девятую часть, чтобы получить восемнадцатые доли? Сколько восемнадцатых долей в $\frac{1}{9}$; в $\frac{1}{3}$?

Сначала начертим прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см. Чтобы разделить его на три равные части, мы можем разделить сторону длиной 6 см на три равных отрезка по 2 см каждый и провести линии. В результате мы получим три квадрата размером 2 см на 2 см. Каждая из этих частей будет составлять $\frac{1}{3}$ всего прямоугольника.

а) Чтобы из третьих долей получить девятые, необходимо общее количество частей увеличить с 3 до 9. Для этого нужно каждую из существующих трех частей разделить на одинаковое количество новых частей. Найдем это количество: $9 \div 3 = 3$. Таким образом, каждую третью часть надо разделить на 3 равные части.
Чтобы узнать, сколько девятых долей в $\frac{1}{3}$, приведем эту дробь к знаменателю 9. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на 3:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9}$
Это означает, что в одной третьей доле содержится три девятых доли.

Ответ: Каждую третью часть надо разделить на 3 равные части. В $\frac{1}{3}$ содержится 3 девятых доли.

б) Чтобы из девятых долей получить восемнадцатые, необходимо общее количество частей увеличить с 9 до 18. Для этого нужно каждую из девяти частей разделить на: $18 \div 9 = 2$. Таким образом, каждую девятую часть надо разделить на 2 равные части.
Чтобы узнать, сколько восемнадцатых долей в $\frac{1}{9}$, приведем эту дробь к знаменателю 18:
$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}$
Это значит, что в одной девятой доле содержится две восемнадцатых доли.
Чтобы узнать, сколько восемнадцатых долей в $\frac{1}{3}$, приведем эту дробь к знаменателю 18:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}$
Это значит, что в одной третьей доле содержится шесть восемнадцатых долей.

Ответ: Каждую девятую часть надо разделить на 2 равные части. В $\frac{1}{9}$ содержится 2 восемнадцатых доли; в $\frac{1}{3}$ содержится 6 восемнадцатых долей.

7.57 Закончите запись:

а) $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dots$

в) $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 10} = \dots$

д) $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \dots$

б) $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \dots$

г) $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \dots$

е) $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 100}{2 \cdot 100} = \dots$

а) Чтобы завершить запись, необходимо выполнить умножение в числителе и в знаменателе. Это действие основано на основном свойстве дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. В данном примере числитель $2$ и знаменатель $3$ умножаются на $4$. Вычисляем произведение в числителе: $2 \cdot 4 = 8$. Вычисляем произведение в знаменателе: $3 \cdot 4 = 12$. Следовательно, $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$. Ответ: $\frac{8}{12}$.

б) В данном примере необходимо умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{7}$ на число $2$. Вычисляем новое значение числителя: $5 \cdot 2 = 10$. Вычисляем новое значение знаменателя: $7 \cdot 2 = 14$. Таким образом, мы приводим дробь к новому виду, не изменяя ее значения: $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{10}{14}$. Ответ: $\frac{10}{14}$.

в) Здесь нужно завершить запись для дроби $\frac{3}{4}$, числитель и знаменатель которой умножаются на $10$. Выполним умножение для числителя: $3 \cdot 10 = 30$. Выполним умножение для знаменателя: $4 \cdot 10 = 40$. В результате получаем дробь, равную исходной: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 10} = \frac{30}{40}$. Ответ: $\frac{30}{40}$.

г) Для дроби $\frac{2}{5}$ необходимо выполнить умножение числителя и знаменателя на $8$. Вычисляем числитель новой дроби: $2 \cdot 8 = 16$. Вычисляем знаменатель новой дроби: $5 \cdot 8 = 40$. Итоговая запись будет следующей: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40}$. Ответ: $\frac{16}{40}$.

д) В этом задании числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{6}$ умножаются на $7$. Найдем произведение в числителе: $1 \cdot 7 = 7$. Найдем произведение в знаменателе: $6 \cdot 7 = 42$. Таким образом, мы получаем дробь $\frac{7}{42}$, равную исходной дроби $\frac{1}{6}$. Полная запись: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42}$. Ответ: $\frac{7}{42}$.

е) Для дроби $\frac{3}{2}$ выполняется умножение числителя и знаменателя на $100$. Вычисляем значение нового числителя: $3 \cdot 100 = 300$. Вычисляем значение нового знаменателя: $2 \cdot 100 = 200$. В результате получаем, что $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 100}{2 \cdot 100} = \frac{300}{200}$. Ответ: $\frac{300}{200}$.

7.58 Восстановите запись:

а) $ \frac{2}{3} = \frac{\quad}{6} = \frac{\quad}{18} = \frac{\quad}{36} $

б) $ \frac{7}{4} = \frac{\quad}{16} = \frac{\quad}{48} = \frac{\quad}{96} $

а) Чтобы восстановить запись, необходимо найти числители дробей, равных исходной дроби $\frac{2}{3}$. Для этого будем использовать основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

1. Найдем числитель дроби со знаменателем 6. Так как новый знаменатель 6 в 2 раза больше исходного знаменателя 3 ($6 \div 3 = 2$), то и числитель нужно умножить на 2: $2 \times 2 = 4$. Получаем дробь $\frac{4}{6}$.

2. Найдем числитель дроби со знаменателем 18. Так как новый знаменатель 18 в 6 раз больше исходного знаменателя 3 ($18 \div 3 = 6$), то и числитель нужно умножить на 6: $2 \times 6 = 12$. Получаем дробь $\frac{12}{18}$.

3. Найдем числитель дроби со знаменателем 36. Так как новый знаменатель 36 в 12 раз больше исходного знаменателя 3 ($36 \div 3 = 12$), то и числитель нужно умножить на 12: $2 \times 12 = 24$. Получаем дробь $\frac{24}{36}$.

Таким образом, восстановленная запись выглядит следующим образом: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{12}{18} = \frac{24}{36}$.

Ответ: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{12}{18} = \frac{24}{36}$.

б) Аналогично восстановим запись для дроби $\frac{7}{4}$.

1. Найдем числитель дроби со знаменателем 16. Новый знаменатель 16 в 4 раза больше исходного знаменателя 4 ($16 \div 4 = 4$). Умножим числитель на 4: $7 \times 4 = 28$. Получаем дробь $\frac{28}{16}$.

2. Найдем числитель дроби со знаменателем 48. Новый знаменатель 48 в 12 раз больше исходного знаменателя 4 ($48 \div 4 = 12$). Умножим числитель на 12: $7 \times 12 = 84$. Получаем дробь $\frac{84}{48}$.

3. Найдем числитель дроби со знаменателем 96. Новый знаменатель 96 в 24 раза больше исходного знаменателя 4 ($96 \div 4 = 24$). Умножим числитель на 24: $7 \times 24 = 168$. Получаем дробь $\frac{168}{96}$.

Таким образом, восстановленная запись выглядит следующим образом: $\frac{7}{4} = \frac{28}{16} = \frac{84}{48} = \frac{168}{96}$.

Ответ: $\frac{7}{4} = \frac{28}{16} = \frac{84}{48} = \frac{168}{96}$.

7.59 Восстановите запись:

а) $\frac{1}{3} = \frac{\quad}{6} = \frac{\quad}{9} = \frac{\quad}{12} = \frac{\quad}{15} = \frac{\quad}{18}$

б) $\frac{1}{4} = \frac{\quad}{12} = \frac{4}{\quad} = \frac{\quad}{20} = \frac{7}{\quad} = \frac{\quad}{60}$

в) $\frac{4}{5} = \frac{\quad}{10} = \frac{\quad}{15} = \frac{\quad}{25} = \frac{\quad}{75} = \frac{\quad}{100}$

г) $\frac{5}{6} = \frac{\quad}{12} = \frac{25}{\quad} = \frac{\quad}{36} = \frac{50}{\quad} = \frac{\quad}{66}$

а) В данной цепочке равенств все дроби должны быть равны первой дроби $ \frac{1}{3} $. Чтобы найти неизвестные знаменатели, воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь. Для каждой дроби определим, на какое число был умножен числитель, и умножим знаменатель на то же число.

1. $ \frac{1}{3} = \frac{2}{?} $. Числитель 1 умножили на 2, чтобы получить 2. Значит, знаменатель 3 тоже нужно умножить на 2: $ 3 \times 2 = 6 $. Получаем дробь $ \frac{2}{6} $.

2. $ \frac{1}{3} = \frac{3}{?} $. Числитель 1 умножили на 3. Значит, знаменатель 3 умножаем на 3: $ 3 \times 3 = 9 $. Получаем дробь $ \frac{3}{9} $.

3. $ \frac{1}{3} = \frac{4}{?} $. Числитель 1 умножили на 4. Значит, знаменатель 3 умножаем на 4: $ 3 \times 4 = 12 $. Получаем дробь $ \frac{4}{12} $.

4. $ \frac{1}{3} = \frac{5}{?} $. Числитель 1 умножили на 5. Значит, знаменатель 3 умножаем на 5: $ 3 \times 5 = 15 $. Получаем дробь $ \frac{5}{15} $.

5. $ \frac{1}{3} = \frac{6}{?} $. Числитель 1 умножили на 6. Значит, знаменатель 3 умножаем на 6: $ 3 \times 6 = 18 $. Получаем дробь $ \frac{6}{18} $.

Восстановленная запись: $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15} = \frac{6}{18} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15} = \frac{6}{18} $

б) Все дроби в этой последовательности равны $ \frac{1}{4} $. Чтобы найти пропущенные числа, мы определяем, во сколько раз изменился известный числитель или знаменатель по сравнению с исходной дробью, и применяем тот же множитель к неизвестной части дроби.

1. $ \frac{1}{4} = \frac{?}{12} $. Знаменатель 4 увеличился в 3 раза ($ 12 : 4 = 3 $). Умножаем числитель 1 на 3: $ 1 \times 3 = 3 $. Получаем дробь $ \frac{3}{12} $.

2. $ \frac{1}{4} = \frac{4}{?} $. Числитель 1 увеличился в 4 раза ($ 4 : 1 = 4 $). Умножаем знаменатель 4 на 4: $ 4 \times 4 = 16 $. Получаем дробь $ \frac{4}{16} $.

3. $ \frac{1}{4} = \frac{?}{20} $. Знаменатель 4 увеличился в 5 раз ($ 20 : 4 = 5 $). Умножаем числитель 1 на 5: $ 1 \times 5 = 5 $. Получаем дробь $ \frac{5}{20} $.

4. $ \frac{1}{4} = \frac{7}{?} $. Числитель 1 увеличился в 7 раз ($ 7 : 1 = 7 $). Умножаем знаменатель 4 на 7: $ 4 \times 7 = 28 $. Получаем дробь $ \frac{7}{28} $.

5. $ \frac{1}{4} = \frac{?}{60} $. Знаменатель 4 увеличился в 15 раз ($ 60 : 4 = 15 $). Умножаем числитель 1 на 15: $ 1 \times 15 = 15 $. Получаем дробь $ \frac{15}{60} $.

Восстановленная запись: $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16} = \frac{5}{20} = \frac{7}{28} = \frac{15}{60} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16} = \frac{5}{20} = \frac{7}{28} = \frac{15}{60} $

в) Исходная дробь — $ \frac{4}{5} $. Найдём пропущенные числители, сохраняя равенство. Для этого определим, во сколько раз знаменатель каждой следующей дроби больше знаменателя исходной дроби (числа 5), и на это же число умножим числитель исходной дроби (число 4).

1. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{10} $. Знаменатель увеличился в 2 раза ($ 10 : 5 = 2 $). Умножаем числитель на 2: $ 4 \times 2 = 8 $. Получаем $ \frac{8}{10} $.

2. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{15} $. Знаменатель увеличился в 3 раза ($ 15 : 5 = 3 $). Умножаем числитель на 3: $ 4 \times 3 = 12 $. Получаем $ \frac{12}{15} $.

3. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{25} $. Знаменатель увеличился в 5 раз ($ 25 : 5 = 5 $). Умножаем числитель на 5: $ 4 \times 5 = 20 $. Получаем $ \frac{20}{25} $.

4. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{75} $. Знаменатель увеличился в 15 раз ($ 75 : 5 = 15 $). Умножаем числитель на 15: $ 4 \times 15 = 60 $. Получаем $ \frac{60}{75} $.

5. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{100} $. Знаменатель увеличился в 20 раз ($ 100 : 5 = 20 $). Умножаем числитель на 20: $ 4 \times 20 = 80 $. Получаем $ \frac{80}{100} $.

Восстановленная запись: $ \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = \frac{12}{15} = \frac{20}{25} = \frac{60}{75} = \frac{80}{100} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = \frac{12}{15} = \frac{20}{25} = \frac{60}{75} = \frac{80}{100} $

г) Эталонная дробь — $ \frac{5}{6} $. Для восстановления записи находим множитель для каждой дроби, сравнивая её известный числитель или знаменатель с соответствующим в дроби $ \frac{5}{6} $, а затем умножаем на этот множитель вторую часть дроби.

1. $ \frac{5}{6} = \frac{?}{12} $. Знаменатель 6 умножили на 2 ($ 12 : 6 = 2 $). Значит, числитель 5 также умножаем на 2: $ 5 \times 2 = 10 $. Получаем $ \frac{10}{12} $.

2. $ \frac{5}{6} = \frac{25}{?} $. Числитель 5 умножили на 5 ($ 25 : 5 = 5 $). Значит, знаменатель 6 также умножаем на 5: $ 6 \times 5 = 30 $. Получаем $ \frac{25}{30} $.

3. $ \frac{5}{6} = \frac{?}{36} $. Знаменатель 6 умножили на 6 ($ 36 : 6 = 6 $). Значит, числитель 5 также умножаем на 6: $ 5 \times 6 = 30 $. Получаем $ \frac{30}{36} $.

4. $ \frac{5}{6} = \frac{50}{?} $. Числитель 5 умножили на 10 ($ 50 : 5 = 10 $). Значит, знаменатель 6 также умножаем на 10: $ 6 \times 10 = 60 $. Получаем $ \frac{50}{60} $.

5. $ \frac{5}{6} = \frac{?}{66} $. Знаменатель 6 умножили на 11 ($ 66 : 6 = 11 $). Значит, числитель 5 также умножаем на 11: $ 5 \times 11 = 55 $. Получаем $ \frac{55}{66} $.

Восстановленная запись: $ \frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{25}{30} = \frac{30}{36} = \frac{50}{60} = \frac{55}{66} $.

Ответ: $ \frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{25}{30} = \frac{30}{36} = \frac{50}{60} = \frac{55}{66} $

7.60 РАССУЖДАЕМ Определите координату точки А (рис. 7.27).

а) $A = 1/2$

б) $A = 1/5$

Рис. 7.27

а) Для того чтобы определить координату точки А, сначала найдем цену одного деления на числовой прямой. Отрезок от 0 до 1 разделен на 4 равных части. Это означает, что длина каждой части (цена деления) составляет $ \frac{1-0}{4} = \frac{1}{4} $. Точка А находится на первом делении справа от нуля. Следовательно, ее координата равна $ 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ A(\frac{1}{4}) $

б) На второй числовой прямой отрезок от 0 до 1 разделен на 5 равных частей. Таким образом, цена одного деления на этой прямой равна $ \frac{1-0}{5} = \frac{1}{5} $. Точка А расположена на четвертом делении справа от нуля. Чтобы найти ее координату, нужно умножить номер деления на цену одного деления: $ 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ A(\frac{4}{5}) $

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (7.61–7.62)

7.61 Прочитайте пример 1 в тексте учебного пособия и перечислите шаги, которые надо сделать для приведения дроби к новому знаменателю. Приведите дробь:

а) $¾$ к знаменателю 8, 20, 100, 1000;

б) $&frac27;$ к знаменателю 14, 21, 35, 140;

в) $⅝$ к знаменателю 16, 32, 56, 1000.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти дополнительный множитель. Для этого нужно новый знаменатель разделить на исходный (старый) знаменатель.
2. Умножить числитель и знаменатель исходной дроби на полученный дополнительный множитель. В результате получится дробь, равная исходной, но с новым знаменателем.

Приведем дроби согласно заданию:

а) Привести дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателям 8, 20, 100, 1000.

• К знаменателю 8:
  Находим дополнительный множитель: $ 8 \div 4 = 2 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 2: $ \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} $.

• К знаменателю 20:
  Находим дополнительный множитель: $ 20 \div 4 = 5 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 5: $ \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20} $.

• К знаменателю 100:
  Находим дополнительный множитель: $ 100 \div 4 = 25 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 25: $ \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} $.

• К знаменателю 1000:
  Находим дополнительный множитель: $ 1000 \div 4 = 250 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 250: $ \frac{3 \cdot 250}{4 \cdot 250} = \frac{750}{1000} $.

Ответ: $ \frac{6}{8}; \frac{15}{20}; \frac{75}{100}; \frac{750}{1000} $.

б) Привести дробь $ \frac{2}{7} $ к знаменателям 14, 21, 35, 140.

• К знаменателю 14:
  Находим дополнительный множитель: $ 14 \div 7 = 2 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 2: $ \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14} $.

• К знаменателю 21:
  Находим дополнительный множитель: $ 21 \div 7 = 3 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 3: $ \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21} $.

• К знаменателю 35:
  Находим дополнительный множитель: $ 35 \div 7 = 5 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 5: $ \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{10}{35} $.

• К знаменателю 140:
  Находим дополнительный множитель: $ 140 \div 7 = 20 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 20: $ \frac{2 \cdot 20}{7 \cdot 20} = \frac{40}{140} $.

Ответ: $ \frac{4}{14}; \frac{6}{21}; \frac{10}{35}; \frac{40}{140} $.

в) Привести дробь $ \frac{5}{8} $ к знаменателям 16, 32, 56, 1000.

• К знаменателю 16:
  Находим дополнительный множитель: $ 16 \div 8 = 2 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 2: $ \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{10}{16} $.

• К знаменателю 32:
  Находим дополнительный множитель: $ 32 \div 8 = 4 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 4: $ \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32} $.

• К знаменателю 56:
  Находим дополнительный множитель: $ 56 \div 8 = 7 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 7: $ \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56} $.

• К знаменателю 1000:
  Находим дополнительный множитель: $ 1000 \div 8 = 125 $.
  Умножаем числитель и знаменатель на 125: $ \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000} $.

Ответ: $ \frac{10}{16}; \frac{20}{32}; \frac{35}{56}; \frac{625}{1000} $.