Номер 7.119, страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.5. Сравнение дробей. Глава 7. Дроби - номер 7.119, страница 154.

7.119 Определите, какая из дробей $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{6}{5}$ самая маленькая; самая большая. Расскажите, как вы рассуждали.

Чтобы определить, какая из дробей $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{4}{9}, \frac{6}{5}$ самая маленькая, а какая — самая большая, необходимо их сравнить. Для этого мы проанализируем каждую дробь и при необходимости приведем их к общему знаменателю.

самая маленькая

Для нахождения самой маленькой дроби сначала определим, какие из них меньше 1. Дроби, у которых числитель меньше знаменателя (правильные дроби), меньше 1. К таким дробям относятся $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$. Дробь $\frac{6}{5}$ больше 1, поэтому она не может быть самой маленькой.

Теперь сравним между собой правильные дроби: $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$. Для этого приведем их к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 6 и 9. Разложим их на простые множители: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. НОК(4, 6, 9) равен произведению наибольших степеней всех простых множителей: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 36. Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель $36 \div 4 = 9$, получаем $\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}$. Для дроби $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель $36 \div 6 = 6$, получаем $\frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}$. Для дроби $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель $36 \div 9 = 4$, получаем $\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{27}{36}, \frac{30}{36}$ и $\frac{16}{36}$. Из дробей с одинаковым знаменателем меньше та, у которой меньше числитель. Сравнивая числители $16, 27$ и $30$, видим, что $16 < 27 < 30$.

Это означает, что $\frac{16}{36} < \frac{27}{36} < \frac{30}{36}$, и, следовательно, $\frac{4}{9} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

Таким образом, самая маленькая дробь из всех предложенных — это $\frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

самая большая

Чтобы найти самую большую дробь, снова воспользуемся сравнением с единицей. Как мы уже определили, дроби $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$ являются правильными, а значит, они все меньше 1.

Дробь $\frac{6}{5}$ является неправильной, так как ее числитель (6) больше знаменателя (5). Ее значение можно записать в виде смешанного числа $1\frac{1}{5}$, что очевидно больше 1.

Поскольку дробь $\frac{6}{5}$ — единственная из представленных, которая больше 1, она является самой большой.

Ответ: $\frac{6}{5}$