Номер 7.116, страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.5. Сравнение дробей. Глава 7. Дроби - номер 7.116, страница 153.

7.116 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Найдите несколько чисел, которые можно подставить вместо $k$ и получить верное двойное неравенство:

а) $\frac{1}{6} < k < \frac{1}{5}$;

б) $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$;

Сколько существует таких чисел?

а)

Чтобы найти числа $k$, которые удовлетворяют неравенству $\frac{1}{6} < k < \frac{1}{5}$, нужно найти дроби, которые находятся между этими двумя значениями. Для этого удобно привести исходные дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 5 — это 30.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$
Таким образом, неравенство принимает вид: $\frac{5}{30} < k < \frac{6}{30}$.
Чтобы найти дробь между $\frac{5}{30}$ и $\frac{6}{30}$, можно увеличить знаменатель, умножив числитель и знаменатель обеих дробей на одно и то же натуральное число, большее 1.
Например, умножим на 2:
$\frac{5 \cdot 2}{30 \cdot 2} < k < \frac{6 \cdot 2}{30 \cdot 2} \Rightarrow \frac{10}{60} < k < \frac{12}{60}$.
Из этого неравенства видно, что в качестве $k$ можно взять число $\frac{11}{60}$.
Если умножить на 3, получим:
$\frac{5 \cdot 3}{30 \cdot 3} < k < \frac{6 \cdot 3}{30 \cdot 3} \Rightarrow \frac{15}{90} < k < \frac{18}{90}$.
В этом случае в качестве $k$ можно взять числа $\frac{16}{90}$ (что равно $\frac{8}{45}$) и $\frac{17}{90}$.
Процесс увеличения знаменателя можно продолжать бесконечно, находя все новые и новые числа. Это означает, что существует бесконечно много таких чисел.
Ответ: например, $\frac{11}{60}$, $\frac{8}{45}$, $\frac{17}{90}$. Существует бесконечно много таких чисел.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{3}{7} < k < \frac{4}{7}$. Знаменатели у дробей уже одинаковы. Чтобы найти числа между ними, увеличим знаменатель, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Умножим на 2:
$\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} < k < \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} \Rightarrow \frac{6}{14} < k < \frac{8}{14}$.
Отсюда можно взять $k = \frac{7}{14}$, что равно $\frac{1}{2}$.
Умножим на 3:
$\frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} < k < \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} \Rightarrow \frac{9}{21} < k < \frac{12}{21}$.
Из этого неравенства можно взять $k = \frac{10}{21}$ и $k = \frac{11}{21}$.
Поскольку мы можем неограниченно увеличивать знаменатель, мы можем найти бесконечно много дробей, расположенных между $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{7}$. Следовательно, существует бесконечно много таких чисел $k$.
Ответ: например, $\frac{1}{2}$, $\frac{10}{21}$, $\frac{11}{21}$. Существует бесконечно много таких чисел.