Страница 135 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.22 Используя разные геометрические фигуры, изобразите дробь:

а) $\frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{3}$;

в) $\frac{1}{4}$;

г) $\frac{2}{3}$;

д) $\frac{3}{5}$;

е) $\frac{5}{6}$.

а) Чтобы изобразить дробь $\frac{1}{2}$, можно взять круг. Знаменатель дроби (2) показывает, на сколько равных частей нужно разделить целое. Числитель (1) показывает, сколько таких частей нужно взять. Разделим круг на 2 равные части (два полукруга) и закрасим одну из них.
Ответ: Круг, разделенный на две равные части, одна из которых закрашена.

б) Для изображения дроби $\frac{1}{3}$ используем прямоугольник. Разделим его на 3 равные части (например, на три одинаковые вертикальные полосы), так как знаменатель равен 3. Затем закрасим одну из этих частей, так как числитель равен 1.
Ответ: Прямоугольник, разделенный на три равные части, одна из которых закрашена.

в) Возьмем квадрат, чтобы изобразить дробь $\frac{1}{4}$. Знаменатель равен 4, поэтому разделим квадрат на 4 равные части. Это можно сделать, проведя две перпендикулярные линии через его центр, которые разделят его на четыре меньших одинаковых квадрата. Числитель равен 1, поэтому закрасим одну из этих четырех частей.
Ответ: Квадрат, разделенный на четыре равные части, одна из которых закрашена.

г) Чтобы представить дробь $\frac{2}{3}$, снова воспользуемся кругом. Разделим его на 3 равные части (сектора), как если бы мы резали пирог на троих. Знаменатель равен 3. Числитель равен 2, поэтому закрасим две из трех получившихся частей.
Ответ: Круг, разделенный на три равных сектора, два из которых закрашены.

д) Для дроби $\frac{3}{5}$ возьмем прямоугольник. Разделим его на 5 равных вертикальных полос, так как знаменатель равен 5. Затем, согласно числителю, который равен 3, закрасим три любые из этих пяти полос.
Ответ: Прямоугольник, разделенный на пять равных частей, три из которых закрашены.

е) Изобразим дробь $\frac{5}{6}$ с помощью правильного шестиугольника. Его можно легко разделить на 6 равных равносторонних треугольников, проведя диагонали через центр. Знаменатель дроби равен 6. Числитель равен 5, поэтому мы закрасим пять из этих шести треугольников.
Ответ: Правильный шестиугольник, разделенный на шесть равных треугольников, пять из которых закрашены.

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (7.23–7.25)

7.23 Запишите ответ в виде дроби.

а) Конфеты разложили поровну в 8 коробок. Какую часть конфет поло-жили в 1 коробку; в 3 коробки; в 7 коробок?

б) Насос подаёт воду в бассейн с постоянной скоростью и наполняет его за 7 ч. Какая часть бассейна наполнится водой за 1 ч; за 2 ч; за 4 ч?

в) Комбайнёр убрал поле за 12 дней. Ежедневно он выполнял одинако-вый объём работы. Какая часть поля была убрана за 1 день; за 5 дней; за 7 дней?

а) Примем все конфеты за одну целую единицу. Поскольку все конфеты были разложены поровну на 8 коробок, каждая коробка представляет собой одну из восьми равных частей от общего количества.
Таким образом, в 1 коробку положили $ \frac{1}{8} $ часть всех конфет.
В 3 коробки положили в 3 раза больше, чем в одну, то есть $ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $ части всех конфет.
В 7 коробок положили в 7 раз больше, чем в одну, то есть $ 7 \times \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $ части всех конфет.
Ответ: $ \frac{1}{8} $, $ \frac{3}{8} $, $ \frac{7}{8} $.

б) Примем весь объём бассейна за одну целую единицу. Насос наполняет весь бассейн за 7 часов, работая с постоянной скоростью. Это означает, что за 1 час он выполняет $ \frac{1}{7} $ всей работы.
Следовательно, за 1 час наполнится $ \frac{1}{7} $ часть бассейна.
За 2 часа наполнится в 2 раза большая часть, то есть $ 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7} $ части бассейна.
За 4 часа наполнится в 4 раза большая часть, то есть $ 4 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7} $ части бассейна.
Ответ: $ \frac{1}{7} $, $ \frac{2}{7} $, $ \frac{4}{7} $.

в) Примем всю площадь поля за одну целую единицу. Комбайнёр убрал всё поле за 12 дней, и каждый день он выполнял одинаковый объём работы. Это значит, что ежедневная работа составляла одну из двенадцати равных частей.
За 1 день была убрана $ \frac{1}{12} $ часть поля.
За 5 дней была убрана часть поля, в 5 раз большая, то есть $ 5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12} $ части поля.
За 7 дней была убрана часть поля, в 7 раз большая, то есть $ 7 \times \frac{1}{12} = \frac{7}{12} $ части поля.
Ответ: $ \frac{1}{12} $, $ \frac{5}{12} $, $ \frac{7}{12} $.

7.24 Запишите ответ в виде дроби.

a) Какую часть часа составляет 1 мин; 17 мин; 43 мин?

б) Какую часть километра составляет 1 м; 89 м; 207 м?

в) Какую часть центнера составляет 1 кг; 3 кг; 99 кг?

а) Чтобы найти, какую часть часа составляют минуты, необходимо данное количество минут разделить на общее количество минут в одном часе, то есть на 60.

1 минута от часа составляет: $ \frac{1}{60} $.

17 минут от часа составляют: $ \frac{17}{60} $.

43 минуты от часа составляют: $ \frac{43}{60} $.

Ответ: $ \frac{1}{60} $; $ \frac{17}{60} $; $ \frac{43}{60} $.

б) Чтобы найти, какую часть километра составляют метры, необходимо данное количество метров разделить на общее количество метров в одном километре, то есть на 1000.

1 метр от километра составляет: $ \frac{1}{1000} $.

89 метров от километра составляют: $ \frac{89}{1000} $.

207 метров от километра составляют: $ \frac{207}{1000} $.

Ответ: $ \frac{1}{1000} $; $ \frac{89}{1000} $; $ \frac{207}{1000} $.

в) Чтобы найти, какую часть центнера составляют килограммы, необходимо данное количество килограммов разделить на общее количество килограммов в одном центнере, то есть на 100.

1 килограмм от центнера составляет: $ \frac{1}{100} $.

3 килограмма от центнера составляют: $ \frac{3}{100} $.

99 килограммов от центнера составляют: $ \frac{99}{100} $.

Ответ: $ \frac{1}{100} $; $ \frac{3}{100} $; $ \frac{99}{100} $.

7.25 Запишите ответ в виде дроби.

a) На столе лежат 8 мячей; 3 из них синие, остальные красные. Какую часть всех мячей составляют синие мячи; красные мячи?

б) У светофора остановились 10 автомашин: 2 грузовые, 5 легковых, остальные автобусы. Какую часть всех автомашин составляют грузовые автомашины; легковые автомашины; автобусы?

а)

Чтобы найти, какую часть от общего количества составляют определённые предметы, нужно количество этих предметов разделить на общее количество всех предметов. Результат записывается в виде дроби, где в числителе — количество интересующих нас предметов, а в знаменателе — общее количество.
1. Общее количество мячей на столе — 8. Это будет знаменатель дроби.
2. Количество синих мячей — 3. Следовательно, синие мячи составляют $ \frac{3}{8} $ от всех мячей.
3. Сначала найдём количество красных мячей. Для этого из общего числа мячей вычтем количество синих: $ 8 - 3 = 5 $ красных мячей.
4. Красные мячи составляют $ \frac{5}{8} $ от всех мячей.
Ответ: синие мячи составляют $ \frac{3}{8} $ всех мячей, красные мячи — $ \frac{5}{8} $.

б)

1. Общее количество автомашин у светофора — 10. Это будет знаменатель дроби.
2. Количество грузовых автомашин — 2. Они составляют $ \frac{2}{10} $ от всех автомашин. Эту дробь можно сократить на 2: $ \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5} $.
3. Количество легковых автомашин — 5. Они составляют $ \frac{5}{10} $ от всех автомашин. Эту дробь можно сократить на 5: $ \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $.
4. Сначала найдём количество автобусов. Для этого из общего числа автомашин вычтем количество грузовых и легковых: $ 10 - 2 - 5 = 3 $ автобуса.
5. Автобусы составляют $ \frac{3}{10} $ от всех автомашин. Эта дробь является несократимой.
Ответ: грузовые автомашины составляют $ \frac{1}{5} $, легковые автомашины — $ \frac{1}{2} $, автобусы — $ \frac{3}{10} $.

РАССУЖДАЕМ (7.26–7.27)

7.26 а) В магазин привезли 200 лампочек, 5 из них оказались неисправными. Какую часть всех лампочек составляют исправные?

б) В книжном шкафу 300 книг, 78 из них учебники, 22 — словари, остальные — художественная литература. Какую часть всех книг составляет художественная литература?

Образец. а) Число исправных лампочек равно $200 - 5 = 195$. Всего имеется 200 лампочек, значит, одна лампочка — это одна двухсотая часть всех лампочек, а 195 лампочек — это $\frac{195}{200}$ всех лампочек.

а)

1. Для начала найдем количество исправных лампочек. Для этого нужно из общего количества лампочек вычесть количество неисправных.
$200 - 5 = 195$ (исправных лампочек).

2. Чтобы найти, какую часть от всех лампочек составляют исправные, необходимо разделить количество исправных лампочек на их общее количество.
$\frac{195}{200}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{195 \div 5}{200 \div 5} = \frac{39}{40}$.
Таким образом, исправные лампочки составляют $\frac{195}{200}$ (или $\frac{39}{40}$) от всех лампочек.

Ответ: $\frac{195}{200}$.

б)

1. Сначала найдем общее количество учебников и словарей в шкафу.
$78 + 22 = 100$ (учебников и словарей).

2. Теперь вычислим, сколько в шкафу книг художественной литературы. Для этого из общего числа книг вычтем количество учебников и словарей.
$300 - 100 = 200$ (книг художественной литературы).

3. Чтобы найти, какую часть от всех книг составляет художественная литература, разделим количество книг художественной литературы на общее количество книг.
$\frac{200}{300}$

Эту дробь можно сократить на 100:
$\frac{200 \div 100}{300 \div 100} = \frac{2}{3}$.
Таким образом, художественная литература составляет $\frac{2}{3}$ всех книг.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

7.27 а) Маша заполнила 9 страниц тетради, и в ней осталось 11 чистых страниц. Какую часть всех страниц составляют заполненные страницы? Какую часть всех страниц составляют чистые страницы?

б) Будильник показывает 7 ч утра. Какая часть суток прошла? Какую часть суток составляет оставшееся до конца суток время?

а)

1. Сначала найдем общее количество страниц в тетради. Для этого нужно сложить количество заполненных и чистых страниц:
$9 + 11 = 20$ (страниц) — всего в тетради.

2. Чтобы найти, какую часть от всех страниц составляют заполненные страницы, нужно количество заполненных страниц разделить на общее количество страниц в тетради.
Часть заполненных страниц: $\frac{9}{20}$.

3. Чтобы найти, какую часть от всех страниц составляют чистые страницы, нужно количество чистых страниц разделить на общее количество страниц в тетради.
Часть чистых страниц: $\frac{11}{20}$.

Ответ: заполненные страницы составляют $\frac{9}{20}$ всех страниц, а чистые страницы составляют $\frac{11}{20}$ всех страниц.

б)

1. В сутках 24 часа. Если будильник показывает 7 часов утра, это означает, что с начала суток (с 00:00) прошло 7 часов.

2. Чтобы найти, какая часть суток прошла, нужно разделить количество прошедших часов на общее количество часов в сутках.
Прошедшая часть суток: $\frac{7}{24}$.

3. Теперь найдем, сколько времени осталось до конца суток. Для этого нужно из общего количества часов в сутках вычесть прошедшее время.
$24 - 7 = 17$ (часов) — осталось до конца суток.

4. Чтобы найти, какую часть суток составляет оставшееся время, нужно разделить количество оставшихся часов на общее количество часов в сутках.
Оставшаяся часть суток: $\frac{17}{24}$.

Ответ: прошло $\frac{7}{24}$ суток, а оставшееся до конца суток время составляет $\frac{17}{24}$ суток.

7.28 Перерисуйте таблицу в тетрадь и запишите каждую из дробей

$1/2$, $2/7$, $7/2$, $4/8$, $4/3$, $2/3$, $8/9$, $9/9$, $9/8$, $2/5$, $5/4$, $4/5$, $4/4$, $10/9$

в соответствующую строку таблицы.

Правильные дроби

Неправильные дроби

Для того чтобы распределить дроби по соответствующим строкам таблицы, необходимо определить, какие из них являются правильными, а какие — неправильными.

Правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель (число над чертой) меньше знаменателя (числа под чертой). Например, $ \frac{3}{5} $ — правильная дробь, потому что $3 < 5$.

Неправильная дробь — это такая дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, $ \frac{8}{5} $ и $ \frac{5}{5} $ — неправильные дроби, потому что $8 > 5$ и $5 = 5$.

Теперь проанализируем каждую из предложенных дробей и распределим их.

Правильные дроби

Выберем из списка все дроби, у которых числитель строго меньше знаменателя:

$ \frac{1}{2} $ (потому что $1 < 2$), $ \frac{2}{7} $ (потому что $2 < 7$), $ \frac{4}{8} $ (потому что $4 < 8$), $ \frac{2}{3} $ (потому что $2 < 3$), $ \frac{8}{9} $ (потому что $8 < 9$), $ \frac{2}{5} $ (потому что $2 < 5$), $ \frac{4}{5} $ (потому что $4 < 5$).

Ответ: $ \frac{1}{2}, \frac{2}{7}, \frac{4}{8}, \frac{2}{3}, \frac{8}{9}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5} $

Неправильные дроби

Выберем из списка все дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему:

$ \frac{7}{2} $ (потому что $7 > 2$), $ \frac{4}{3} $ (потому что $4 > 3$), $ \frac{9}{9} $ (потому что $9 = 9$), $ \frac{9}{8} $ (потому что $9 > 8$), $ \frac{5}{4} $ (потому что $5 > 4$), $ \frac{4}{4} $ (потому что $4 = 4$), $ \frac{10}{9} $ (потому что $10 > 9$).

Ответ: $ \frac{7}{2}, \frac{4}{3}, \frac{9}{9}, \frac{9}{8}, \frac{5}{4}, \frac{4}{4}, \frac{10}{9} $