Страница 136 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.29 Начертите отрезок длиной 6 клеток. Начертите отрезки, равные $ \frac{7}{6} $, $ \frac{8}{6} $, $ \frac{3}{2} $, $ \frac{5}{3} $ этого отрезка.

По условию задачи дан исходный отрезок длиной 6 клеток. Чтобы начертить новые отрезки, необходимо сначала найти их длину в клетках. Для этого нужно умножить длину исходного отрезка на соответствующую дробь.

$\frac{7}{6}$

Найдем длину отрезка, составляющего $\frac{7}{6}$ от исходного. Для этого умножим 6 на $\frac{7}{6}$.

Длина = $6 \cdot \frac{7}{6} = \frac{6 \cdot 7}{6} = 7$ клеток.

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 7 клеток.

Ответ: 7 клеток.

$\frac{8}{6}$

Найдем длину отрезка, составляющего $\frac{8}{6}$ от исходного. Для этого умножим 6 на $\frac{8}{6}$.

Длина = $6 \cdot \frac{8}{6} = \frac{6 \cdot 8}{6} = 8$ клеток.

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 8 клеток.

Ответ: 8 клеток.

$\frac{3}{2}$

Найдем длину отрезка, составляющего $\frac{3}{2}$ от исходного. Для этого умножим 6 на $\frac{3}{2}$.

Длина = $6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ клеток.

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 9 клеток.

Ответ: 9 клеток.

$\frac{5}{3}$

Найдем длину отрезка, составляющего $\frac{5}{3}$ от исходного. Для этого умножим 6 на $\frac{5}{3}$.

Длина = $6 \cdot \frac{5}{3} = \frac{30}{3} = 10$ клеток.

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 10 клеток.

Ответ: 10 клеток.

7.30 Отрезок на рисунке 7.15 изображает 1 км. Начертите отрезки, соответствующие $\frac{2}{5}$ км, $\frac{7}{5}$ км, $\frac{2}{3}$ км, $\frac{5}{3}$ км.

1 км

Рис. 7.15

В задаче указано, что отрезок, изображающий 1 км, имеет длину 10 клеток. Мы будем использовать этот масштаб, чтобы вычислить длину каждого из требуемых отрезков в клетках.

Чтобы найти длину отрезка, соответствующего $\frac{2}{5}$ км, нужно найти $\frac{2}{5}$ от 10 клеток.

Вычисляем: $10 \times \frac{2}{5} = \frac{10 \times 2}{5} = \frac{20}{5} = 4$ клетки.

Таким образом, нужно начертить отрезок длиной 4 клетки.

Ответ: отрезок длиной 4 клетки.

Чтобы найти длину отрезка, соответствующего $\frac{7}{5}$ км, нужно найти $\frac{7}{5}$ от 10 клеток.

Вычисляем: $10 \times \frac{7}{5} = \frac{10 \times 7}{5} = \frac{70}{5} = 14$ клеток.

Таким образом, нужно начертить отрезок длиной 14 клеток.

Ответ: отрезок длиной 14 клеток.

Чтобы найти длину отрезка, соответствующего $\frac{2}{3}$ км, нужно найти $\frac{2}{3}$ от 10 клеток.

Вычисляем: $10 \times \frac{2}{3} = \frac{10 \times 2}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ клетки.

Таким образом, нужно начертить отрезок длиной 6 целых клеток и еще две трети следующей клетки.

Ответ: отрезок длиной $6\frac{2}{3}$ клетки.

Чтобы найти длину отрезка, соответствующего $\frac{5}{3}$ км, нужно найти $\frac{5}{3}$ от 10 клеток.

Вычисляем: $10 \times \frac{5}{3} = \frac{10 \times 5}{3} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$ клетки.

Таким образом, нужно начертить отрезок длиной 16 целых клеток и еще две трети следующей клетки.

Ответ: отрезок длиной $16\frac{2}{3}$ клетки.

7.31 а) На рисунке 7.16 показан отрезок, соответствующий $\frac{1}{5}$ м. Постройте отрезки, соответствующие $\frac{2}{5}$ м, $\frac{3}{5}$ м, $1$ м, $\frac{7}{5}$ м.

б) На рисунке 7.17 показан отрезок, соответствующий $\frac{2}{3}$ ч. Постройте отрезки, соответствующие $\frac{1}{3}$ ч, $1$ ч, $\frac{4}{3}$ ч.

в) На рисунке 7.18 показан отрезок, соответствующий $\frac{3}{4}$ км. Постройте отрезок, соответствующий $\frac{1}{4}$ км, $1$ км, $\frac{5}{4}$ км, $\frac{6}{4}$ км.

Рис. 7.16

Рис. 7.17

Рис. 7.18

а) На рисунке 7.16 показан отрезок, соответствующий $\frac{1}{5}$ м. Его длина составляет 2 клетки. Это означает, что одна пятая часть метра соответствует двум клеткам. Будем использовать это соотношение для построения остальных отрезков.

• Чтобы построить отрезок, соответствующий $\frac{2}{5}$ м, нужно взять две такие части. Его длина будет: $2 \times 2 = 4$ клетки.

• Отрезок для $\frac{3}{5}$ м будет состоять из трех частей: $3 \times 2 = 6$ клеток.

• Отрезок для 1 м (что равно $\frac{5}{5}$ м) будет состоять из пяти частей: $5 \times 2 = 10$ клеток.

• Отрезок для $\frac{7}{5}$ м будет состоять из семи частей: $7 \times 2 = 14$ клеток.

Ответ: нужно построить отрезки длиной 4, 6, 10 и 14 клеток.

б) На рисунке 7.17 показан отрезок, соответствующий $\frac{2}{3}$ ч. Его длина составляет 4 клетки. Так как 4 клетки соответствуют двум третьим частям часа, мы можем найти длину одной третьей части часа.

Длина отрезка для $\frac{1}{3}$ ч равна: $4 \div 2 = 2$ клетки. Это будет наша единица измерения.

• Отрезок для $\frac{1}{3}$ ч имеет длину 2 клетки.

• Отрезок для 1 ч (что равно $\frac{3}{3}$ ч) будет в три раза длиннее: $3 \times 2 = 6$ клеток.

• Отрезок для $\frac{4}{3}$ ч будет в четыре раза длиннее: $4 \times 2 = 8$ клеток.

• Отрезок для $\frac{8}{3}$ ч будет в восемь раз длиннее: $8 \times 2 = 16$ клеток.

Ответ: нужно построить отрезки длиной 2, 6, 8 и 16 клеток.

в) На рисунке 7.18 показан отрезок, соответствующий $\frac{3}{4}$ км. Его длина составляет 6 клеток. Так как 6 клеток соответствуют трём четвертым частям километра, мы можем найти длину одной четвертой части километра.

Длина отрезка для $\frac{1}{4}$ км равна: $6 \div 3 = 2$ клетки. Это будет наша единица измерения.

• Отрезок для $\frac{1}{4}$ км имеет длину 2 клетки.

• Отрезок для 1 км (что равно $\frac{4}{4}$ км) будет в четыре раза длиннее: $4 \times 2 = 8$ клеток.

• Отрезок для $\frac{5}{4}$ км будет в пять раз длиннее: $5 \times 2 = 10$ клеток.

• Отрезок для $\frac{6}{4}$ км будет в шесть раз длиннее: $6 \times 2 = 12$ клеток.

Ответ: нужно построить отрезки длиной 2, 8, 10 и 12 клеток.

7.32 Назовите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 7.19).

$A = 0.2$

$B = 0.6$

$C = 1.2$

$D = 1.8$

Рис. 7.19

Чтобы найти координаты отмеченных точек, необходимо сначала определить цену одного деления координатной прямой. Мы видим, что единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1, разделен на 5 равных частей. Следовательно, цена одного деления составляет $1 \div 5 = \frac{1}{5}$. В виде десятичной дроби это равно $0.2$.

Точка A расположена на первом делении справа от нуля. Ее координата равна произведению количества делений от нуля на цену деления: $1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$. В десятичной форме это $0.2$.

Ответ: A($\frac{1}{5}$) или A(0.2).

Точка B расположена на третьем делении справа от нуля. Ее координата равна: $3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$. В десятичной форме это $0.6$.

Ответ: B($\frac{3}{5}$) или B(0.6).

Точка C расположена на четвертом делении справа от нуля. Ее координата равна: $4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$. В десятичной форме это $0.8$.

Ответ: C($\frac{4}{5}$) или C(0.8).

Точка D расположена на седьмом делении справа от нуля (5 делений до отметки "1" и еще 2 деления после). Ее координата равна: $7 \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{5}$. Если представить эту дробь в виде смешанного числа, получим $1\frac{2}{5}$. В десятичной форме это $1.4$.

Ответ: D($\frac{7}{5}$) или D($1\frac{2}{5}$) или D(1.4).

7.33 а) Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 9 см.

Отметьте точки с координатами:

$ \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}, \frac{9}{9}, \frac{11}{9}, \frac{13}{9} $

Какая из этих точек расположена дальше других от нуля, а какая — ближе всех к нулю? Какие точки расположены левее 1, а какие — правее 1?

б) Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 12 клеткам, и отметьте дроби:

$ \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{6}{6}, \frac{7}{6}, \frac{8}{6} $

Ответьте на те же вопросы, что и в задании «а».

а)

Чтобы начертить координатную прямую, выберем начальную точку (начало координат) и обозначим ее цифрой 0. От этой точки отложим вправо отрезок длиной 9 см. Конец этого отрезка обозначим цифрой 1. Этот отрезок (от 0 до 1) является единичным.

Все данные дроби имеют знаменатель 9. Это означает, что единичный отрезок разделен на 9 равных частей. Поскольку длина единичного отрезка равна 9 см, то каждая такая часть будет равна $9 \text{ см} / 9 = 1 \text{ см}$.

Чтобы отметить точку с координатой $\frac{n}{9}$, нужно отложить от начала координат $n$ таких частей, то есть $n$ сантиметров.

• Точка $\frac{1}{9}$ будет на расстоянии 1 см от 0.
• Точка $\frac{2}{9}$ будет на расстоянии 2 см от 0.
• Точка $\frac{5}{9}$ будет на расстоянии 5 см от 0.
• Точка $\frac{7}{9}$ будет на расстоянии 7 см от 0.
• Точка $\frac{9}{9}$ будет на расстоянии 9 см от 0 (совпадает с точкой 1).
• Точка $\frac{11}{9}$ будет на расстоянии 11 см от 0.
• Точка $\frac{13}{9}$ будет на расстоянии 13 см от 0.

Какая из этих точек расположена дальше других от нуля, а какая — ближе всех к нулю?
Все точки находятся справа от нуля (так как координаты положительные). Дальше от нуля та точка, координата которой больше. Ближе к нулю та, координата которой меньше. Сравнивая дроби с одинаковыми знаменателями, мы сравниваем их числители: $1 < 2 < 5 < 7 < 9 < 11 < 13$.
Самая большая дробь — $\frac{13}{9}$, значит, эта точка дальше всех от нуля.
Самая маленькая дробь — $\frac{1}{9}$, значит, эта точка ближе всех к нулю.

Какие точки расположены левее 1, а какие — правее 1?
Число 1 равно дроби $\frac{9}{9}$.
Левее 1 расположены точки, координаты которых меньше 1. Это дроби, у которых числитель меньше знаменателя: $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}$.
Правее 1 расположены точки, координаты которых больше 1. Это дроби, у которых числитель больше знаменателя: $\frac{11}{9}, \frac{13}{9}$.

Ответ: Дальше всех от нуля расположена точка с координатой $\frac{13}{9}$. Ближе всех к нулю — точка с координатой $\frac{1}{9}$. Левее 1 расположены точки $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}$. Правее 1 расположены точки $\frac{11}{9}, \frac{13}{9}$.

б)

Начертим координатную прямую с началом в точке 0. Единичный отрезок (от 0 до 1) будет равен 12 клеткам.

Знаменатель данных дробей равен 6. Это значит, что единичный отрезок нужно разделить на 6 равных частей. Длина каждой такой части будет равна $12 \text{ клеток} / 6 = 2 \text{ клетки}$.

Чтобы отметить точку с координатой $\frac{n}{6}$, нужно отложить от начала координат $n$ частей по 2 клетки, то есть $n \times 2$ клеток.

• Точка $\frac{1}{6}$ будет на расстоянии $1 \times 2 = 2$ клетки от 0.
• Точка $\frac{2}{6}$ будет на расстоянии $2 \times 2 = 4$ клетки от 0.
• Точка $\frac{3}{6}$ будет на расстоянии $3 \times 2 = 6$ клеток от 0.
• Точка $\frac{4}{6}$ будет на расстоянии $4 \times 2 = 8$ клеток от 0.
• Точка $\frac{5}{6}$ будет на расстоянии $5 \times 2 = 10$ клеток от 0.
• Точка $\frac{6}{6}$ будет на расстоянии $6 \times 2 = 12$ клеток от 0 (совпадает с точкой 1).
• Точка $\frac{7}{6}$ будет на расстоянии $7 \times 2 = 14$ клеток от 0.
• Точка $\frac{8}{6}$ будет на расстоянии $8 \times 2 = 16$ клеток от 0.

Ответим на те же вопросы, что и в задании «а».
Дальше всех от нуля расположена точка с наибольшей координатой — $\frac{8}{6}$.
Ближе всех к нулю расположена точка с наименьшей координатой — $\frac{1}{6}$.
Число 1 равно дроби $\frac{6}{6}$.
Левее 1 расположены точки, координаты которых меньше 1: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$.
Правее 1 расположены точки, координаты которых больше 1: $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}$.

Ответ: Дальше всех от нуля расположена точка с координатой $\frac{8}{6}$. Ближе всех к нулю — точка с координатой $\frac{1}{6}$. Левее 1 расположены точки $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$. Правее 1 расположены точки $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}$.

7.34 На координатной прямой отметьте дроби: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}$.

Подсказка. Возьмите единичный отрезок, равный 15 клеткам.

Чтобы отметить данные дроби на координатной прямой, воспользуемся подсказкой и примем за единичный отрезок 15 клеток. Этот выбор удобен, так как 15 является наименьшим общим кратным для знаменателей 3 и 5 ($НОК(3, 5) = 15$), что позволяет легко откладывать доли, соответствующие этим дробям.

Сначала найдем, скольким клеткам будет соответствовать одна доля для каждого знаменателя.
Для дробей со знаменателем 3: одна треть единичного отрезка составляет $ \frac{1}{3} \times 15 = 5$ клеток.
Для дробей со знаменателем 5: одна пятая единичного отрезка составляет $ \frac{1}{5} \times 15 = 3$ клетки.

Теперь вычислим положение каждой дроби на координатной прямой, измеряя расстояние в клетках от начала координат (точки 0).
Расчеты для дробей со знаменателем 3:
$ \frac{1}{3} \rightarrow \frac{1}{3} \times 15 = 5$ клеток.
$ \frac{2}{3} \rightarrow \frac{2}{3} \times 15 = 2 \times 5 = 10$ клеток.
$ \frac{4}{3} \rightarrow \frac{4}{3} \times 15 = 4 \times 5 = 20$ клеток.
Расчеты для дробей со знаменателем 5:
$ \frac{2}{5} \rightarrow \frac{2}{5} \times 15 = 2 \times 3 = 6$ клеток.
$ \frac{3}{5} \rightarrow \frac{3}{5} \times 15 = 3 \times 3 = 9$ клеток.
$ \frac{4}{5} \rightarrow \frac{4}{5} \times 15 = 4 \times 3 = 12$ клеток.
$ \frac{5}{5} \rightarrow \frac{5}{5} \times 15 = 1 \times 15 = 15$ клеток (соответствует точке 1).
$ \frac{7}{5} \rightarrow \frac{7}{5} \times 15 = 7 \times 3 = 21$ клетка.
$ \frac{8}{5} \rightarrow \frac{8}{5} \times 15 = 8 \times 3 = 24$ клетки.

Для нанесения точек на координатную прямую необходимо отложить от начала (точки 0) вычисленное количество клеток для каждой дроби.

Ответ:
На координатной прямой точки располагаются в следующем порядке (в скобках указано расстояние в клетках от точки 0):
1. $ \frac{1}{3} $ (5 клеток)
2. $ \frac{2}{5} $ (6 клеток)
3. $ \frac{3}{5} $ (9 клеток)
4. $ \frac{2}{3} $ (10 клеток)
5. $ \frac{4}{5} $ (12 клеток)
6. $ \frac{5}{5} = 1 $ (15 клеток)
7. $ \frac{4}{3} $ (20 клеток)
8. $ \frac{7}{5} $ (21 клетка)
9. $ \frac{8}{5} $ (24 клетки)
Схематичное изображение прямой с отмеченными точками:

0 5 6 9 10 12 15 20 21 24 30+------+---+-----+---+-----+---+---------+---------------------------+---+-------+---------+-----> | | | | | | | | | | | 1/3 2/5 3/5 2/3 4/5 1 (5/5) 4/3 7/5 8/5 2