Страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.73 a) Выпишите все правильные дроби со знаменателем 12. Сократите те из них, которые можно сократить.

б) Выпишите все правильные дроби со знаменателем 15. Сократите те из них, которые можно сократить.

а) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель (натуральное число) меньше знаменателя. Следовательно, правильные дроби со знаменателем 12 будут иметь числители от 1 до 11.
Выпишем все такие дроби:
$\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$.
Теперь сократим те дроби, у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и разделим их на него.
$\frac{2}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$ (НОД(2, 12) = 2)
$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$ (НОД(3, 12) = 3)
$\frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$ (НОД(4, 12) = 4)
$\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$ (НОД(6, 12) = 6)
$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$ (НОД(8, 12) = 4)
$\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$ (НОД(9, 12) = 3)
$\frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$ (НОД(10, 12) = 2)
Дроби $\frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \frac{7}{12}, \frac{11}{12}$ являются несократимыми, так как их числители и знаменатель 12 взаимно просты.
Ответ: Все правильные дроби: $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$. Сокращенные дроби: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$; $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$; $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$; $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$; $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$; $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$; $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

б) Правильные дроби со знаменателем 15 будут иметь числители от 1 до 14.
Выпишем все такие дроби:
$\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{3}{15}, \frac{4}{15}, \frac{5}{15}, \frac{6}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{9}{15}, \frac{10}{15}, \frac{11}{15}, \frac{12}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15}$.
Теперь сократим те из них, которые можно сократить.
$\frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}$ (НОД(3, 15) = 3)
$\frac{5}{15} = \frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$ (НОД(5, 15) = 5)
$\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$ (НОД(6, 15) = 3)
$\frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$ (НОД(9, 15) = 3)
$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$ (НОД(10, 15) = 5)
$\frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$ (НОД(12, 15) = 3)
Дроби $\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{4}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{11}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15}$ являются несократимыми.
Ответ: Все правильные дроби: $\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{3}{15}, \frac{4}{15}, \frac{5}{15}, \frac{6}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{9}{15}, \frac{10}{15}, \frac{11}{15}, \frac{12}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15}$. Сокращенные дроби: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$; $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$; $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$; $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$; $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$; $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.

7.74 a) Какую часть метра составляет 1 см, 5 см, 20 см, 50 см, 75 см?

б) Какую часть килограмма составляет 1 г, 200 г, 350 г, 600 г, 850 г?

в) Какую часть часа составляет 1 мин, 3 мин, 10 мин, 20 мин?

г) Какую часть минуты составляет 1 с, 2 с, 15 с, 25 с, 42 с?

а) В одном метре содержится 100 сантиметров. Чтобы найти, какую часть метра составляет определенное количество сантиметров, нужно это количество разделить на 100 и, если возможно, сократить полученную дробь.

1 см составляет $\frac{1}{100}$ метра.
5 см составляют $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ метра.
20 см составляют $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ метра.
50 см составляют $\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ метра.
75 см составляют $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ метра.

Ответ: $\frac{1}{100}; \frac{1}{20}; \frac{1}{5}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4}$.

б) В одном килограмме содержится 1000 граммов. Чтобы найти, какую часть килограмма составляет определенное количество граммов, нужно это количество разделить на 1000 и сократить дробь.

1 г составляет $\frac{1}{1000}$ килограмма.
200 г составляют $\frac{200}{1000} = \frac{1}{5}$ килограмма.
350 г составляют $\frac{350}{1000} = \frac{7}{20}$ килограмма.
600 г составляют $\frac{600}{1000} = \frac{3}{5}$ килограмма.
850 г составляют $\frac{850}{1000} = \frac{17}{20}$ килограмма.

Ответ: $\frac{1}{1000}; \frac{1}{5}; \frac{7}{20}; \frac{3}{5}; \frac{17}{20}$.

в) В одном часе содержится 60 минут. Чтобы найти, какую часть часа составляет определенное количество минут, нужно это количество разделить на 60 и сократить дробь.

1 мин составляет $\frac{1}{60}$ часа.
3 мин составляют $\frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ часа.
10 мин составляют $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа.
20 мин составляют $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

Ответ: $\frac{1}{60}; \frac{1}{20}; \frac{1}{6}; \frac{1}{3}$.

г) В одной минуте содержится 60 секунд. Чтобы найти, какую часть минуты составляет определенное количество секунд, нужно это количество разделить на 60 и сократить дробь.

1 с составляет $\frac{1}{60}$ минуты.
2 с составляют $\frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ минуты.
15 с составляют $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ минуты.
25 с составляют $\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ минуты.
42 с составляют $\frac{42}{60} = \frac{7}{10}$ минуты.

Ответ: $\frac{1}{60}; \frac{1}{30}; \frac{1}{4}; \frac{5}{12}; \frac{7}{10}$.

7.75 Выразите в метрах: 25 см, 30 см, 60 см, 85 см.

Образец. $20 \text{ см} = \frac{20}{100} \text{ м} = \frac{1}{5} \text{ м}$

Для того чтобы выразить сантиметры (см) в метрах (м), необходимо помнить основное соотношение этих единиц длины: 1 метр равен 100 сантиметрам ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$). Следовательно, 1 сантиметр — это одна сотая часть метра ($1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м}$).

Чтобы перевести значение из сантиметров в метры, нужно разделить это значение на 100. Результат представим в виде дроби и сократим ее, если это возможно, следуя образцу.

25 см

Чтобы выразить 25 см в метрах, разделим 25 на 100:

$25 \text{ см} = \frac{25}{100} \text{ м}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя (25) и знаменателя (100) — это 25. Разделим числитель и знаменатель на 25:

$\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$

Таким образом, $25 \text{ см} = \frac{1}{4} \text{ м}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$ м.

30 см

Чтобы выразить 30 см в метрах, разделим 30 на 100:

$30 \text{ см} = \frac{30}{100} \text{ м}$

Сократим дробь $\frac{30}{100}$. Наибольший общий делитель для 30 и 100 — это 10. Разделим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{30 \div 10}{100 \div 10} = \frac{3}{10}$

Таким образом, $30 \text{ см} = \frac{3}{10} \text{ м}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$ м.

60 см

Чтобы выразить 60 см в метрах, разделим 60 на 100:

$60 \text{ см} = \frac{60}{100} \text{ м}$

Сократим дробь $\frac{60}{100}$. Наибольший общий делитель для 60 и 100 — это 20. Разделим числитель и знаменатель на 20:

$\frac{60 \div 20}{100 \div 20} = \frac{3}{5}$

Таким образом, $60 \text{ см} = \frac{3}{5} \text{ м}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$ м.

85 см

Чтобы выразить 85 см в метрах, разделим 85 на 100:

$85 \text{ см} = \frac{85}{100} \text{ м}$

Сократим дробь $\frac{85}{100}$. Наибольший общий делитель для 85 и 100 — это 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{85 \div 5}{100 \div 5} = \frac{17}{20}$

Таким образом, $85 \text{ см} = \frac{17}{20} \text{ м}$.

Ответ: $\frac{17}{20}$ м.

7.76 а) Выразите в часах: 12 мин, 15 мин, 20 мин, 24 мин, 30 мин.

б) Выразите в минутах: 4 с, 10 с, 20 с, 40 с, 45 с.

а)

Чтобы выразить минуты в часах, необходимо разделить количество минут на 60, так как 1 час равен 60 минутам. Полученную дробь следует сократить.

• 12 минут: $12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5} \text{ ч}$

• 15 минут: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$

• 20 минут: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

• 24 минуты: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$

• 30 минут: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$

Ответ: $12 \text{ мин} = \frac{1}{5} \text{ ч}$; $15 \text{ мин} = \frac{1}{4} \text{ ч}$; $20 \text{ мин} = \frac{1}{3} \text{ ч}$; $24 \text{ мин} = \frac{2}{5} \text{ ч}$; $30 \text{ мин} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.

б)

Чтобы выразить секунды в минутах, необходимо разделить количество секунд на 60, так как 1 минута равна 60 секундам. Полученную дробь следует сократить.

• 4 секунды: $4 \text{ с} = \frac{4}{60} \text{ мин} = \frac{1}{15} \text{ мин}$

• 10 секунд: $10 \text{ с} = \frac{10}{60} \text{ мин} = \frac{1}{6} \text{ мин}$

• 20 секунд: $20 \text{ с} = \frac{20}{60} \text{ мин} = \frac{1}{3} \text{ мин}$

• 40 секунд: $40 \text{ с} = \frac{40}{60} \text{ мин} = \frac{2}{3} \text{ мин}$

• 45 секунд: $45 \text{ с} = \frac{45}{60} \text{ мин} = \frac{3}{4} \text{ мин}$

Ответ: $4 \text{ с} = \frac{1}{15} \text{ мин}$; $10 \text{ с} = \frac{1}{6} \text{ мин}$; $20 \text{ с} = \frac{1}{3} \text{ мин}$; $40 \text{ с} = \frac{2}{3} \text{ мин}$; $45 \text{ с} = \frac{3}{4} \text{ мин}$.

7.77 a) В классе 30 учеников, 12 из них — девочки. Какую часть всех учащихся составляют девочки? Какую часть всех учащихся составляют мальчики?

б) В школьном саду растёт 20 яблонь и 12 слив. Какую часть всех деревьев составляют яблони? Какую часть всех деревьев составляют сливы?

а)

Сначала найдем, какую часть всех учащихся составляют девочки. Для этого разделим количество девочек на общее количество учеников в классе.
Всего учеников: 30.
Количество девочек: 12.
Часть, которую составляют девочки: $ \frac{12}{30} $.
Чтобы упростить дробь, найдем наибольший общий делитель для числителя и знаменателя. Для 12 и 30 это число 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{12 \div 6}{30 \div 6} = \frac{2}{5} $.
Следовательно, девочки составляют $ \frac{2}{5} $ всех учащихся.

Теперь найдем, какую часть всех учащихся составляют мальчики. Сначала определим количество мальчиков:
$ 30 - 12 = 18 $ мальчиков.
Теперь разделим количество мальчиков на общее количество учеников:
Часть, которую составляют мальчики: $ \frac{18}{30} $.
Сократим эту дробь, также разделив числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5} $.
Следовательно, мальчики составляют $ \frac{3}{5} $ всех учащихся.
Ответ: девочки составляют $ \frac{2}{5} $ всех учащихся, а мальчики — $ \frac{3}{5} $.

б)

Сначала найдем общее количество деревьев в саду, сложив количество яблонь и слив.
$ 20 + 12 = 32 $ дерева.

Теперь определим, какую часть всех деревьев составляют яблони. Для этого разделим количество яблонь на общее количество деревьев.
Часть, которую составляют яблони: $ \frac{20}{32} $.
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 20 и 32 равен 4.
$ \frac{20 \div 4}{32 \div 4} = \frac{5}{8} $.
Следовательно, яблони составляют $ \frac{5}{8} $ всех деревьев.

Наконец, найдем, какую часть всех деревьев составляют сливы, разделив их количество на общее число деревьев.
Часть, которую составляют сливы: $ \frac{12}{32} $.
Сократим эту дробь на 4:
$ \frac{12 \div 4}{32 \div 4} = \frac{3}{8} $.
Следовательно, сливы составляют $ \frac{3}{8} $ всех деревьев.
Ответ: яблони составляют $ \frac{5}{8} $ всех деревьев, а сливы — $ \frac{3}{8} $.

7.78 a) Толя идёт от дома до школы 18 мин. Какую часть пути проходит Толя за 6 мин; за 9 мин; за 12 мин; за 15 мин?

б) Серёжа за выполнение некоторой работы должен был получить 900 р. Какую часть работы выполнил Серёжа, если он получил 300 р.; 450 р.; 600 р.?

а)

Весь путь от дома до школы Толя проходит за 18 минут. Это время мы принимаем за целое, то есть за 1. Чтобы найти, какую часть пути прошел Толя за определенное время, нужно это время разделить на общее время в пути.

• За 6 мин Толя прошел часть пути, равную отношению 6 минут к 18 минутам:
  $ \frac{6}{18} = \frac{6 \div 6}{18 \div 6} = \frac{1}{3} $

• За 9 мин Толя прошел часть пути, равную отношению 9 минут к 18 минутам:
  $ \frac{9}{18} = \frac{9 \div 9}{18 \div 9} = \frac{1}{2} $

• За 12 мин Толя прошел часть пути, равную отношению 12 минут к 18 минутам:
  $ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $

• За 15 мин Толя прошел часть пути, равную отношению 15 минут к 18 минутам:
  $ \frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6} $

Ответ: за 6 мин Толя проходит $ \frac{1}{3} $ пути; за 9 мин – $ \frac{1}{2} $ пути; за 12 мин – $ \frac{2}{3} $ пути; за 15 мин – $ \frac{5}{6} $ пути.

б)

Вся работа, за которую Серёжа должен был получить 900 рублей, принимается за целое, то есть за 1. Чтобы найти, какую часть работы выполнил Серёжа, нужно полученную им сумму разделить на общую сумму вознаграждения.

• Если он получил 300 р., то часть выполненной работы равна:
  $ \frac{300}{900} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $

• Если он получил 450 р., то часть выполненной работы равна:
  $ \frac{450}{900} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2} $

• Если он получил 600 р., то часть выполненной работы равна:
  $ \frac{600}{900} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $

Ответ: если Серёжа получил 300 р., он выполнил $ \frac{1}{3} $ работы; если 450 р. – $ \frac{1}{2} $ работы; если 600 р. – $ \frac{2}{3} $ работы.

7.79 Сократите дроби:

a) $ \frac{20}{118} $, $ \frac{236}{444} $, $ \frac{66}{102} $, $ \frac{128}{28} $

б) $ \frac{108}{72} $, $ \frac{36}{243} $, $ \frac{120}{168} $, $ \frac{720}{640} $.

$\frac{20}{118}$
Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Найдем НОД для 20 и 118. Оба числа чётные, поэтому делятся на 2.
$20 = 2 \cdot 10$
$118 = 2 \cdot 59$
Число 59 — простое. Следовательно, НОД(20, 118) = 2.
$\frac{20}{118} = \frac{20 \div 2}{118 \div 2} = \frac{10}{59}$.
Ответ: $\frac{10}{59}$

$\frac{236}{444}$
Найдем НОД для 236 и 444. Оба числа делятся на 4.
$236 \div 4 = 59$
$444 \div 4 = 111$
Число 59 — простое. Число 111 не делится на 59. Значит, НОД(236, 444) = 4.
$\frac{236}{444} = \frac{236 \div 4}{444 \div 4} = \frac{59}{111}$.
Ответ: $\frac{59}{111}$

$\frac{66}{102}$
Найдем НОД для 66 и 102. Оба числа чётные (делятся на 2) и сумма их цифр делится на 3 (6+6=12, 1+0+2=3), значит, они делятся на $2 \cdot 3 = 6$.
$\frac{66}{102} = \frac{66 \div 6}{102 \div 6} = \frac{11}{17}$.
Ответ: $\frac{11}{17}$

$\frac{128}{28}$
Найдем НОД для 128 и 28. Оба числа делятся на 4.
$128 = 4 \cdot 32$
$28 = 4 \cdot 7$
НОД(128, 28) = 4.
$\frac{128}{28} = \frac{128 \div 4}{28 \div 4} = \frac{32}{7}$.
Ответ: $\frac{32}{7}$

$\frac{108}{72}$
Найдем НОД для 108 и 72. Можно заметить, что $108 = 3 \cdot 36$ и $72 = 2 \cdot 36$. Значит, НОД(108, 72) = 36.
$\frac{108}{72} = \frac{108 \div 36}{72 \div 36} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

$\frac{36}{243}$
Найдем НОД для 36 и 243. Проверим делимость на 9. Сумма цифр 36 ($3+6=9$) равна 9. Сумма цифр 243 ($2+4+3=9$) равна 9. Оба числа делятся на 9.
$36 \div 9 = 4$
$243 \div 9 = 27$
У чисел 4 и 27 нет общих делителей, кроме 1. Значит, НОД(36, 243) = 9.
$\frac{36}{243} = \frac{36 \div 9}{243 \div 9} = \frac{4}{27}$.
Ответ: $\frac{4}{27}$

$\frac{120}{168}$
Найдем НОД для 120 и 168. Можно сокращать дробь пошагово.
Оба числа делятся на 8: $120 = 8 \cdot 15$ и $168 = 8 \cdot 21$.
$\frac{120}{168} = \frac{15}{21}$
Теперь числитель и знаменатель делятся на 3.
$\frac{15}{21} = \frac{15 \div 3}{21 \div 3} = \frac{5}{7}$.
НОД(120, 168) = $8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: $\frac{5}{7}$

$\frac{720}{640}$
Сначала сократим дробь на 10.
$\frac{720}{640} = \frac{72}{64}$
Теперь найдем НОД для 72 и 64. Оба числа делятся на 8.
$72 = 8 \cdot 9$
$64 = 8 \cdot 8$
$\frac{72}{64} = \frac{72 \div 8}{64 \div 8} = \frac{9}{8}$.
Ответ: $\frac{9}{8}$

7.80 АНАЛИЗИРУЕМ И ДОКАЗЫВАЕМ Используя признаки делимости, докажите, что дробь можно сократить, и сократите её:

а) $\frac{312}{384}$;

б) $\frac{333}{1386}$;

в) $\frac{4550}{750}$;

г) $\frac{315}{84}$.

а) $ \frac{312}{384} $

Чтобы доказать, что дробь можно сократить, нужно найти общий делитель для числителя и знаменателя, отличный от 1. Воспользуемся признаками делимости.

Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная. Число 312 оканчивается на 2, а число 384 – на 4. Обе цифры четные, значит, и числитель, и знаменатель делятся на 2. Следовательно, дробь можно сократить.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

• Сумма цифр числителя 312: $3+1+2=6$. $6$ делится на $3$.
• Сумма цифр знаменателя 384: $3+8+4=15$. $15$ делится на $3$.

Так как оба числа делятся и на 2, и на 3, они делятся и на 6. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для 312 и 384, разложив их на простые множители:
$312 = 2 \cdot 156 = 2 \cdot 2 \cdot 78 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 39 = 2^3 \cdot 3 \cdot 13$
$384 = 2 \cdot 192 = 2 \cdot 2 \cdot 96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 48 = 2^4 \cdot 24 = 2^5 \cdot 12 = 2^6 \cdot 6 = 2^7 \cdot 3$
$НОД(312, 384) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{312}{384} = \frac{312 \div 24}{384 \div 24} = \frac{13}{16}$
Ответ: $\frac{13}{16}$

б) $ \frac{333}{1386} $

Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

• Сумма цифр числителя 333: $3+3+3=9$. $9$ делится на $9$.
• Сумма цифр знаменателя 1386: $1+3+8+6=18$. $18$ делится на $9$.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 9, дробь можно сократить. Сократим ее на 9:
$\frac{333}{1386} = \frac{333 \div 9}{1386 \div 9} = \frac{37}{154}$

Число 37 является простым. Проверим, делится ли 154 на 37. $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$. Общих делителей нет, значит, дробь несократима.
Ответ: $\frac{37}{154}$

в) $ \frac{4550}{750} $

Воспользуемся признаком делимости на 10: число делится на 10, если оно оканчивается на 0.
Числитель 4550 и знаменатель 750 оканчиваются на 0, значит, оба числа делятся на 10. Следовательно, дробь можно сократить.

Сократим дробь на 10:
$\frac{4550}{750} = \frac{455}{75}$

Теперь воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Числитель 455 и знаменатель 75 оканчиваются на 5, значит, они делятся на 5.

Сократим дробь еще на 5:
$\frac{455}{75} = \frac{455 \div 5}{75 \div 5} = \frac{91}{15}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $91 = 7 \cdot 13$, $15 = 3 \cdot 5$. Общих множителей нет, дробь несократима.
Ответ: $\frac{91}{15}$

г) $ \frac{315}{84} $

Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

• Сумма цифр числителя 315: $3+1+5=9$. $9$ делится на $3$.
• Сумма цифр знаменателя 84: $8+4=12$. $12$ делится на $3$.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 3, дробь можно сократить. Найдем НОД этих чисел.
Разложим на простые множители:
$315 = 3 \cdot 105 = 3 \cdot 3 \cdot 35 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
$НОД(315, 84) = 3 \cdot 7 = 21$.

Сократим дробь на 21:
$\frac{315}{84} = \frac{315 \div 21}{84 \div 21} = \frac{15}{4}$
Ответ: $\frac{15}{4}$

Сократите дробь (7.81–7.83).

7.81 а) $\frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 14}$;

б) $\frac{10 \cdot 9}{30 \cdot 9}$;

в) $\frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 9}$;

г) $\frac{14 \cdot 15}{21 \cdot 20}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 14}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить их друг на друга. В данном случае в числителе и знаменателе есть общий множитель 3. Сократим его.

$\frac{7 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 14} = \frac{7}{14}$

Теперь у нас есть дробь $\frac{7}{14}$. Мы можем заметить, что 14 делится на 7 ($14 = 2 \cdot 7$). Следовательно, мы можем сократить дробь на 7.

$\frac{7}{14} = \frac{7 \div 7}{14 \div 7} = \frac{1}{2}$

Другой способ — разложить все числа на простые множители с самого начала:

$\frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 14} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 7}$

Теперь сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (3 и 7):

$\frac{\cancel{7} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 2 \cdot \cancel{7}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Сократим дробь $\frac{10 \cdot 9}{30 \cdot 9}$. В числителе и знаменателе есть общий множитель 9. Сократим его.

$\frac{10 \cdot \cancel{9}}{30 \cdot \cancel{9}} = \frac{10}{30}$

Теперь сократим дробь $\frac{10}{30}$. Наибольший общий делитель для 10 и 30 это 10.

$\frac{10}{30} = \frac{10 \div 10}{30 \div 10} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Сократим дробь $\frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 9}$. Для этого разложим числа в числителе и знаменателе на множители, чтобы найти общие.

$12 = 3 \cdot 4$

$9 = 3 \cdot 3$

Подставим разложенные числа обратно в дробь:

$\frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 9} = \frac{4 \cdot (3 \cdot 4)}{5 \cdot (3 \cdot 3)}$

В числителе и знаменателе есть общий множитель 3. Сократим его.

$\frac{4 \cdot \cancel{3} \cdot 4}{5 \cdot \cancel{3} \cdot 3} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{16}{15}$

У чисел 16 и 15 нет общих делителей, кроме 1, поэтому дробь $\frac{16}{15}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{16}{15}$

г) Сократим дробь $\frac{14 \cdot 15}{21 \cdot 20}$. Разложим каждое число на простые множители.

$14 = 2 \cdot 7$

$15 = 3 \cdot 5$

$21 = 3 \cdot 7$

$20 = 4 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 5$

Подставим эти разложения в исходную дробь:

$\frac{14 \cdot 15}{21 \cdot 20} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)}{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 5)}$

Теперь сократим одинаковые множители, которые есть и в числителе, и в знаменателе. Общие множители: 2, 7, 3, 5.

$\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5}}{\cancel{3} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{5}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

7.82 а) $\frac{10 \cdot 11 \cdot 9}{12 \cdot 10 \cdot 11}$;

б) $\frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18}$;

в) $\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30}$;

г) $\frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{24 \cdot 15}$.

а) Чтобы упростить данное выражение, сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби.
$\frac{10 \cdot 11 \cdot 9}{12 \cdot 10 \cdot 11} = \frac{\cancel{10} \cdot \cancel{11} \cdot 9}{12 \cdot \cancel{10} \cdot \cancel{11}} = \frac{9}{12}$
Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель - 3.
$\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Сократим одинаковые множители (14 и 16) в числителе и знаменателе.
$\frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18} = \frac{12 \cdot \cancel{14} \cdot \cancel{16}}{\cancel{14} \cdot \cancel{16} \cdot 18} = \frac{12}{18}$
Сократим дробь $\frac{12}{18}$. Наибольший общий делитель для 12 и 18 - это 6.
$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители и сократим их.
$\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 3}{(2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (5 \cdot 6)} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3}$
Сокращаем одинаковые множители (5 и одну 3):
$\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{3} \cdot 3}{2 \cdot \cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{5} \cdot 2 \cdot 3} = \frac{3}{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3}$
Сокращаем оставшуюся 3:
$\frac{\cancel{3}}{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \cancel{3}} = \frac{1}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{1}{28}$
Ответ: $\frac{1}{28}$

г) Для решения этой задачи представим множители в знаменателе в виде произведения чисел, которые есть в числителе.
$24 = 6 \cdot 4$
$15 = 3 \cdot 5$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{24 \cdot 15} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{(6 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 5)}$
Сократим одинаковые множители (3 и 4):
$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot 25}{6 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot 5} = \frac{25}{6 \cdot 5}$
Теперь сократим 25 и 5 (оба делятся на 5):
$\frac{25}{6 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5 \cdot \cancel{5}}{6 \cdot \cancel{5}} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

7.83 а) $ \frac{2 \cdot 3^3 \cdot 11}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2} $

б) $ \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^4}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^5} $

а) Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Исходное выражение: $\frac{2 \cdot 3^3 \cdot 11}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство степеней. Учтем, что $2 = 2^1$, $3 = 3^1$ и $11 = 11^1$.

$\frac{2^1}{2^2} \cdot \frac{3^3}{3^1} \cdot \frac{11^1}{11^2} \cdot \frac{1}{5} = 2^{1-2} \cdot 3^{3-1} \cdot 11^{1-2} \cdot \frac{1}{5}$

Выполним вычитание в показателях степеней:

$2^{-1} \cdot 3^2 \cdot 11^{-1} \cdot \frac{1}{5}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем выражение:

$\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 5} = \frac{9}{110}$

Ответ: $\frac{9}{110}$

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Исходное выражение: $\frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^4}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^5}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^3}{2^2} \cdot \frac{3^2}{3^3} \cdot \frac{7^4}{7^5} \cdot 5$

Применим свойство степеней:

$2^{3-2} \cdot 3^{2-3} \cdot 7^{4-5} \cdot 5$

Выполним вычитание в показателях степеней:

$2^1 \cdot 3^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 5$

Преобразуем степени с отрицательными показателями:

$2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5}{1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 1} = \frac{10}{21}$

Ответ: $\frac{10}{21}$

7.84 а) На прямоугольном участке земли со сторонами 50 м и 30 м хотят разместить прямоугольный бассейн, имеющий длину 20 м и ширину 7 м. Какую часть площади всего участка займёт бассейн?

б) На прямоугольном участке земли со сторонами 20 м и 30 м заложили фундамент для дома. Размеры фундамента 12 м и 10 м. Какую часть площади всего участка займёт дом?

а) A $\frac{3}{4}$ 1

б) A $\frac{1}{3}$ 2

в) A $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{2}{9}$

Рис. 7.28

а)

Чтобы найти, какую часть площади всего участка займёт бассейн, необходимо вычислить отношение площади бассейна к площади всего участка.

1. Вычислим площадь прямоугольного участка земли. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.
$S_{участка} = 50 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 1500 \text{ м}^2$.

2. Вычислим площадь прямоугольного бассейна.
$S_{бассейна} = 20 \text{ м} \times 7 \text{ м} = 140 \text{ м}^2$.

3. Найдём отношение площади бассейна к площади участка и сократим полученную дробь.
$\frac{S_{бассейна}}{S_{участка}} = \frac{140}{1500} = \frac{14}{150} = \frac{7}{75}$.

Ответ: бассейн займёт $\frac{7}{75}$ часть площади всего участка.

б)

Чтобы найти, какую часть площади всего участка займёт дом, необходимо вычислить отношение площади фундамента дома к площади всего участка.

1. Вычислим площадь прямоугольного участка земли.
$S_{участка} = 20 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$.

2. Вычислим площадь фундамента дома.
$S_{дома} = 12 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 120 \text{ м}^2$.

3. Найдём отношение площади дома к площади участка и сократим полученную дробь.
$\frac{S_{дома}}{S_{участка}} = \frac{120}{600} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$.

Ответ: дом займёт $\frac{1}{5}$ часть площади всего участка.