Номер 7.73, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.3. Основное свойство дроби. Глава 7. Дроби - номер 7.73, страница 145.

7.73 a) Выпишите все правильные дроби со знаменателем 12. Сократите те из них, которые можно сократить.

б) Выпишите все правильные дроби со знаменателем 15. Сократите те из них, которые можно сократить.

а) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель (натуральное число) меньше знаменателя. Следовательно, правильные дроби со знаменателем 12 будут иметь числители от 1 до 11.
Выпишем все такие дроби:
$\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$.
Теперь сократим те дроби, у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и разделим их на него.
$\frac{2}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$ (НОД(2, 12) = 2)
$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$ (НОД(3, 12) = 3)
$\frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$ (НОД(4, 12) = 4)
$\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$ (НОД(6, 12) = 6)
$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$ (НОД(8, 12) = 4)
$\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$ (НОД(9, 12) = 3)
$\frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$ (НОД(10, 12) = 2)
Дроби $\frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \frac{7}{12}, \frac{11}{12}$ являются несократимыми, так как их числители и знаменатель 12 взаимно просты.
Ответ: Все правильные дроби: $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$. Сокращенные дроби: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$; $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$; $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$; $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$; $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$; $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$; $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

б) Правильные дроби со знаменателем 15 будут иметь числители от 1 до 14.
Выпишем все такие дроби:
$\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{3}{15}, \frac{4}{15}, \frac{5}{15}, \frac{6}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{9}{15}, \frac{10}{15}, \frac{11}{15}, \frac{12}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15}$.
Теперь сократим те из них, которые можно сократить.
$\frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}$ (НОД(3, 15) = 3)
$\frac{5}{15} = \frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$ (НОД(5, 15) = 5)
$\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$ (НОД(6, 15) = 3)
$\frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$ (НОД(9, 15) = 3)
$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$ (НОД(10, 15) = 5)
$\frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$ (НОД(12, 15) = 3)
Дроби $\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{4}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{11}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15}$ являются несократимыми.
Ответ: Все правильные дроби: $\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{3}{15}, \frac{4}{15}, \frac{5}{15}, \frac{6}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{9}{15}, \frac{10}{15}, \frac{11}{15}, \frac{12}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15}$. Сокращенные дроби: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$; $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$; $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$; $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$; $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$; $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.