Страница 129 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Как называются доли, получаемые при делении целого на 3, 5, 6, 8 равных частей?

Когда целое делится на некоторое количество равных частей, каждая из этих частей называется долей. Название доли происходит от порядкового числительного, которое соответствует количеству частей, на которые разделено целое.

При делении на 3 равные части

Если разделить целое на 3 равные части, то каждая такая часть будет называться "одна третья". Совокупность этих долей называется "третьи доли" или "трети". Математически одна такая доля записывается в виде дроби $1/3$.

Ответ: третьи доли (трети).

При делении на 5 равных частей

Если разделить целое на 5 равных частей, то каждая часть будет называться "одна пятая". Совокупность этих долей называется "пятые доли". Математически одна такая доля записывается в виде дроби $1/5$.

Ответ: пятые доли.

При делении на 6 равных частей

Если разделить целое на 6 равных частей, то каждая часть будет называться "одна шестая". Совокупность этих долей называется "шестые доли". Математически одна такая доля записывается в виде дроби $1/6$.

Ответ: шестые доли.

При делении на 8 равных частей

Если разделить целое на 8 равных частей, то каждая часть будет называться "одна восьмая". Совокупность этих долей называется "восьмые доли". Математически одна такая доля записывается в виде дроби $1/8$.

Ответ: восьмые доли.

На сколько равных частей разделили целое, если в результате получились:

четвёртые доли: $4$

седьмые доли: $7$

десятые доли: $10$

двенадцатые доли: $12$

четвертые доли: Если в результате деления целого получились четвертые доли, это означает, что целое разделили на четыре равные части. Каждая такая часть называется "одна четвертая" и записывается в виде дроби $ \frac{1}{4} $. Знаменатель дроби (число 4) как раз и показывает количество равных частей.
Ответ: на 4 равные части.

седьмые доли: Если в результате деления целого получились седьмые доли, значит, целое было разделено на семь равных частей. Одна такая часть — это "одна седьмая" или дробь $ \frac{1}{7} $. Знаменатель дроби (число 7) указывает на то, что целое разделили на 7 равных частей.
Ответ: на 7 равных частей.

десятые доли: Если в результате деления целого получились десятые доли, это означает, что целое разделили на десять равных частей. Каждая часть — "одна десятая", которая записывается как $ \frac{1}{10} $. Знаменатель 10 показывает, что деление производилось на 10 равных частей.
Ответ: на 10 равных частей.

двенадцатые доли: Если в результате деления целого получились двенадцатые доли, то целое было разделено на двенадцать равных частей. Каждая из этих частей называется "одна двенадцатая" и записывается дробью $ \frac{1}{12} $. Знаменатель дроби (число 12) указывает на количество равных частей, на которые разделили целое.
Ответ: на 12 равных частей.

Какая доля меньше: вторая или третья, четвёртая или третья, пятая или четвёртая? Объясните, как вы рассуждали.

Чтобы определить, какая доля меньше, нужно представить, что мы делим что-то целое (например, пирог) на равные части. "Вторая доля" — это одна из двух частей, "третья доля" — одна из трёх, и так далее. Чем на большее количество частей мы делим целое, тем меньше получается каждая отдельная часть.

Математически это правило звучит так: при сравнении дробей с одинаковым числителем (в нашем случае числитель равен 1), меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Сравниваем вторую долю, то есть дробь $\frac{1}{2}$, и третью долю, то есть дробь $\frac{1}{3}$. Если разделить пирог на 3 части, каждый кусок будет меньше, чем если бы мы разделили его на 2 части. Знаменатель 3 больше, чем знаменатель 2, поэтому и дробь $\frac{1}{3}$ меньше, чем дробь $\frac{1}{2}$.

Ответ: третья доля меньше.

Сравниваем четвёртую долю ($\frac{1}{4}$) и третью долю ($\frac{1}{3}$). В этом случае мы делим целое на 4 части или на 3. Так как 4 больше 3, то при делении на 4 части каждая доля будет меньше. Следовательно, $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.

Ответ: четвёртая доля меньше.

Сравниваем пятую долю ($\frac{1}{5}$) и четвёртую долю ($\frac{1}{4}$). Рассуждаем аналогично: деление на 5 частей даёт более мелкие доли, чем деление на 4 части. Знаменатель 5 больше, чем знаменатель 4, поэтому $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$.

Ответ: пятая доля меньше.

7.1 Квадрат разделили на равные части. Какую долю целого квадрата составляет каждая из них (рис. 7.4)?

а) $ \frac{1}{9} $

б) $ \frac{1}{16} $

в) $ \frac{1}{8} $

Рис. 7.4

а)

На данном рисунке квадрат разделен на 4 равные части. Чтобы определить, какую долю составляет каждая часть, необходимо общее количество (1, целый квадрат) разделить на количество частей (4). Таким образом, каждая часть составляет одну четвертую от всего квадрата.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б)

На этом рисунке квадрат разделен на 9 равных частей. Общее количество частей можно посчитать, умножив количество строк на количество столбцов: $3 \times 3 = 9$. Следовательно, каждая часть составляет одну девятую от всего квадрата.

Ответ: $\frac{1}{9}$

в)

Здесь квадрат разделен на 8 равных треугольных частей. Посчитав общее количество равных частей, мы видим, что их 8. Значит, каждая часть составляет одну восьмую от всего квадрата.

Ответ: $\frac{1}{8}$

7.2 Определите по рисунку 7.5, сколько четвёртых долей фигуры закрашено.

a) $3$ четвёртых долей закрашено.

б) $2$ четвёртых долей закрашено.

в) $1$ четвёртая доля закрашена.

Рис. 7.5

a)

Прямоугольник разделен на 4 равные горизонтальные полосы. Каждая полоса составляет одну четвертую долю ($1/4$) всей фигуры. На рисунке закрашено 3 такие полосы. Таким образом, закрашено 3 четвертых доли фигуры.

Ответ: 3

б)

Квадрат разделен на 4 равных треугольника. Каждый треугольник составляет одну четвертую долю ($1/4$) всей фигуры. На рисунке закрашено 2 таких треугольника. Таким образом, закрашено 2 четвертых доли фигуры.

Ответ: 2

в)

Большой треугольник разделен на 4 равных малых треугольника. Каждый малый треугольник составляет одну четвертую долю ($1/4$) всей фигуры. На рисунке закрашено 3 таких малых треугольника. Таким образом, закрашено 3 четвертых доли фигуры.

Ответ: 3

7.3 НАБЛЮДАЕМ И ДЕЛАЕМ ВЫВОДЫ

1) Начертите круг. Разделите его на две равные части. Какую долю круга составляет каждая часть?

2) Каждую часть разделите ещё раз пополам. Какую долю круга составляет каждая из получившихся частей?

3) Разделите ещё раз каждую часть пополам. Какую долю круга составляет каждая из получившихся частей?

4) Воспользовавшись сделанным вами рисунком, определите, сколько содержится:

• вторых, четвёртых, восьмых и шестнадцатых долей в целом;
• четвёртых, восьмых и шестнадцатых долей в половине;
• восьмых и шестнадцатых долей в четверти.

1) Если разделить круг на две равные части, то каждая часть будет составлять одну из двух частей, то есть $ \frac{1}{2} $ долю круга.
Ответ: каждая часть составляет $ \frac{1}{2} $ долю круга.

2) Исходно у нас было 2 части. Разделив каждую из них пополам, мы получим $ 2 \times 2 = 4 $ равные части. Каждая из них будет составлять одну из четырех частей, то есть $ \frac{1}{4} $ долю круга.
Ответ: каждая часть составляет $ \frac{1}{4} $ долю круга.

3) Теперь у нас 4 части. Разделив каждую из них еще раз пополам, мы получим $ 4 \times 2 = 8 $ равных частей. Каждая из них будет составлять одну из восьми частей, то есть $ \frac{1}{8} $ долю круга.
Ответ: каждая часть составляет $ \frac{1}{8} $ долю круга.

4) Воспользовавшись сделанным рисунком и предыдущими рассуждениями, определим:

• вторых, четвёртых, восьмых и шестнадцатых долей в целом;
  Целый круг можно представить как $ 1 $.
  Вторых долей: $ 1 \div \frac{1}{2} = 2 $.
  Четвёртых долей: $ 1 \div \frac{1}{4} = 4 $.
  Восьмых долей: $ 1 \div \frac{1}{8} = 8 $.
  Шестнадцатых долей (разделив 8 частей еще раз пополам): $ 1 \div \frac{1}{16} = 16 $.
  Ответ: в целом содержится 2 вторых, 4 четвёртых, 8 восьмых и 16 шестнадцатых долей.
• четвертых, восьмых и шестнадцатых долей в половине;
  Половина круга — это $ \frac{1}{2} $.
  Четвёртых долей в половине: $ \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times 4 = 2 $.
  Восьмых долей в половине: $ \frac{1}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \times 8 = 4 $.
  Шестнадцатых долей в половине: $ \frac{1}{2} \div \frac{1}{16} = \frac{1}{2} \times 16 = 8 $.
  Ответ: в половине содержится 2 четвёртых, 4 восьмых и 8 шестнадцатых долей.
• восьмых и шестнадцатых долей в четверти.
  Четверть круга — это $ \frac{1}{4} $.
  Восьмых долей в четверти: $ \frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \times 8 = 2 $.
  Шестнадцатых долей в четверти: $ \frac{1}{4} \div \frac{1}{16} = \frac{1}{4} \times 16 = 4 $.
  Ответ: в четверти содержится 2 восьмых и 4 шестнадцатых доли.

7.4 Сколько сантиметров содержится:

а) в половине метра;

б) в четверти метра;

в) в одной пятой метра;

г) в трёх пятых метра?

Для решения этой задачи нужно вспомнить основное соотношение между метрами и сантиметрами: в одном метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).

а) Половина метра — это одна вторая часть метра ($ \frac{1}{2} $). Чтобы найти, сколько сантиметров в половине метра, нужно 100 см разделить на 2.
$ 100 \text{ см} \div 2 = 50 \text{ см} $, или $ 100 \text{ см} \times \frac{1}{2} = 50 \text{ см} $.
Ответ: 50 см.

б) Четверть метра — это одна четвертая часть метра ($ \frac{1}{4} $). Чтобы найти количество сантиметров, нужно 100 см разделить на 4.
$ 100 \text{ см} \div 4 = 25 \text{ см} $, или $ 100 \text{ см} \times \frac{1}{4} = 25 \text{ см} $.
Ответ: 25 см.

в) Одна пятая метра — это одна пятая часть метра ($ \frac{1}{5} $). Чтобы найти количество сантиметров, нужно 100 см разделить на 5.
$ 100 \text{ см} \div 5 = 20 \text{ см} $, или $ 100 \text{ см} \times \frac{1}{5} = 20 \text{ см} $.
Ответ: 20 см.

г) Три пятых метра — это три пятых части метра ($ \frac{3}{5} $). Чтобы найти количество сантиметров, нужно 100 см разделить на 5 и полученный результат умножить на 3.
$ (100 \text{ см} \div 5) \times 3 = 20 \text{ см} \times 3 = 60 \text{ см} $, или $ 100 \text{ см} \times \frac{3}{5} = \frac{300}{5} \text{ см} = 60 \text{ см} $.
Ответ: 60 см.

7.5 Сколько граммов содержится:

а) в половине килограмма;

б) в четверти килограмма;

в) в одной сотой килограмма;

г) в восемнадцати сотых килограмма?

Для решения этой задачи необходимо знать основное соотношение единиц массы: в одном килограмме содержится 1000 граммов.

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

а) в половине килограмма

Половина килограмма — это $\frac{1}{2}$ килограмма. Чтобы найти соответствующее количество граммов, необходимо 1000 граммов разделить на 2.

$1000 \text{ г} \div 2 = 500 \text{ г}$

Ответ: 500 г.

б) в четверти килограмма

Четверть килограмма — это $\frac{1}{4}$ килограмма. Чтобы найти массу в граммах, нужно 1000 граммов разделить на 4.

$1000 \text{ г} \div 4 = 250 \text{ г}$

Ответ: 250 г.

в) в одной сотой килограмма

Одна сотая килограмма — это $\frac{1}{100}$ килограмма. Для перевода в граммы нужно 1000 граммов разделить на 100.

$1000 \text{ г} \div 100 = 10 \text{ г}$

Ответ: 10 г.

г) в восемнадцати сотых килограмма

Восемнадцать сотых килограмма — это $\frac{18}{100}$ килограмма. Чтобы найти массу в граммах, нужно 1000 граммов умножить на эту дробь.

$1000 \text{ г} \times \frac{18}{100} = 10 \text{ г} \times 18 = 180 \text{ г}$

Ответ: 180 г.