Страница 131 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Решите задачу и прокомментируйте свои действия (7.12–7.13).

7.12 В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину всех страниц, а во второй — треть оставшихся. Сколько страниц ей осталось прочитать?

Для того чтобы найти, сколько страниц осталось прочитать девочке, решим задачу по действиям, комментируя каждый шаг.

1. Найдем, сколько страниц девочка прочитала в первый день.
По условию, в книге 60 страниц, а в первый день девочка прочитала половину. Чтобы найти половину от числа, нужно разделить это число на 2.
$60 : 2 = 30$ (страниц).
Итак, в первый день было прочитано 30 страниц.

2. Определим, сколько страниц осталось прочитать после первого дня.
Для этого из общего количества страниц в книге вычтем количество страниц, прочитанных в первый день.
$60 - 30 = 30$ (страниц).
Таким образом, после первого дня осталось прочитать 30 страниц.

3. Вычислим, сколько страниц было прочитано во второй день.
Во второй день девочка прочитала треть оставшихся страниц. Мы выяснили, что осталось 30 страниц. Чтобы найти треть от этого числа, нужно разделить его на 3.
$30 : 3 = 10$ (страниц).
Значит, во второй день девочка прочитала 10 страниц.

4. Найдем, сколько страниц ей осталось прочитать в итоге.
Чтобы найти окончательный остаток, нужно из количества страниц, оставшихся после первого дня (30 страниц), вычесть количество страниц, прочитанных во второй день (10 страниц).
$30 - 10 = 20$ (страниц).

Ответ: 20 страниц.

7.13 После похода за грибами выяснилось, что из 36 грибов треть всех грибов нашла мама, половину остатка нашёл брат, а остальные – сестра. Сколько грибов нашёл каждый из них?

Для решения задачи выполним вычисления по шагам.

1. Сколько грибов нашла мама?

По условию, мама нашла треть от всех 36 грибов. Чтобы найти это количество, нужно общее число грибов разделить на 3.

$36 \div 3 = 12$ (грибов)

Ответ: мама нашла 12 грибов.

2. Сколько грибов нашёл брат?

Сначала найдём, сколько грибов осталось после того, как мама взяла свою часть:

$36 - 12 = 24$ (гриба)

Брат нашёл половину от этого остатка. Чтобы найти его количество, разделим остаток на 2:

$24 \div 2 = 12$ (грибов)

Ответ: брат нашёл 12 грибов.

3. Сколько грибов нашла сестра?

Сестра нашла все остальные грибы. Чтобы узнать, сколько это, нужно из остатка (24 гриба) вычесть грибы, которые нашёл брат:

$24 - 12 = 12$ (грибов)

Также можно из общего количества грибов вычесть грибы мамы и брата:

$36 - 12 - 12 = 12$ (грибов)

Ответ: сестра нашла 12 грибов.

МОДЕЛИРУЕМ (7.14 – 7.15)

7.14 Половина учащихся класса участвовали в конкурсе чтецов. Треть из них стали победителями. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5?

Подсказка. Условие задачи можно схематически изобразить с помощью рисунка (рис. 7.7), это поможет решить задачу.

весь класс

половина класса

5 победителей

Рис. 7.7

Для решения этой задачи будем рассуждать в обратном порядке, отталкиваясь от известного нам числа победителей.

1. Найдём общее количество участников конкурса чтецов.

В условии сказано, что 5 победителей составляют треть ($ \frac{1}{3} $) от всех участников. Чтобы найти общее число участников, нужно количество победителей умножить на 3.

$5 \cdot 3 = 15$ (участников)

Таким образом, в конкурсе участвовало 15 человек.

2. Найдём общее количество учащихся в классе.

Из условия мы знаем, что 15 участников – это половина ($ \frac{1}{2} $) всех учащихся класса. Чтобы найти общее количество учащихся в классе, необходимо число участников умножить на 2.

$15 \cdot 2 = 30$ (учащихся)

Следовательно, в классе всего 30 учащихся.

Проверка:
Всего в классе 30 учащихся.
Половина класса приняла участие в конкурсе: $30 : 2 = 15$ учащихся.
Треть из участников стали победителями: $15 : 3 = 5$ победителей.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 30 учащихся.

7.15 Оля за два дня прочитала половину всех страниц книги, причём четверть из них она прочитала в первый день. Сколько страниц в книге, если в первый день она прочитала 10 страниц?

Подсказка. Изобразите условие задачи схематически с помощью рисунка, как это сделано в задании 7.14.

Для решения задачи нужно выполнить вычисления в обратном порядке, отталкиваясь от известного количества страниц, прочитанных в первый день.

1. Из условия известно, что 10 страниц, которые Оля прочитала в первый день, составляют четверть ($ \frac{1}{4} $) от общего количества страниц, прочитанных за два дня. Чтобы найти, сколько всего страниц было прочитано за два дня, нужно 10 умножить на 4.

$ 10 \times 4 = 40 $ страниц.

Таким образом, за два дня Оля прочитала 40 страниц.

2. Также в условии сказано, что 40 страниц, прочитанные за два дня, — это половина ($ \frac{1}{2} $) всей книги. Чтобы найти общее количество страниц в книге, нужно 40 умножить на 2.

$ 40 \times 2 = 80 $ страниц.

Задачу можно решить и с помощью уравнения. Пусть $ x $ — общее количество страниц в книге.

За два дня Оля прочитала половину книги, то есть $ \frac{1}{2}x $.

В первый день она прочитала четверть от этого количества: $ \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2}x) = \frac{1}{8}x $.

Поскольку в первый день было прочитано 10 страниц, мы можем составить уравнение:

$ \frac{1}{8}x = 10 $

$ x = 10 \times 8 $

$ x = 80 $

Ответ: 80 страниц.

7.16 Найдите значение выражения:

а) $3 \cdot 15^2;$

б) $(2 \cdot 5)^3;$

в) $(16 + 180 : 2)^2;$

г) $18 \cdot (76 - 66)^3.$

а) $3 \cdot 15^2$

Для вычисления значения выражения следуем порядку действий: сначала возведение в степень, затем умножение.

1. Возводим число 15 в квадрат (вторую степень):

$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

2. Умножаем результат на 3:

$3 \cdot 225 = 675$

Ответ: 675

б) $(2 \cdot 5)^3$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим полученный результат в степень.

1. Вычисляем произведение в скобках:

$2 \cdot 5 = 10$

2. Возводим результат в куб (третью степень):

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Ответ: 1000

в) $(16 + 180 : 2)^2$

Порядок действий: сначала выполняем операции в скобках (сначала деление, потом сложение), а затем возводим результат в степень.

1. Выполняем деление внутри скобок:

$180 : 2 = 90$

2. Выполняем сложение внутри скобок:

$16 + 90 = 106$

3. Возводим полученную сумму в квадрат:

$106^2 = 106 \cdot 106 = 11236$

Ответ: 11236

г) $18 \cdot (76 - 66)^3$

Порядок действий: сначала вычисление в скобках, затем возведение в степень и, наконец, умножение.

1. Выполняем вычитание в скобках:

$76 - 66 = 10$

2. Возводим результат в куб:

$10^3 = 1000$

3. Умножаем 18 на полученный результат:

$18 \cdot 1000 = 18000$

Ответ: 18000

7.17 Таня и её подруга должны надписать 300 поздравительных открыток. Таня надписывает 30 открыток в час, а её подруга – 35 открыток. Сколько от-крыток останется им надписать через 2 ч совместной работы; через 4 ч?

Для решения задачи сначала нужно определить, с какой скоростью Таня и её подруга надписывают открытки вместе (их совместная производительность).

1. Скорость Тани: $30$ открыток в час.
2. Скорость её подруги: $35$ открыток в час.
3. Их совместная скорость равна сумме их скоростей:
$30 + 35 = 65$ открыток в час.

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

через 2 ч совместной работы

1. Узнаем, сколько открыток они надпишут вместе за 2 часа:
$65 \text{ открыток/час} \times 2 \text{ ч} = 130$ открыток.
2. Узнаем, сколько открыток останется надписать, вычтя из общего количества уже надписанные:
$300 - 130 = 170$ открыток.
Ответ: 170 открыток.

через 4 ч

1. Узнаем, сколько открыток они надпишут вместе за 4 часа:
$65 \text{ открыток/час} \times 4 \text{ ч} = 260$ открыток.
2. Узнаем, сколько открыток останется надписать:
$300 - 260 = 40$ открыток.
Ответ: 40 открыток.

7.18 1) Назовите все вершины, все стороны и все углы четырёхугольника, изображённого на рисунке 7.8.

2) Определите на глаз, есть ли в четырёхугольнике прямой угол, какой из его углов тупой, сколько у него острых углов. Измерьте и запишите величину каждого угла четырёхугольника.

3) Выполните необходимые измерения и найдите периметр четырёхугольника.

Рис. 7.8

1)

На изображении представлен четырёхугольник BCDE.
Вершины четырёхугольника: B, C, D, E.
Стороны четырёхугольника: BC, CD, DE, EB.
Углы четырёхугольника: $\angle$EBC (или $\angle$B), $\angle$BCD (или $\angle$C), $\angle$CDE (или $\angle$D), $\angle$DEB (или $\angle$E).
Ответ: Вершины: B, C, D, E; Стороны: BC, CD, DE, EB; Углы: $\angle$B, $\angle$C, $\angle$D, $\angle$E.

2)

Определим типы углов визуально:
- Угол E очень похож на прямой угол (90°).
- Угол C заметно больше прямого угла, следовательно, он тупой.
- Углы B и D меньше прямого угла, следовательно, они острые. В четырёхугольнике два острых угла.

Для точного определения измерим углы с помощью транспортира. Так как это невозможно сделать по изображению с абсолютной точностью, приведём примерные значения, сумма которых должна составлять 360°.
$\angle$E = 90°
$\angle$B $\approx$ 85°
$\angle$C $\approx$ 115°
$\angle$D $\approx$ 70°
Проверим сумму углов: $90° + 85° + 115° + 70° = 360°$.
Ответ: Прямой угол — $\angle$E, тупой угол — $\angle$C, острые углы — $\angle$B и $\angle$D. Величины углов: $\angle$E = 90°, $\angle$B $\approx$ 85°, $\angle$C $\approx$ 115°, $\angle$D $\approx$ 70°.

3)

Для нахождения периметра необходимо измерить длины всех сторон четырёхугольника и сложить их. Длины сторон зависят от масштаба изображения, поэтому выполним измерения на конкретном примере.
Предположим, что при измерении линейкой получились следующие значения:
Длина стороны BC $\approx$ 2,8 см
Длина стороны CD $\approx$ 3,8 см
Длина стороны DE $\approx$ 3,5 см
Длина стороны EB $\approx$ 2,5 см
Периметр $P$ — это сумма длин всех сторон:
$P = BC + CD + DE + EB$
$P \approx 2,8 \text{ см} + 3,8 \text{ см} + 3,5 \text{ см} + 2,5 \text{ см} = 12,6 \text{ см}$
Ответ: $P \approx 12,6$ см.

7.19 a) Угол в $68^\circ$ разделён биссектрисой на два угла. Найдите их величины.

б) Угол, который образует биссектриса с одной стороной угла $A$, равен $16^\circ$. Найдите величину угла $A$.

а)

По определению, биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. По условию, величина исходного угла составляет $68°$. Чтобы найти величины двух равных углов, на которые биссектриса разделила исходный угол, необходимо его величину разделить на 2.

$68° \div 2 = 34°$

Таким образом, биссектриса разделила угол на два угла, величина каждого из которых равна $34°$.

Ответ: $34°$ и $34°$.

б)

Биссектриса делит угол А на два равных угла. Угол, который образует биссектриса с одной из сторон угла А, является одним из этих равных углов. По условию, его величина равна $16°$. Это означает, что второй угол, образованный биссектрисой и другой стороной угла А, также равен $16°$.

Чтобы найти величину всего угла А, нужно сложить величины этих двух равных углов или умножить величину одного из них на 2.

$16° \cdot 2 = 32°$

Следовательно, величина угла А составляет $32°$.

Ответ: $32°$.