Номер 7.82, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.3. Основное свойство дроби. Глава 7. Дроби - номер 7.82, страница 145.

7.82 а) $\frac{10 \cdot 11 \cdot 9}{12 \cdot 10 \cdot 11}$;

б) $\frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18}$;

в) $\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30}$;

г) $\frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{24 \cdot 15}$.

а) Чтобы упростить данное выражение, сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби.
$\frac{10 \cdot 11 \cdot 9}{12 \cdot 10 \cdot 11} = \frac{\cancel{10} \cdot \cancel{11} \cdot 9}{12 \cdot \cancel{10} \cdot \cancel{11}} = \frac{9}{12}$
Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель - 3.
$\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Сократим одинаковые множители (14 и 16) в числителе и знаменателе.
$\frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18} = \frac{12 \cdot \cancel{14} \cdot \cancel{16}}{\cancel{14} \cdot \cancel{16} \cdot 18} = \frac{12}{18}$
Сократим дробь $\frac{12}{18}$. Наибольший общий делитель для 12 и 18 - это 6.
$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители и сократим их.
$\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 3}{(2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (5 \cdot 6)} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3}$
Сокращаем одинаковые множители (5 и одну 3):
$\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{3} \cdot 3}{2 \cdot \cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{5} \cdot 2 \cdot 3} = \frac{3}{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3}$
Сокращаем оставшуюся 3:
$\frac{\cancel{3}}{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \cancel{3}} = \frac{1}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{1}{28}$
Ответ: $\frac{1}{28}$

г) Для решения этой задачи представим множители в знаменателе в виде произведения чисел, которые есть в числителе.
$24 = 6 \cdot 4$
$15 = 3 \cdot 5$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{24 \cdot 15} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{(6 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 5)}$
Сократим одинаковые множители (3 и 4):
$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot 25}{6 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot 5} = \frac{25}{6 \cdot 5}$
Теперь сократим 25 и 5 (оба делятся на 5):
$\frac{25}{6 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5 \cdot \cancel{5}}{6 \cdot \cancel{5}} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$