Номер 7.80, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.3. Основное свойство дроби. Глава 7. Дроби - номер 7.80, страница 145.

7.80 АНАЛИЗИРУЕМ И ДОКАЗЫВАЕМ Используя признаки делимости, докажите, что дробь можно сократить, и сократите её:

а) $\frac{312}{384}$;

б) $\frac{333}{1386}$;

в) $\frac{4550}{750}$;

г) $\frac{315}{84}$.

а) $ \frac{312}{384} $

Чтобы доказать, что дробь можно сократить, нужно найти общий делитель для числителя и знаменателя, отличный от 1. Воспользуемся признаками делимости.

Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная. Число 312 оканчивается на 2, а число 384 – на 4. Обе цифры четные, значит, и числитель, и знаменатель делятся на 2. Следовательно, дробь можно сократить.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

• Сумма цифр числителя 312: $3+1+2=6$. $6$ делится на $3$.
• Сумма цифр знаменателя 384: $3+8+4=15$. $15$ делится на $3$.

Так как оба числа делятся и на 2, и на 3, они делятся и на 6. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для 312 и 384, разложив их на простые множители:
$312 = 2 \cdot 156 = 2 \cdot 2 \cdot 78 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 39 = 2^3 \cdot 3 \cdot 13$
$384 = 2 \cdot 192 = 2 \cdot 2 \cdot 96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 48 = 2^4 \cdot 24 = 2^5 \cdot 12 = 2^6 \cdot 6 = 2^7 \cdot 3$
$НОД(312, 384) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{312}{384} = \frac{312 \div 24}{384 \div 24} = \frac{13}{16}$
Ответ: $\frac{13}{16}$

б) $ \frac{333}{1386} $

Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

• Сумма цифр числителя 333: $3+3+3=9$. $9$ делится на $9$.
• Сумма цифр знаменателя 1386: $1+3+8+6=18$. $18$ делится на $9$.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 9, дробь можно сократить. Сократим ее на 9:
$\frac{333}{1386} = \frac{333 \div 9}{1386 \div 9} = \frac{37}{154}$

Число 37 является простым. Проверим, делится ли 154 на 37. $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$. Общих делителей нет, значит, дробь несократима.
Ответ: $\frac{37}{154}$

в) $ \frac{4550}{750} $

Воспользуемся признаком делимости на 10: число делится на 10, если оно оканчивается на 0.
Числитель 4550 и знаменатель 750 оканчиваются на 0, значит, оба числа делятся на 10. Следовательно, дробь можно сократить.

Сократим дробь на 10:
$\frac{4550}{750} = \frac{455}{75}$

Теперь воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Числитель 455 и знаменатель 75 оканчиваются на 5, значит, они делятся на 5.

Сократим дробь еще на 5:
$\frac{455}{75} = \frac{455 \div 5}{75 \div 5} = \frac{91}{15}$

Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $91 = 7 \cdot 13$, $15 = 3 \cdot 5$. Общих множителей нет, дробь несократима.
Ответ: $\frac{91}{15}$

г) $ \frac{315}{84} $

Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

• Сумма цифр числителя 315: $3+1+5=9$. $9$ делится на $3$.
• Сумма цифр знаменателя 84: $8+4=12$. $12$ делится на $3$.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 3, дробь можно сократить. Найдем НОД этих чисел.
Разложим на простые множители:
$315 = 3 \cdot 105 = 3 \cdot 3 \cdot 35 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
$НОД(315, 84) = 3 \cdot 7 = 21$.

Сократим дробь на 21:
$\frac{315}{84} = \frac{315 \div 21}{84 \div 21} = \frac{15}{4}$
Ответ: $\frac{15}{4}$