Страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Начертите прямоугольник со сторонами, равными 4 клеткам и 6 клеткам.

Разделите его на четыре равные части и закрасьте $\frac{3}{4}$ прямоугольника. С помощью этого рисунка покажите, что $\frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{18}{24}$.

Начертите прямоугольник со сторонами, равными 4 клеткам и 6 клеткам. Разделите его на четыре равные части и закрасьте $\frac{3}{4}$ прямоугольника.
1. Чертим на клетчатой бумаге прямоугольник, у которого одна сторона равна 4 клеткам, а другая — 6 клеткам.
2. Общая площадь этого прямоугольника составляет $4 \times 6 = 24$ клетки.
3. Чтобы разделить его на четыре равные части, можно провести одну линию, делящую сторону из 6 клеток пополам (на два отрезка по 3 клетки), и вторую линию, делящую сторону из 4 клеток пополам (на два отрезка по 2 клетки). В результате прямоугольник будет разделен на 4 одинаковых малых прямоугольника размером $2 \times 3$ клетки. Площадь каждой такой части равна $2 \times 3 = 6$ клеток.
4. Чтобы закрасить $\frac{3}{4}$ прямоугольника, нужно закрасить 3 из этих 4 равных частей. Общая площадь закрашенной области будет равна $3 \times 6 = 18$ клеток.
Ответ: Построен прямоугольник 4x6 клеток, который разделен на четыре равные части размером 2x3 клетки, и три из этих частей закрашены.

С помощью этого рисунка покажите, что $\frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{18}{24}$.
Наш рисунок наглядно демонстрирует это равенство, если рассматривать закрашенную часть по-разному:
1. Как $\frac{3}{4}$: Мы изначально разделили весь прямоугольник на 4 большие равные части и закрасили 3 из них. Это и есть по определению дробь $\frac{3}{4}$.
2. Как $\frac{18}{24}$: Весь прямоугольник состоит из 24 маленьких исходных клеток (это наш знаменатель). Закрашенная область покрывает 18 таких клеток (это наш числитель). Таким образом, закрашенная часть составляет $\frac{18}{24}$ от всего прямоугольника.
3. Как $\frac{9}{12}$: Мы можем мысленно сгруппировать клетки всего прямоугольника по две. Тогда общее количество таких групп (новых "частей") будет $24 \div 2 = 12$ (это знаменатель). В закрашенной области находится 18 клеток, что составляет $18 \div 2 = 9$ таких групп (это числитель). Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{9}{12}$ от всего прямоугольника.

Поскольку все три дроби — $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{12}$ и $\frac{18}{24}$ — описывают одну и ту же закрашенную площадь на рисунке, они равны между собой.
Ответ: Закрашенная на рисунке область одновременно представляет собой 3 части из 4 ($\frac{3}{4}$), 18 клеток из 24 ($\frac{18}{24}$) и 9 групп по 2 клетки из 12 таких групп ($\frac{9}{12}$), что доказывает равенство дробей.

Сформулируйте основное свойство дроби. Объясните, почему верно равенство:

a) $\frac{1}{5} = \frac{14}{70}$

б) $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$

в) $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

г) $\frac{24}{33} = \frac{8}{11}$

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (или любое число, не равное нулю), то получится равная ей дробь.

В виде формулы это можно записать так:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$, где $n \neq 0$.

а) Равенство $\frac{1}{5} = \frac{14}{70}$ верно согласно основному свойству дроби. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ умножить на одно и то же число 14, то получится дробь $\frac{14}{70}$.
Проверка: $\frac{1 \cdot 14}{5 \cdot 14} = \frac{14}{70}$.
Ответ: Равенство верно, так как числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ умножили на 14.

б) Равенство $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ верно, так как числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ были умножены на одно и то же число 5.
Проверка: $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
Ответ: Равенство верно, так как числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ умножили на 5.

в) Равенство $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ верно. В данном случае числитель и знаменатель дроби $\frac{4}{6}$ разделили на одно и то же число 2 (выполнили сокращение дроби).
Проверка: $\frac{4 : 2}{6 : 2} = \frac{2}{3}$.
Ответ: Равенство верно, так как числитель и знаменатель дроби $\frac{4}{6}$ разделили на 2.

г) Равенство $\frac{24}{33} = \frac{8}{11}$ верно, потому что числитель и знаменатель дроби $\frac{24}{33}$ были разделены на их общий делитель, равный 3.
Проверка: $\frac{24 : 3}{33 : 3} = \frac{8}{11}$.
Ответ: Равенство верно, так как числитель и знаменатель дроби $\frac{24}{33}$ разделили на 3.