Страница 138 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.40 Сколько минут содержится:

а) в $\frac{1}{5}$ ч;

б) в $\frac{2}{3}$ ч;

в) в $\frac{11}{10}$ ч;

г) в $\frac{5}{12}$ ч;

д) в $\frac{12}{5}$ ч?

Для того чтобы найти, сколько минут содержится в определённой части часа, необходимо эту часть умножить на общее количество минут в одном часе, то есть на 60.

а) В $\frac{1}{5}$ ч:

Чтобы найти количество минут, умножаем дробь на 60:

$\frac{1}{5} \times 60 = \frac{60}{5} = 12$ минут.

Ответ: 12 минут.

б) В $\frac{2}{3}$ ч:

Чтобы найти количество минут, умножаем дробь на 60:

$\frac{2}{3} \times 60 = \frac{2 \times 60}{3} = 2 \times 20 = 40$ минут.

Ответ: 40 минут.

в) В $\frac{11}{10}$ ч:

Чтобы найти количество минут, умножаем дробь на 60:

$\frac{11}{10} \times 60 = 11 \times \frac{60}{10} = 11 \times 6 = 66$ минут.

Ответ: 66 минут.

г) В $\frac{5}{12}$ ч:

Чтобы найти количество минут, умножаем дробь на 60:

$\frac{5}{12} \times 60 = 5 \times \frac{60}{12} = 5 \times 5 = 25$ минут.

Ответ: 25 минут.

д) В $\frac{12}{5}$ ч:

Чтобы найти количество минут, умножаем дробь на 60:

$\frac{12}{5} \times 60 = 12 \times \frac{60}{5} = 12 \times 12 = 144$ минуты.

Ответ: 144 минуты.

7.41 Сколько сантиметров содержится:

а) В $ \frac{1}{10} $ М;

б) В $ \frac{7}{20} $ М;

в) В $ \frac{11}{50} $ М;

г) В $ \frac{1}{10} $ дм;

д) В $ \frac{4}{5} $ дм;

е) В $ \frac{7}{2} $ дм?

Для решения этой задачи необходимо знать соотношения единиц измерения длины:

• 1 метр (м) = 100 сантиметрам (см)
• 1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см)

Используя эти соотношения, мы можем перевести данные значения в сантиметры.

а) В $\frac{1}{10}$ м

Чтобы перевести метры в сантиметры, умножим данное значение на 100.

$\frac{1}{10} \text{ м} = \frac{1}{10} \times 100 \text{ см} = \frac{100}{10} \text{ см} = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.

б) В $\frac{7}{20}$ м

Умножаем значение в метрах на 100, чтобы получить сантиметры.

$\frac{7}{20} \text{ м} = \frac{7}{20} \times 100 \text{ см} = \frac{7 \times 100}{20} \text{ см} = 7 \times 5 \text{ см} = 35 \text{ см}$

Ответ: 35 см.

в) В $\frac{11}{50}$ м

Умножаем значение в метрах на 100.

$\frac{11}{50} \text{ м} = \frac{11}{50} \times 100 \text{ см} = \frac{11 \times 100}{50} \text{ см} = 11 \times 2 \text{ см} = 22 \text{ см}$

Ответ: 22 см.

г) В $\frac{1}{10}$ дм

Чтобы перевести дециметры в сантиметры, умножим данное значение на 10.

$\frac{1}{10} \text{ дм} = \frac{1}{10} \times 10 \text{ см} = \frac{10}{10} \text{ см} = 1 \text{ см}$

Ответ: 1 см.

д) В $\frac{4}{5}$ дм

Умножаем значение в дециметрах на 10.

$\frac{4}{5} \text{ дм} = \frac{4}{5} \times 10 \text{ см} = \frac{4 \times 10}{5} \text{ см} = 4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Ответ: 8 см.

е) В $\frac{7}{2}$ дм

Умножаем значение в дециметрах на 10.

$\frac{7}{2} \text{ дм} = \frac{7}{2} \times 10 \text{ см} = \frac{70}{2} \text{ см} = 35 \text{ см}$

Ответ: 35 см.

7.42 a) За 1 ч туристы прошли $\frac{1}{5}$ всего пути. За сколько часов они пройдут весь путь, если будут идти с той же скоростью?

б) В банку насыпали 140 г крупы, и это составило $\frac{1}{7}$ её вместимости. Сколько граммов такой крупы вмещает банка?

а)

По условию задачи, за 1 час туристы прошли $ \frac{1}{5} $ всего пути. Это означает, что весь путь состоит из 5 равных частей, и на прохождение каждой такой части требуется 1 час.
Чтобы найти время, необходимое для прохождения всего пути, нужно время, затраченное на одну часть, умножить на общее количество частей.
Весь путь равен $ 1 $, или $ \frac{5}{5} $.
Время на весь путь = (время на $ \frac{1}{5} $ пути) $ \cdot $ 5.
$ 1 \text{ час} \cdot 5 = 5 \text{ часов} $.
Таким образом, чтобы пройти весь путь, туристам потребуется 5 часов.
Ответ: 5 часов.

б)

В задаче говорится, что 140 г крупы — это $ \frac{1}{7} $ от общей вместимости банки. Это значит, что если всю вместимость банки разделить на 7 равных частей, то масса одной такой части составит 140 г.
Чтобы найти общую вместимость банки, нужно массу одной части умножить на количество таких частей, то есть на 7.
Общая вместимость = (масса $ \frac{1}{7} $ части) $ \cdot $ 7.
$ 140 \text{ г} \cdot 7 = 980 \text{ г} $.
Следовательно, банка вмещает 980 граммов такой крупы.
Ответ: 980 граммов.

7.43 Какие натуральные числа можно подставить вместо буквы $k$, чтобы дробь $\frac{k}{7}$ была:

а) правильной;

б) неправильной?

а) Чтобы дробь $k/7$ была правильной, ее числитель $k$ должен быть меньше знаменателя 7. При этом в условии сказано, что $k$ — натуральное число. Натуральные числа — это числа, используемые при счете: 1, 2, 3, и так далее.
Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше 7. Запишем это в виде неравенства:
$k < 7$
Этому условию удовлетворяют натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

б) Чтобы дробь $k/7$ была неправильной, ее числитель $k$ должен быть больше или равен знаменателю 7. Так как $k$ — натуральное число, нам нужно найти все натуральные числа, которые больше или равны 7.
Запишем это условие в виде неравенства:
$k \ge 7$
Этому условию удовлетворяют все натуральные числа, начиная с 7 и до бесконечности: 7, 8, 9, 10, 11, ...
Ответ: любое натуральное число, которое больше или равно 7 (например, 7, 8, 9, ...).

7.44 Подставьте в дробь $\frac{a}{b}$ вместо букв $a$ и $b$ всеми возможными способами натуральные числа от 1 до 6 так, чтобы полученные дроби были правильными.

В задаче требуется подставить в дробь $\frac{a}{b}$ вместо числителя $a$ и знаменателя $b$ натуральные числа из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Основное условие — полученная дробь должна быть правильной.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель строго меньше знаменателя, то есть должно выполняться неравенство $a < b$.

Систематически переберем все возможные пары чисел $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию, группируя их по знаменателю $b$. Знаменатель $b$ не может быть равен 1, так как в заданном множестве нет натурального числа, которое было бы меньше 1.

1. Пусть знаменатель $b=2$. Тогда числитель $a$ должен быть меньше 2, то есть $a=1$. Получаем дробь: $\frac{1}{2}$.

2. Пусть знаменатель $b=3$. Тогда числитель $a$ может быть равен 1 или 2. Получаем дроби: $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$.

3. Пусть знаменатель $b=4$. Тогда числитель $a$ может быть равен 1, 2 или 3. Получаем дроби: $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$.

4. Пусть знаменатель $b=5$. Тогда числитель $a$ может быть равен 1, 2, 3 или 4. Получаем дроби: $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$.

5. Пусть знаменатель $b=6$. Тогда числитель $a$ может быть равен 1, 2, 3, 4 или 5. Получаем дроби: $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{5}{6}$.

Объединив все найденные дроби, мы получим полный список всех возможных вариантов.

Ответ: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{5}{6}$.

7.45 Начертите координатную прямую и отметьте на ней дроби $ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{5}{12}, \frac{9}{12}, \frac{16}{12} $.

Совет. Подумайте, какой единичный отрезок удобно взять.

Для того чтобы начертить координатную прямую и отметить на ней заданные дроби, необходимо сначала привести их к общему знаменателю. Это позволит нам выбрать удобный масштаб (единичный отрезок) для прямой.

Заданные дроби: $ \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{5}{12}, \frac{9}{12}, \frac{16}{12} $.

Знаменатели дробей — это числа 4, 6 и 12. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 12. Следовательно, удобнее всего привести все дроби к знаменателю 12.

Преобразуем дроби:
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $
Остальные дроби ($ \frac{5}{12}, \frac{9}{12}, \frac{16}{12} $) уже имеют знаменатель 12.

Теперь мы можем начертить координатную прямую. В качестве единичного отрезка (расстояние от 0 до 1) выберем отрезок, разделенный на 12 равных частей. Каждая такая часть будет соответствовать $ \frac{1}{12} $.

Расположим точки на прямой в соответствии с их числителями:
- Дробь $ \frac{1}{4} $ соответствует $ \frac{3}{12} $, поэтому ее точка будет на 3-м делении от 0.
- Дробь $ \frac{5}{12} $ будет на 5-м делении.
- Дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{9}{12} $ соответствуют одной и той же точке на 9-м делении.
- Дробь $ \frac{5}{6} $ соответствует $ \frac{10}{12} $, ее точка будет на 10-м делении.
- Дробь $ \frac{16}{12} $ является неправильной. Ее можно представить как $ 1 \frac{4}{12} $. Точка будет находиться на 16-м делении от нуля, или на 4 деления правее точки 1.

Ниже представлена координатная прямая с отмеченными дробями.

Ответ: Координатная прямая с отмеченными на ней точками, соответствующими заданным дробям, построена и изображена на рисунке выше.

7.46 Какие из точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 7.21), изображают правильные дроби? неправильные дроби?

Рис. 7.21

Правильные дроби

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Численное значение правильной дроби всегда больше 0, но меньше 1. На координатной прямой такие числа соответствуют точкам, расположенным на интервале $(0; 1)$.
На рисунке 7.21 мы видим, что между 0 и 1 находятся точки C и A. Следовательно, они изображают правильные дроби.
Ответ: C, A.

Неправильные дроби

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Численное значение неправильной дроби всегда больше или равно 1. На координатной прямой такие числа соответствуют точкам, расположенным на промежутке $[1; +\infty)$.
На рисунке 7.21 мы видим, что правее точки 1 находятся точки B и D. Следовательно, они изображают неправильные дроби.
Ответ: B, D.

7.47 Спланируйте ход решения и решите Рис. 7.21 задачу:

а) В парке посадили 60 берёз и рябин. Берёзы составили $ \frac{7}{12} $ всех посаженных деревьев. Сколько посадили рябин?

б) Из 30 дней июня $ \frac{2}{5} $ были дождливыми, а остальные — солнечными. Сколько солнечных дней было в июне?

а) В парке посадили 60 берёз и рябин. Берёзы составили $\frac{7}{12}$ всех посаженных деревьев. Сколько посадили рябин?

План решения:

1. Найти количество берёз, посаженных в парке.

2. Вычесть количество берёз из общего числа деревьев, чтобы найти количество рябин.

Решение:

1. Найдем, сколько берёз посадили. Для этого общее количество деревьев умножим на часть, которую составляют берёзы:

$60 \cdot \frac{7}{12} = \frac{60 \cdot 7}{12} = 5 \cdot 7 = 35$ (берёз).

2. Теперь найдем, сколько посадили рябин. Для этого из общего количества деревьев вычтем количество берёз:

$60 - 35 = 25$ (рябин).

Ответ: 25 рябин.

б) Из 30 дней июня $\frac{2}{5}$ были дождливыми, а остальные — солнечными. Сколько солнечных дней было в июне?

План решения:

1. Найти, какую часть от всех дней составляют солнечные дни.

2. Найти количество солнечных дней, умножив общее количество дней на их долю.

Решение:

1. Все дни месяца примем за 1. Найдем, какую часть составляют солнечные дни, вычтя из целого долю дождливых дней:

$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

2. Теперь найдем количество солнечных дней в июне. Для этого общее количество дней в месяце умножим на долю солнечных дней:

$30 \cdot \frac{3}{5} = \frac{30 \cdot 3}{5} = 6 \cdot 3 = 18$ (солнечных дней).

Ответ: 18 солнечных дней.

7.48 РЕШАЕМ ЗАДАЧУ ПО ПЛАНУ

а) Площадь кухни 10 м$^{2}$. Она составляет $\frac{2}{13}$ общей площади квартиры. Чему равна площадь квартиры?

1) Известно, сколько квадратных метров приходится на две тринадцатые. Определите, сколько квадратных метров приходится на одну тринадцатую.

2) Теперь известно, сколько квадратных метров приходится на одну тринадцатую площади квартиры. Определите, сколько квадратных метров приходится на всю квартиру.

(Подумайте, сколько тринадцатых долей составляет вся площадь квартиры.)

б) За 3 ч маляры выполнили $\frac{3}{7}$ всей работы. За сколько часов они выполнят всю работу?

Подсказка. Составьте план, аналогичный плану в задании «а».

а)

1) Известно, что $\frac{2}{13}$ общей площади квартиры составляют 10 м². Чтобы найти, сколько квадратных метров приходится на одну тринадцатую ($\frac{1}{13}$), нужно площадь кухни разделить на 2:

$10 \text{ м}^2 : 2 = 5 \text{ м}^2$

Следовательно, на одну тринадцатую часть площади квартиры приходится 5 м².

2) Теперь известно, что $\frac{1}{13}$ площади квартиры — это 5 м². Вся площадь квартиры составляет 13 таких долей ($\frac{13}{13}$). Чтобы найти общую площадь, нужно площадь одной доли умножить на общее количество долей (13):

$5 \text{ м}^2 \cdot 13 = 65 \text{ м}^2$

Ответ: площадь квартиры равна 65 м².

б)

Составим план, аналогичный плану в задании «а»:

1. Известно, за сколько часов маляры выполнили $\frac{3}{7}$ всей работы. Определим, сколько времени уходит на выполнение $\frac{1}{7}$ всей работы.
2. Теперь известно, сколько времени уходит на $\frac{1}{7}$ всей работы. Определим, за сколько часов они выполнят всю работу ($\frac{7}{7}$).

1) Известно, что на выполнение $\frac{3}{7}$ всей работы ушло 3 часа. Чтобы найти, сколько времени требуется для выполнения одной седьмой ($\frac{1}{7}$) части работы, нужно затраченное время разделить на 3:

$3 \text{ ч} : 3 = 1 \text{ ч}$

Следовательно, на выполнение одной седьмой части работы уходит 1 час.

2) Теперь известно, что $\frac{1}{7}$ работы выполняется за 1 час. Вся работа состоит из 7 таких частей ($\frac{7}{7}$). Чтобы найти общее время, необходимое для выполнения всей работы, нужно время на выполнение одной части умножить на общее количество частей (7):

$1 \text{ ч} \cdot 7 = 7 \text{ ч}$

Ответ: маляры выполнят всю работу за 7 часов.