Страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.108 Определите, правильной или неправильной является каждая дробь, и сравните её с 1:

$ \frac{5}{9} $, $ \frac{4}{3} $, $ \frac{15}{8} $, $ \frac{8}{31} $, $ \frac{73}{100} $, $ \frac{36}{35} $

Чтобы определить, является ли дробь правильной или неправильной, и сравнить её с единицей, необходимо сравнить числитель (число над чертой) и знаменатель (число под чертой) дроби.

• Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная и она всегда меньше 1.
• Если числитель дроби больше или равен знаменателю, то дробь неправильная и она всегда больше или равна 1.

Рассмотрим каждую дробь:

В дроби $ \frac{5}{9} $ числитель 5 меньше знаменателя 9 ($ 5 < 9 $). Следовательно, эта дробь является правильной. Любая правильная дробь меньше единицы.

Ответ: правильная, $ \frac{5}{9} < 1 $.

В дроби $ \frac{4}{3} $ числитель 4 больше знаменателя 3 ($ 4 > 3 $). Следовательно, эта дробь является неправильной. Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, всегда больше единицы.

Ответ: неправильная, $ \frac{4}{3} > 1 $.

В дроби $ \frac{15}{8} $ числитель 15 больше знаменателя 8 ($ 15 > 8 $). Следовательно, эта дробь является неправильной. А любая неправильная дробь, у которой числитель не равен знаменателю, больше единицы.

Ответ: неправильная, $ \frac{15}{8} > 1 $.

В дроби $ \frac{8}{31} $ числитель 8 меньше знаменателя 31 ($ 8 < 31 $). Следовательно, эта дробь является правильной. Правильные дроби всегда меньше единицы.

Ответ: правильная, $ \frac{8}{31} < 1 $.

В дроби $ \frac{73}{100} $ числитель 73 меньше знаменателя 100 ($ 73 < 100 $). Следовательно, эта дробь является правильной. Правильные дроби всегда меньше единицы.

Ответ: правильная, $ \frac{73}{100} < 1 $.

В дроби $ \frac{36}{35} $ числитель 36 больше знаменателя 35 ($ 36 > 35 $). Следовательно, эта дробь является неправильной. Неправильные дроби (кроме тех, где числитель равен знаменателю) всегда больше единицы.

Ответ: неправильная, $ \frac{36}{35} > 1 $.

7.109 Сравните:

а) $ \frac{3}{7} $ и 1;

б) $ \frac{5}{2} $ и 1;

в) 1 и $ \frac{11}{12} $;

г) $ \frac{12}{11} $ и $ \frac{11}{12} $;

д) $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{7}{3} $;

е) $ \frac{99}{100} $ и $ \frac{3}{2} $.

a) Чтобы сравнить дробь с единицей, необходимо сравнить её числитель и знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы. В дроби $\frac{3}{7}$ числитель $3$ меньше знаменателя $7$. Следовательно, $\frac{3}{7} < 1$.
Ответ: $\frac{3}{7} < 1$.

б) Если числитель дроби больше знаменателя, то дробь больше единицы. В дроби $\frac{5}{2}$ числитель $5$ больше знаменателя $2$. Следовательно, $\frac{5}{2} > 1$.
Ответ: $\frac{5}{2} > 1$.

в) Сравним $1$ и дробь $\frac{11}{12}$. В дроби $\frac{11}{12}$ числитель $11$ меньше знаменателя $12$, значит, эта дробь меньше единицы. Следовательно, $1 > \frac{11}{12}$.
Ответ: $1 > \frac{11}{12}$.

г) Для сравнения дробей $\frac{12}{11}$ и $\frac{11}{12}$ можно сравнить каждую из них с единицей. Дробь $\frac{12}{11}$ является неправильной, так как её числитель $12$ больше знаменателя $11$, поэтому $\frac{12}{11} > 1$. Дробь $\frac{11}{12}$ является правильной, так как её числитель $11$ меньше знаменателя $12$, поэтому $\frac{11}{12} < 1$. Так как $\frac{12}{11}$ больше единицы, а $\frac{11}{12}$ меньше единицы, то $\frac{12}{11} > \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{12}{11} > \frac{11}{12}$.

д) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{3}$. Дробь $\frac{3}{7}$ является правильной ($3 < 7$), поэтому она меньше единицы: $\frac{3}{7} < 1$. Дробь $\frac{7}{3}$ является неправильной ($7 > 3$), поэтому она больше единицы: $\frac{7}{3} > 1$. Следовательно, $\frac{3}{7} < \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{3}{7} < \frac{7}{3}$.

е) Сравним дроби $\frac{99}{100}$ и $\frac{3}{2}$. Дробь $\frac{99}{100}$ правильная, так как $99 < 100$, значит $\frac{99}{100} < 1$. Дробь $\frac{3}{2}$ неправильная, так как $3 > 2$, значит $\frac{3}{2} > 1$. Так как одна дробь меньше единицы, а другая больше единицы, то $\frac{99}{100} < \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{99}{100} < \frac{3}{2}$.

7.110 Запишите дробь, равную $\frac{1}{2}$, меньшую $\frac{1}{2}$ и большую $\frac{1}{2}$, со знаменателем:

а) 10;

б) 12;

в) 50;

г) 8.

Общий принцип для решения этой задачи заключается в следующем: чтобы найти дробь с заданным знаменателем, которая равна, меньше или больше $ \frac{1}{2} $, мы сначала находим, какой числитель соответствует дроби, равной $ \frac{1}{2} $. Этот числитель будет равен половине знаменателя. Дробь с тем же знаменателем будет меньше $ \frac{1}{2} $, если ее числитель меньше найденного, и больше $ \frac{1}{2} $, если ее числитель больше найденного.

а) Со знаменателем 10.

1. Дробь, равная $ \frac{1}{2} $: Чтобы привести дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 10, нужно умножить ее числитель и знаменатель на 5.$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} $.Таким образом, дробь, равная $ \frac{1}{2} $ со знаменателем 10, это $ \frac{5}{10} $.

2. Дробь, меньшая $ \frac{1}{2} $: Такая дробь должна иметь числитель меньше 5. Можно выбрать любое целое число от 0 до 4. Возьмем, например, 4. Получим дробь $ \frac{4}{10} $. Действительно, $ \frac{4}{10} < \frac{5}{10} $.

3. Дробь, большая $ \frac{1}{2} $: Такая дробь должна иметь числитель больше 5. Можно выбрать любое целое число от 6 до 10. Возьмем, например, 6. Получим дробь $ \frac{6}{10} $. Действительно, $ \frac{6}{10} > \frac{5}{10} $.

Ответ: равная $ \frac{1}{2} $ — $ \frac{5}{10} $; меньшая $ \frac{1}{2} $ — например, $ \frac{4}{10} $; большая $ \frac{1}{2} $ — например, $ \frac{6}{10} $.

б) Со знаменателем 12.

1. Дробь, равная $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть равен половине знаменателя: $ 12 \div 2 = 6 $. Значит, искомая дробь — $ \frac{6}{12} $.

2. Дробь, меньшая $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть меньше 6. Например, 5. Получаем дробь $ \frac{5}{12} $.

3. Дробь, большая $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть больше 6. Например, 7. Получаем дробь $ \frac{7}{12} $.

Ответ: равная $ \frac{1}{2} $ — $ \frac{6}{12} $; меньшая $ \frac{1}{2} $ — например, $ \frac{5}{12} $; большая $ \frac{1}{2} $ — например, $ \frac{7}{12} $.

в) Со знаменателем 50.

1. Дробь, равная $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть равен $ 50 \div 2 = 25 $. Искомая дробь — $ \frac{25}{50} $.

2. Дробь, меньшая $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть меньше 25. Например, 24. Получаем дробь $ \frac{24}{50} $.

3. Дробь, большая $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть больше 25. Например, 26. Получаем дробь $ \frac{26}{50} $.

Ответ: равная $ \frac{1}{2} $ — $ \frac{25}{50} $; меньшая $ \frac{1}{2} $ — например, $ \frac{24}{50} $; большая $ \frac{1}{2} $ — например, $ \frac{26}{50} $.

г) Со знаменателем 8.

1. Дробь, равная $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть равен $ 8 \div 2 = 4 $. Искомая дробь — $ \frac{4}{8} $.

2. Дробь, меньшая $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть меньше 4. Например, 3. Получаем дробь $ \frac{3}{8} $.

3. Дробь, большая $ \frac{1}{2} $: Числитель должен быть больше 4. Например, 5. Получаем дробь $ \frac{5}{8} $.

Ответ: равная $ \frac{1}{2} $ — $ \frac{4}{8} $; меньшая $ \frac{1}{2} $ — например, $ \frac{3}{8} $; большая $ \frac{1}{2} $ — например, $ \frac{5}{8} $.

7.111 Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, равный 14 клеткам). Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь $\frac{1}{2}$. Какие из отмеченных чисел меньше $\frac{1}{2}$? больше $\frac{1}{2}$?

Для решения задачи сначала начертим координатную прямую. Возьмем за единичный отрезок отрезок длиной 14 клеток. Начало отрезка — точка 0, конец — точка 1.

Далее нужно найти все правильные дроби со знаменателем 7. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Для знаменателя 7 возможные натуральные числители — это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Таким образом, получаем дроби: $ \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} $. Также по условию нужно отметить дробь $ \frac{1}{2} $.

Чтобы отметить эти дроби на координатной прямой, найдем их положение в клетках от точки 0. Так как единичный отрезок равен 14 клеткам, то для нахождения положения каждой дроби нужно умножить ее значение на 14:

• Положение $ \frac{1}{7} $: $ \frac{1}{7} \times 14 = 2 $ клетки от 0.
• Положение $ \frac{2}{7} $: $ \frac{2}{7} \times 14 = 4 $ клетки от 0.
• Положение $ \frac{3}{7} $: $ \frac{3}{7} \times 14 = 6 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{4}{7} $: $ \frac{4}{7} \times 14 = 8 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{5}{7} $: $ \frac{5}{7} \times 14 = 10 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{6}{7} $: $ \frac{6}{7} \times 14 = 12 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{1}{2} $: $ \frac{1}{2} \times 14 = 7 $ клеток от 0.

Теперь, когда все точки отмечены, мы можем сравнить их с дробью $ \frac{1}{2} $. Точки, расположенные на координатной прямой левее точки $ \frac{1}{2} $ (которая находится на 7-й клетке), соответствуют числам, которые меньше $ \frac{1}{2} $. Точки, расположенные правее, соответствуют числам, которые больше $ \frac{1}{2} $.

Для аналитического сравнения приведем дроби к общему знаменателю 14.

$ \frac{1}{2} = \frac{7}{14} $

$ \frac{1}{7}=\frac{2}{14}; \frac{2}{7}=\frac{4}{14}; \frac{3}{7}=\frac{6}{14}; \frac{4}{7}=\frac{8}{14}; \frac{5}{7}=\frac{10}{14}; \frac{6}{7}=\frac{12}{14} $

Какие из отмеченных чисел меньше $ \frac{1}{2} $?

Сравниваем дроби с $ \frac{7}{14} $. Меньшими будут те, у которых числитель меньше 7.

$ \frac{2}{14} < \frac{7}{14} \implies \frac{1}{7} < \frac{1}{2} $

$ \frac{4}{14} < \frac{7}{14} \implies \frac{2}{7} < \frac{1}{2} $

$ \frac{6}{14} < \frac{7}{14} \implies \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $

Эти числа на координатной прямой находятся на 2-й, 4-й и 6-й клетках, что левее 7-й клетки, где расположена $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7} $.

Какие из отмеченных чисел больше $ \frac{1}{2} $?

Сравниваем дроби с $ \frac{7}{14} $. Большими будут те, у которых числитель больше 7.

$ \frac{8}{14} > \frac{7}{14} \implies \frac{4}{7} > \frac{1}{2} $

$ \frac{10}{14} > \frac{7}{14} \implies \frac{5}{7} > \frac{1}{2} $

$ \frac{12}{14} > \frac{7}{14} \implies \frac{6}{7} > \frac{1}{2} $

Эти числа на координатной прямой находятся на 8-й, 10-й и 12-й клетках, что правее 7-й клетки, где расположена $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} $.

7.112 Даны дроби: $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{5}{7}$.

Выпишите те из них, которые больше $\frac{1}{2}$.

Чтобы определить, какие из данных дробей больше $ \frac{1}{2} $, необходимо сравнить каждую из них с $ \frac{1}{2} $.

Дробь $ \frac{a}{b} $ будет больше $ \frac{1}{2} $, если ее числитель $a$ больше половины ее знаменателя $b$. Это можно проверить с помощью правила перекрестного умножения: сравним $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{1}{2} $. Дробь $ \frac{a}{b} > \frac{1}{2} $, если $ a \cdot 2 > b \cdot 1 $, то есть $ 2a > b $.

Применим это правило к каждой дроби:

• Для дроби $ \frac{2}{3} $: проверяем неравенство $ 2 \cdot 2 > 3 $. Получаем $ 4 > 3 $. Неравенство верное, значит $ \frac{2}{3} > \frac{1}{2} $.
• Для дроби $ \frac{3}{4} $: проверяем неравенство $ 2 \cdot 3 > 4 $. Получаем $ 6 > 4 $. Неравенство верное, значит $ \frac{3}{4} > \frac{1}{2} $.
• Для дроби $ \frac{3}{8} $: проверяем неравенство $ 2 \cdot 3 > 8 $. Получаем $ 6 > 8 $. Неравенство неверное, значит $ \frac{3}{8} < \frac{1}{2} $.
• Для дроби $ \frac{5}{8} $: проверяем неравенство $ 2 \cdot 5 > 8 $. Получаем $ 10 > 8 $. Неравенство верное, значит $ \frac{5}{8} > \frac{1}{2} $.
• Для дроби $ \frac{3}{7} $: проверяем неравенство $ 2 \cdot 3 > 7 $. Получаем $ 6 > 7 $. Неравенство неверное, значит $ \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $.
• Для дроби $ \frac{5}{7} $: проверяем неравенство $ 2 \cdot 5 > 7 $. Получаем $ 10 > 7 $. Неравенство верное, значит $ \frac{5}{7} > \frac{1}{2} $.

Таким образом, мы выписываем все дроби, для которых неравенство оказалось верным.

Ответ: $ \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{7} $.

7.113 РАССУЖДАЕМ

a) Даны дроби: $\frac{15}{20}$, $\frac{4}{16}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{10}{8}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{5}{6}$. Выпишите те из них, которые больше $\frac{3}{4}$. Объясните, как вы рассуждали.

б) Даны дроби: $\frac{1}{5}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{7}{12}$. Выпишите те из них, которые меньше $\frac{2}{3}$. Объясните, как вы рассуждали.

а)

Чтобы определить, какие из данных дробей больше $\frac{3}{4}$, сравним каждую из них с этой дробью. Для сравнения можно приводить дроби к общему знаменателю, преобразовывать в десятичные дроби или использовать другие логические приемы.

• Сравним $\frac{15}{20}$ и $\frac{3}{4}$. Сократим дробь $\frac{15}{20}$, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$. Дроби равны, значит, $\frac{15}{20}$ не больше $\frac{3}{4}$.
• Сравним $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{4}$. Сократим дробь $\frac{4}{16}$, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$. Так как $1 < 3$, то $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$.
• Сравним $\frac{7}{10}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 20. $\frac{7}{10} = \frac{7 \times 2}{10 \times 2} = \frac{14}{20}$, а $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$. Так как $14 < 15$, то $\frac{14}{20} < \frac{15}{20}$, следовательно, $\frac{7}{10} < \frac{3}{4}$.
• Сравним $\frac{10}{8}$ и $\frac{3}{4}$. Дробь $\frac{10}{8}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя, значит, она больше 1. Дробь $\frac{3}{4}$ правильная, она меньше 1. Следовательно, $\frac{10}{8} > \frac{3}{4}$.
• Сравним $\frac{3}{7}$ и $\frac{3}{4}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $7 > 4$, то $\frac{3}{7} < \frac{3}{4}$.
• Сравним $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12. $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$, а $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$. Так как $10 > 9$, то $\frac{10}{12} > \frac{9}{12}$, следовательно, $\frac{5}{6} > \frac{3}{4}$.

Таким образом, дроби, которые больше $\frac{3}{4}$, это $\frac{10}{8}$ и $\frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{10}{8}$, $\frac{5}{6}$.

б)

Чтобы определить, какие из данных дробей меньше $\frac{2}{3}$, сравним каждую из них с этой дробью. Основной способ — приведение к общему знаменателю.

• Сравним $\frac{1}{5}$ и $\frac{2}{3}$. Общий знаменатель — 15. $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$, а $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$. Так как $3 < 10$, то $\frac{3}{15} < \frac{10}{15}$, следовательно, $\frac{1}{5} < \frac{2}{3}$.
• Сравним $\frac{6}{9}$ и $\frac{2}{3}$. Сократим дробь $\frac{6}{9}$, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$. Дроби равны, значит, $\frac{6}{9}$ не меньше $\frac{2}{3}$.
• Сравним $\frac{9}{10}$ и $\frac{2}{3}$. Общий знаменатель — 30. $\frac{9}{10} = \frac{9 \times 3}{10 \times 3} = \frac{27}{30}$, а $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}$. Так как $27 > 20$, то $\frac{27}{30} > \frac{20}{30}$, следовательно, $\frac{9}{10} > \frac{2}{3}$.
• Сравним $\frac{7}{12}$ и $\frac{2}{3}$. Общий знаменатель — 12. $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$. Так как $7 < 8$, то $\frac{7}{12} < \frac{8}{12}$, следовательно, $\frac{7}{12} < \frac{2}{3}$.

Таким образом, дроби, которые меньше $\frac{2}{3}$, это $\frac{1}{5}$ и $\frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$, $\frac{7}{12}$.

7.114 Запишите дроби в том порядке, как они расположены на координатной прямой:

а) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$

б) $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{12}$

Чтобы записать дроби в том порядке, как они расположены на координатной прямой, их необходимо расположить в порядке возрастания (от меньшей к большей).

Для сравнения дробей с одинаковыми числителями используется правило: из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше.

а) Даны дроби $ \frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3} $.

Все числители равны 1. Сравним знаменатели: $ 5 > 4 > 3 > 2 $.

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Следовательно, в порядке возрастания дроби располагаются следующим образом:

$ \frac{1}{5} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} $

Порядок дробей на координатной прямой: $ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} $

б) Даны дроби $ \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{12} $.

Все числители также равны 1. Сравним знаменатели: $ 12 > 6 > 5 > 3 $.

Применяя то же правило, расположим дроби в порядке возрастания:

$ \frac{1}{12} < \frac{1}{6} < \frac{1}{5} < \frac{1}{3} $

Порядок дробей на координатной прямой: $ \frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3} $

7.115 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1) Запишите все дроби со знаменателем 24, которые расположены между числами $1/3$ и $1/2$.

2) Найдите какое-нибудь число, расположенное между числами:

a) $3/5$ и $4/5$;

б) $1/4$ и $1/3$.

1) Чтобы найти все дроби со знаменателем 24, которые расположены между числами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$, необходимо привести эти два числа к общему знаменателю 24.

Приводим дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 24, для этого умножаем её числитель и знаменатель на 8:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24}$

Приводим дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 24, для этого умножаем её числитель и знаменатель на 12:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}$

Теперь задача сводится к поиску всех дробей со знаменателем 24, которые находятся в интервале от $\frac{8}{24}$ до $\frac{12}{24}$. Запишем это в виде неравенства: $\frac{8}{24} < \frac{x}{24} < \frac{12}{24}$.

Поскольку знаменатели одинаковы, нам нужно найти все целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $8 < x < 12$.

Этому условию удовлетворяют числа 9, 10 и 11.

Таким образом, искомые дроби: $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$, $\frac{11}{24}$.

Ответ: $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$, $\frac{11}{24}$.

2)

а) Чтобы найти число, расположенное между дробями $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$, можно увеличить их знаменатель, чтобы "создать" промежуток между числителями. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10}$

Теперь легко увидеть, что между дробями $\frac{6}{10}$ и $\frac{8}{10}$ находится дробь $\frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$.

б) Чтобы найти число, расположенное между $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12. Получаем дроби $\frac{3}{12}$ и $\frac{4}{12}$.

Между числителями 3 и 4 нет целых чисел, поэтому выберем знаменатель побольше, который будет кратен 12, например, 24.

Приведем исходные дроби к знаменателю 24:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24}$

Теперь мы ищем число между $\frac{6}{24}$ и $\frac{8}{24}$. Таким числом является, например, $\frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.

7.116 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Найдите несколько чисел, которые можно подставить вместо $k$ и получить верное двойное неравенство:

а) $\frac{1}{6} < k < \frac{1}{5}$;

б) $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$;

Сколько существует таких чисел?

Чтобы найти числа $k$, которые удовлетворяют неравенству $\frac{1}{6} < k < \frac{1}{5}$, нужно найти дроби, которые находятся между этими двумя значениями. Для этого удобно привести исходные дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 5 — это 30.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$
Таким образом, неравенство принимает вид: $\frac{5}{30} < k < \frac{6}{30}$.
Чтобы найти дробь между $\frac{5}{30}$ и $\frac{6}{30}$, можно увеличить знаменатель, умножив числитель и знаменатель обеих дробей на одно и то же натуральное число, большее 1.
Например, умножим на 2:
$\frac{5 \cdot 2}{30 \cdot 2} < k < \frac{6 \cdot 2}{30 \cdot 2} \Rightarrow \frac{10}{60} < k < \frac{12}{60}$.
Из этого неравенства видно, что в качестве $k$ можно взять число $\frac{11}{60}$.
Если умножить на 3, получим:
$\frac{5 \cdot 3}{30 \cdot 3} < k < \frac{6 \cdot 3}{30 \cdot 3} \Rightarrow \frac{15}{90} < k < \frac{18}{90}$.
В этом случае в качестве $k$ можно взять числа $\frac{16}{90}$ (что равно $\frac{8}{45}$) и $\frac{17}{90}$.
Процесс увеличения знаменателя можно продолжать бесконечно, находя все новые и новые числа. Это означает, что существует бесконечно много таких чисел.
Ответ: например, $\frac{11}{60}$, $\frac{8}{45}$, $\frac{17}{90}$. Существует бесконечно много таких чисел.

Рассмотрим неравенство $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$. Знаменатели у дробей уже одинаковы. Чтобы найти числа между ними, увеличим знаменатель, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Умножим на 2:
$\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} < k < \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} \Rightarrow \frac{6}{14} < k < \frac{8}{14}$.
Отсюда можно взять $k = \frac{7}{14}$, что равно $\frac{1}{2}$.
Умножим на 3:
$\frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} < k < \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} \Rightarrow \frac{9}{21} < k < \frac{12}{21}$.
Из этого неравенства можно взять $k = \frac{10}{21}$ и $k = \frac{11}{21}$.
Поскольку мы можем неограниченно увеличивать знаменатель, мы можем найти бесконечно много дробей, расположенных между $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{7}$. Следовательно, существует бесконечно много таких чисел $k$.
Ответ: например, $\frac{1}{2}$, $\frac{10}{21}$, $\frac{11}{21}$. Существует бесконечно много таких чисел.