Страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.85 РАССУЖДАЕМ Определите координату точки А (рис. 7.28, а-в).

а)

Для определения координаты точки А на первом рисунке, найдем цену одного деления на координатной прямой. На прямой отмечены точки с координатами 0 и 1. Расстояние между ними составляет $1 - 0 = 1$. Этот отрезок разделен на 7 равных частей. Следовательно, цена одного деления равна $1 \div 7 = \frac{1}{7}$.

Точка А находится на четвертом делении справа от точки 0. Чтобы найти ее координату, умножим цену деления на количество делений от начала отсчета (точки 0):

$x_A = 4 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$.

Координата точки А равна $\frac{4}{7}$.

Ответ: $A(\frac{4}{7})$.

б)

На втором рисунке на координатной прямой отмечены точки -1 и 0. Расстояние между ними равно $0 - (-1) = 1$. Этот отрезок разделен на 5 равных частей. Таким образом, цена одного деления равна $1 \div 5 = \frac{1}{5}$.

Точка А расположена на втором делении слева от точки 0. Так как движение от нуля идет в отрицательном направлении, координата точки А будет отрицательной. Найдем ее значение:

$x_A = 0 - 2 \times \frac{1}{5} = -\frac{2}{5}$.

Координата точки А равна $-\frac{2}{5}$.

Ответ: $A(-\frac{2}{5})$.

в)

На третьем рисунке на координатной прямой отмечены точки 3 и 4. Расстояние между ними равно $4 - 3 = 1$. Этот отрезок разделен на 6 равных частей. Следовательно, цена одного деления составляет $1 \div 6 = \frac{1}{6}$.

Точка А находится на пятом делении справа от точки 3. Чтобы найти ее координату, к координате начальной точки (3) прибавим произведение цены деления на количество делений от этой точки:

$x_A = 3 + 5 \times \frac{1}{6} = 3 + \frac{5}{6} = 3\frac{5}{6}$.

Координата точки А равна $3\frac{5}{6}$.

Ответ: $A(3\frac{5}{6})$.

7.86 Найдите сумму:

а) $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2$.

б) $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3$.

а) $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2$

Для нахождения суммы необходимо сначала возвести каждое число в квадрат, а затем сложить полученные результаты.

1. Вычислим квадраты чисел от 1 до 5:

$1^2 = 1 \times 1 = 1$

$2^2 = 2 \times 2 = 4$

$3^2 = 3 \times 3 = 9$

$4^2 = 4 \times 4 = 16$

$5^2 = 5 \times 5 = 25$

2. Теперь сложим полученные значения:

$1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 5 + 9 + 16 + 25 = 14 + 16 + 25 = 30 + 25 = 55$

Также можно воспользоваться формулой суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел: $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. В нашем случае $n=5$: $S_5 = \frac{5(5+1)(2 \cdot 5+1)}{6} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 5 \cdot 11 = 55$.

Ответ: 55

б) $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3$

Для нахождения суммы необходимо сначала возвести каждое число в куб, а затем сложить полученные результаты.

1. Вычислим кубы чисел от 1 до 5:

$1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$

$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$

2. Теперь сложим полученные значения:

$1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 9 + 27 + 64 + 125 = 36 + 64 + 125 = 100 + 125 = 225$

Также можно воспользоваться формулой суммы кубов первых $n$ натуральных чисел: $S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$. В нашем случае $n=5$: $S_5 = \left(\frac{5(5+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = \left(\frac{30}{2}\right)^2 = 15^2 = 225$.

Ответ: 225

7.87 а) Над выполнением задания токарь работал 3 ч, а потом его ученик – 2 ч. Всего они выточили 108 деталей. Токарь вытачивал в час 26 деталей. Сколько деталей в час вытачивал ученик?

б) Два мастера работают на фабрике ёлочных украшений. Один из них работал 12 дней по 7 ч, другой – 10 дней по 8 ч, и вместе они расписали 2880 ёлочных шаров. Сколько шаров в час расписывал первый мастер, если второй расписывал 15 шаров в час?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1) Найдем, сколько деталей выточил токарь за 3 часа. Для этого умножим его производительность (количество деталей в час) на время работы:

$26 \text{ деталей/час} \times 3 \text{ ч} = 78 \text{ деталей}$

2) Вычислим, сколько деталей выточил ученик. Для этого из общего количества деталей вычтем количество деталей, изготовленных токарем:

$108 \text{ деталей} - 78 \text{ деталей} = 30 \text{ деталей}$

3) Теперь определим, сколько деталей в час вытачивал ученик. Для этого разделим количество сделанных им деталей на время его работы (2 часа):

$30 \text{ деталей} : 2 \text{ ч} = 15 \text{ деталей/час}$

Ответ: 15 деталей в час.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1) Сначала найдем общее количество часов, отработанных каждым мастером.

Время работы первого мастера: $12 \text{ дней} \times 7 \text{ ч/день} = 84 \text{ часа}$

Время работы второго мастера: $10 \text{ дней} \times 8 \text{ ч/день} = 80 \text{ часов}$

2) Узнаем, сколько шаров расписал второй мастер, зная его производительность (15 шаров в час) и общее время работы:

$15 \text{ шаров/час} \times 80 \text{ часов} = 1200 \text{ шаров}$

3) Найдем, сколько шаров расписал первый мастер. Для этого из общего количества расписанных шаров вычтем количество, которое расписал второй мастер:

$2880 \text{ шаров} - 1200 \text{ шаров} = 1680 \text{ шаров}$

4) Теперь можем найти производительность первого мастера. Разделим количество расписанных им шаров на его общее время работы:

$1680 \text{ шаров} : 84 \text{ часа} = 20 \text{ шаров/час}$

Ответ: 20 шаров в час.

7.88 a) Начертите треугольник, один из углов которого прямой. Измерьте и запишите длины сторон треугольника. Что больше: самая большая сторона треугольника или сумма двух других его сторон? Найдите периметр треугольника.

б) Начертите треугольник, один из углов которого тупой, и выполните те же задания, что и в пункте «а».

$C$

$D$

$90^\circ$

а)

1. Начертим прямоугольный треугольник, например, $ABC$, в котором угол $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$).

2. Измерим его стороны. Поскольку начертить и измерить физически невозможно, возьмем для примера конкретные значения. Пусть длины сторон, образующих прямой угол (катетов), равны $AC = 3$ см и $BC = 4$ см. Тогда самая длинная сторона (гипотенуза) $AB$ будет равна $5$ см (согласно теореме Пифагора, $3^2 + 4^2 = 5^2$).

3. Сравним самую большую сторону с суммой двух других.
Самая большая сторона: $AB = 5$ см.
Сумма двух других сторон: $AC + BC = 3 + 4 = 7$ см.
Сравнивая, получаем, что $7 \text{ см} > 5 \text{ см}$. Таким образом, сумма двух других сторон больше, чем самая большая сторона.

4. Найдем периметр треугольника. Периметр $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = AC + BC + AB = 3 + 4 + 5 = 12$ см.

Ответ: длины сторон могут быть, например, 3 см, 4 см и 5 см; сумма двух меньших сторон (7 см) больше самой большой стороны (5 см); периметр равен 12 см.

б)

1. Начертим тупоугольный треугольник, например, $DEF$, в котором угол $E$ — тупой (то есть $\angle E > 90^\circ$).

2. Измерим его стороны. Возьмем для примера треугольник со сторонами $DE = 5$ см, $EF = 6$ см и стороной $DF$, лежащей напротив тупого угла, равной $10$ см. Такая сторона будет самой длинной в треугольнике.

3. Сравним самую большую сторону с суммой двух других.
Самая большая сторона: $DF = 10$ см.
Сумма двух других сторон: $DE + EF = 5 + 6 = 11$ см.
Сравнивая, получаем, что $11 \text{ см} > 10 \text{ см}$. Как и в случае с прямоугольным треугольником, сумма двух других сторон больше, чем самая большая сторона. Это общее свойство для всех существующих треугольников, известное как неравенство треугольника.

4. Найдем периметр треугольника. Периметр $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = DE + EF + DF = 5 + 6 + 10 = 21$ см.

Ответ: длины сторон могут быть, например, 5 см, 6 см и 10 см; сумма двух меньших сторон (11 см) больше самой большой стороны (10 см); периметр равен 21 см.

7.89 РАССУЖДАЕМ

На рисунке 7.29 угол $COD$ прямой, а $\angle AOC = \angle BOD$. Найдите величину угла $AOC$ и угла $COB$.

Рис. 7.29

На рисунке изображён развёрнутый угол AOB, так как точки A, O и B лежат на одной прямой. Величина развёрнутого угла составляет 180°.

Этот угол состоит из трёх углов: $∠AOC$, $∠COD$ и $∠BOD$. Следовательно, их сумма равна 180°:

$∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 180°$

Из условия задачи нам известно, что угол COD — прямой, то есть $∠COD = 90°$, а также, что углы AOC и BOD равны, то есть $∠AOC = ∠BOD$.

Для нахождения величины угла AOC воспользуемся составленным ранее уравнением. Обозначим искомый угол $∠AOC$ (а также равный ему $∠BOD$) как $x$.

Подставим все известные значения в уравнение:

$x + 90° + x = 180°$

Приведём подобные слагаемые и решим уравнение:

$2x + 90° = 180°$

$2x = 180° - 90°$

$2x = 90°$

$x = \frac{90°}{2}$

$x = 45°$

Таким образом, величина угла AOC составляет 45°.

Ответ: $∠AOC = 45°$.

Угол COB состоит из двух углов: $∠COD$ и $∠BOD$.

$∠COB = ∠COD + ∠BOD$

Мы знаем, что $∠COD = 90°$. Величину угла $∠BOD$ мы нашли на предыдущем шаге, она равна $x$, то есть $∠BOD = 45°$.

Подставим значения и вычислим:

$∠COB = 90° + 45°$

$∠COB = 135°$

В качестве проверки можно использовать тот факт, что углы AOC и COB являются смежными, а значит их сумма равна 180°:

$∠AOC + ∠COB = 45° + 135° = 180°$

Равенство выполняется, значит, решение верное.

Ответ: $∠COB = 135°$.