Страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.117 a) Найдите несколько чисел, которые меньше $ \frac{1}{20} $. Сколько существует таких чисел?

б) Найдите несколько чисел, которые больше $ \frac{99}{100} $, но меньше 1. Сколько существует таких чисел?

а) Нам нужно найти числа, которые меньше дроби $\frac{1}{20}$. Для удобства переведём эту дробь в десятичную: $\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 0.05$. Таким образом, мы ищем числа, которые меньше $0.05$.

Примеры таких чисел:

• Любое отрицательное число, например, $-5$ или $-0.1$.
• Число $0$.
• Положительная дробь с большим знаменателем, например, $\frac{1}{21}$ или $\frac{1}{100}$.
• Положительная десятичная дробь, которая меньше $0.05$, например, $0.04$ или $0.01$.

Между любыми двумя различными числами всегда можно найти бесконечно много других чисел. Например, мы можем взять числа $0.04, 0.041, 0.0411, \ldots$ и так далее. Также все отрицательные числа, которых бесконечно много, меньше $\frac{1}{20}$. Следовательно, существует бесконечное множество чисел, которые меньше $\frac{1}{20}$.

Ответ: Например, числа $0$, $\frac{1}{30}$, $0.02$. Существует бесконечно много таких чисел.

б) Нам нужно найти числа, которые больше $\frac{99}{100}$ и одновременно меньше $1$. В виде десятичных дробей это означает, что число должно быть в интервале от $0.99$ до $1$.

Примеры таких чисел:

• Десятичные дроби, например, $0.991$, $0.995$, $0.999$.
• Обыкновенные дроби. Мы можем найти число, находящееся посередине между $\frac{99}{100}$ и $1$. Для этого найдем их среднее арифметическое: $(\frac{99}{100} + 1) \div 2 = (\frac{99}{100} + \frac{100}{100}) \div 2 = \frac{199}{100} \div 2 = \frac{199}{200}$.
• Еще один пример обыкновенной дроби можно получить, если использовать знаменатель $1000$: $\frac{99}{100} = \frac{990}{1000}$ и $1 = \frac{1000}{1000}$. Между ними находятся, например, дроби $\frac{991}{1000}$ или $\frac{995}{1000}$.

Так же, как и в предыдущем пункте, между двумя различными числами $\frac{99}{100}$ и $1$ можно вставить бесконечно много других чисел. Мы можем придумывать всё более и более точные дроби, которые будут попадать в этот промежуток (например, $0.999, 0.9999, 0.99999$ и т.д.). Значит, таких чисел существует бесконечно много.

Ответ: Например, числа $0.995$, $\frac{199}{200}$, $\frac{999}{1000}$. Существует бесконечно много таких чисел.

РАССУЖДАЕМ (7.118–7.121)

7.118 Прочитайте в тексте пункта, как применяют приём сравнения с «промежуточным» числом, и сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю:

а) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{11}{16} $;

б) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{8} $;

г) $ \frac{10}{27} $ и $ \frac{15}{28} $.

а) Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{11}{16}$, используя в качестве промежуточного числа $\frac{1}{2}$.

Для первой дроби $\frac{5}{12}$ половина знаменателя равна $12 : 2 = 6$. Так как числитель $5 < 6$, то дробь $\frac{5}{12} < \frac{6}{12}$, а значит $\frac{5}{12} < \frac{1}{2}$.

Для второй дроби $\frac{11}{16}$ половина знаменателя равна $16 : 2 = 8$. Так как числитель $11 > 8$, то дробь $\frac{11}{16} > \frac{8}{16}$, а значит $\frac{11}{16} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{5}{12} < \frac{1}{2}$ и $\frac{11}{16} > \frac{1}{2}$, то из этого следует, что $\frac{5}{12} < \frac{11}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{12} < \frac{11}{16}$.

б) Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{7}$, используя в качестве промежуточного числа $\frac{1}{2}$.

Для первой дроби $\frac{2}{3}$ половина знаменателя равна $3 : 2 = 1,5$. Так как числитель $2 > 1,5$, то дробь $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Для второй дроби $\frac{3}{7}$ половина знаменателя равна $7 : 2 = 3,5$. Так как числитель $3 < 3,5$, то дробь $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$ и $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$, то из этого следует, что $\frac{2}{3} > \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{3} > \frac{3}{7}$.

в) Сравним дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{8}$, используя в качестве промежуточного числа $\frac{1}{2}$.

Для первой дроби $\frac{4}{5}$ половина знаменателя равна $5 : 2 = 2,5$. Так как числитель $4 > 2,5$, то дробь $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$.

Для второй дроби $\frac{3}{8}$ половина знаменателя равна $8 : 2 = 4$. Так как числитель $3 < 4$, то дробь $\frac{3}{8} < \frac{4}{8}$, а значит $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$ и $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$, то из этого следует, что $\frac{4}{5} > \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{4}{5} > \frac{3}{8}$.

г) Сравним дроби $\frac{10}{27}$ и $\frac{15}{28}$, используя в качестве промежуточного числа $\frac{1}{2}$.

Для первой дроби $\frac{10}{27}$ половина знаменателя равна $27 : 2 = 13,5$. Так как числитель $10 < 13,5$, то дробь $\frac{10}{27} < \frac{1}{2}$.

Для второй дроби $\frac{15}{28}$ половина знаменателя равна $28 : 2 = 14$. Так как числитель $15 > 14$, то дробь $\frac{15}{28} > \frac{14}{28}$, а значит $\frac{15}{28} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{10}{27} < \frac{1}{2}$ и $\frac{15}{28} > \frac{1}{2}$, то из этого следует, что $\frac{10}{27} < \frac{15}{28}$.

Ответ: $\frac{10}{27} < \frac{15}{28}$.

7.119 Определите, какая из дробей $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{6}{5}$ самая маленькая; самая большая. Расскажите, как вы рассуждали.

Чтобы определить, какая из дробей $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{4}{9}, \frac{6}{5}$ самая маленькая, а какая — самая большая, необходимо их сравнить. Для этого мы проанализируем каждую дробь и при необходимости приведем их к общему знаменателю.

Для нахождения самой маленькой дроби сначала определим, какие из них меньше 1. Дроби, у которых числитель меньше знаменателя (правильные дроби), меньше 1. К таким дробям относятся $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$. Дробь $\frac{6}{5}$ больше 1, поэтому она не может быть самой маленькой.

Теперь сравним между собой правильные дроби: $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$. Для этого приведем их к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 6 и 9. Разложим их на простые множители: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. НОК(4, 6, 9) равен произведению наибольших степеней всех простых множителей: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 36. Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель $36 \div 4 = 9$, получаем $\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}$. Для дроби $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель $36 \div 6 = 6$, получаем $\frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}$. Для дроби $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель $36 \div 9 = 4$, получаем $\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{27}{36}, \frac{30}{36}$ и $\frac{16}{36}$. Из дробей с одинаковым знаменателем меньше та, у которой меньше числитель. Сравнивая числители $16, 27$ и $30$, видим, что $16 < 27 < 30$.

Это означает, что $\frac{16}{36} < \frac{27}{36} < \frac{30}{36}$, и, следовательно, $\frac{4}{9} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

Таким образом, самая маленькая дробь из всех предложенных — это $\frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

Чтобы найти самую большую дробь, снова воспользуемся сравнением с единицей. Как мы уже определили, дроби $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ и $\frac{4}{9}$ являются правильными, а значит, они все меньше 1.

Дробь $\frac{6}{5}$ является неправильной, так как ее числитель (6) больше знаменателя (5). Ее значение можно записать в виде смешанного числа $1\frac{1}{5}$, что очевидно больше 1.

Поскольку дробь $\frac{6}{5}$ — единственная из представленных, которая больше 1, она является самой большой.

Ответ: $\frac{6}{5}$

7.120 Расположите числа в порядке возрастания (попробуйте сделать это, не приводя все дроби к общему знаменателю):

а) $ \frac{3}{4}, \frac{2}{5}, \frac{4}{7},$

б) $ \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{12},$

в) $ \frac{11}{12}, \frac{5}{11}, \frac{3}{7},$

г) $ \frac{7}{15}, \frac{7}{20}, \frac{8}{25}.$

а) Даны числа $ \frac{3}{4}, \frac{2}{5}, \frac{4}{7} $. Чтобы расположить их в порядке возрастания, не приводя все дроби к одному общему знаменателю, будем сравнивать их попарно с помощью перекрестного умножения.

1. Сравним $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{4}{7} $. Для этого умножим числитель первой дроби на знаменатель второй ($ 2 \times 7 = 14 $) и знаменатель первой дроби на числитель второй ($ 5 \times 4 = 20 $). Так как $ 14 < 20 $, то и первая дробь меньше второй: $ \frac{2}{5} < \frac{4}{7} $.

2. Сравним $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{4} $. Проделаем ту же операцию: $ 4 \times 4 = 16 $ и $ 7 \times 3 = 21 $. Так как $ 16 < 21 $, то $ \frac{4}{7} < \frac{3}{4} $.

3. Мы получили два неравенства: $ \frac{2}{5} < \frac{4}{7} $ и $ \frac{4}{7} < \frac{3}{4} $. Объединив их, получаем итоговый порядок.

Ответ: $ \frac{2}{5}, \frac{4}{7}, \frac{3}{4} $.

б) Даны числа $ \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{12} $.

1. Сравним $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{4} $. Обе дроби близки к 1. Найдем, насколько каждая из них меньше единицы: $ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $ и $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $. Поскольку $ \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $, это означает, что дробь $ \frac{2}{3} $ находится "дальше" от единицы, чем $ \frac{3}{4} $. Следовательно, $ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $.

2. Теперь сравним $ \frac{5}{12} $ с наименьшей из уже сравненных дробей, то есть с $ \frac{2}{3} $. Используем перекрестное умножение: $ 5 \times 3 = 15 $ и $ 12 \times 2 = 24 $. Так как $ 15 < 24 $, то $ \frac{5}{12} < \frac{2}{3} $.

3. Из полученных неравенств $ \frac{5}{12} < \frac{2}{3} $ и $ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $ следует искомый порядок.

Ответ: $ \frac{5}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4} $.

в) Даны числа $ \frac{11}{12}, \frac{5}{11}, \frac{3}{7} $.

1. Удобно сравнить эти дроби с числом $ \frac{1}{2} $.

- Для дроби $ \frac{11}{12} $: числитель 11 больше половины знаменателя ($ 12 \div 2 = 6 $). Значит, $ \frac{11}{12} > \frac{1}{2} $.
- Для дроби $ \frac{5}{11} $: числитель 5 меньше половины знаменателя ($ 11 \div 2 = 5.5 $). Значит, $ \frac{5}{11} < \frac{1}{2} $.
- Для дроби $ \frac{3}{7} $: числитель 3 меньше половины знаменателя ($ 7 \div 2 = 3.5 $). Значит, $ \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $.
Таким образом, дробь $ \frac{11}{12} $ является наибольшей из трех.

2. Осталось сравнить две дроби, которые меньше $ \frac{1}{2} $: $ \frac{5}{11} $ и $ \frac{3}{7} $. Применим перекрестное умножение: $ 5 \times 7 = 35 $ и $ 11 \times 3 = 33 $. Так как $ 33 < 35 $, то $ \frac{3}{7} < \frac{5}{11} $.

3. Собирая все вместе, получаем конечный результат.

Ответ: $ \frac{3}{7}, \frac{5}{11}, \frac{11}{12} $.

г) Даны числа $ \frac{7}{15}, \frac{7}{20}, \frac{8}{25} $.

1. Сначала сравним дроби $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{7}{20} $. У них одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $ 15 < 20 $, то $ \frac{7}{15} > \frac{7}{20} $.

2. Теперь необходимо определить местоположение дроби $ \frac{8}{25} $. Сравним ее с $ \frac{7}{20} $. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 25 — это 100.

$ \frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} $
$ \frac{8}{25} = \frac{8 \times 4}{25 \times 4} = \frac{32}{100} $
Так как $ 32 < 35 $, то $ \frac{8}{25} < \frac{7}{20} $.

3. Мы установили, что $ \frac{8}{25} < \frac{7}{20} $ и $ \frac{7}{20} < \frac{7}{15} $. Это и дает нам итоговый порядок.

Ответ: $ \frac{8}{25}, \frac{7}{20}, \frac{7}{15} $.

7.121 Расположите числа в порядке убывания (попробуйте сделать это, не приводя все дроби к общему знаменателю):

а) $ \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{7}{8} $

б) $ \frac{5}{8}, \frac{7}{11}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $

в) $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{7}{5}, \frac{8}{9} $

г) $ \frac{6}{5}, \frac{3}{8}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9} $

а)

Чтобы расположить числа $ \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{7}{8} $ в порядке убывания, сравним их, не приводя к общему знаменателю.
Удобно сравнить эти дроби с $ \frac{1}{2} $.
Дроби, большие $ \frac{1}{2} $: $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{8} $.
Дроби, меньшие $ \frac{1}{2} $: $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $.
Очевидно, что дроби из первой группы больше дробей из второй.
Сравним дроби в первой группе: $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{8} $. Чтобы получить 1, к дроби $ \frac{3}{4} $ нужно добавить $ \frac{1}{4} $, а к дроби $ \frac{7}{8} $ — $ \frac{1}{8} $. Так как $ \frac{1}{8} < \frac{1}{4} $, то дробь $ \frac{7}{8} $ находится ближе к 1, а значит, она больше: $ \frac{7}{8} > \frac{3}{4} $.
Сравним дроби во второй группе: $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $3 < 5$, то $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $.
Располагая все числа в порядке убывания, получаем: $ \frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} $.

б)

Расположим в порядке убывания числа $ \frac{5}{8}, \frac{7}{11}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.
Сравним дроби с одинаковыми числителями: $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{5}{12} $. Так как знаменатель 8 меньше 12, то $ \frac{5}{8} > \frac{5}{12} $.
Теперь используем сравнение с $ \frac{1}{2} $.
$ \frac{5}{8} > \frac{1}{2} $ и $ \frac{7}{11} > \frac{1}{2} $.
$ \frac{5}{12} < \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{15} < \frac{1}{2} $.
Это делит дроби на две группы. Сравним числа внутри каждой группы.
Группа "больше $ \frac{1}{2} $": $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{7}{11} $. Применим перекрестное умножение: $5 \times 11 = 55$ и $7 \times 8 = 56$. Так как $56 > 55$, то $ \frac{7}{11} > \frac{5}{8} $.
Группа "меньше $ \frac{1}{2} $": $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{15} $. Сравним их перекрестным умножением: $5 \times 15 = 75$ и $1 \times 12 = 12$. Так как $75 > 12$, то $ \frac{5}{12} > \frac{1}{15} $.
Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.

Ответ: $ \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.

в)

Расположим в порядке убывания числа $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{7}{5}, \frac{8}{9} $.
Первым шагом сравним дроби с 1. Неправильная дробь (числитель больше знаменателя) всегда больше 1, а правильная (числитель меньше знаменателя) — меньше 1.
$ \frac{7}{5} > 1 $, так как $7 > 5$.
Остальные дроби ($ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9} $) — правильные, то есть меньше 1.
Следовательно, самая большая дробь — это $ \frac{7}{5} $.
Теперь нужно упорядочить $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9} $.
Сравним их с $ \frac{1}{2} $: $ \frac{3}{8} < \frac{1}{2} $, в то время как $ \frac{5}{7} > \frac{1}{2} $ и $ \frac{8}{9} > \frac{1}{2} $. Это значит, что $ \frac{3}{8} $ — самая маленькая из этих трех дробей.
Осталось сравнить $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{8}{9} $. Обе дроби близки к 1. Найдем, сколько им "не хватает" до единицы: $1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$, а $1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Сравним эти "недостающие части": $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{1}{9} $. Перекрестное умножение дает $2 \times 9 = 18$ и $1 \times 7 = 7$. Поскольку $18 > 7$, то $ \frac{2}{7} > \frac{1}{9} $. Дробь, которой не хватает до единицы меньшей части, будет больше. Значит, $ \frac{8}{9} > \frac{5}{7} $.
Итоговый порядок: $ \frac{7}{5}, \frac{8}{9}, \frac{5}{7}, \frac{3}{8} $.

Ответ: $ \frac{7}{5}, \frac{8}{9}, \frac{5}{7}, \frac{3}{8} $.

г)

Расположим в порядке убывания числа $ \frac{6}{5}, \frac{3}{8}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9} $.
Снова начнем со сравнения с 1.
Дроби, большие 1 (неправильные): $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{9}{8} $.
Дроби, меньшие 1 (правильные): $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{9} $.
Сравним дроби в первой группе: $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{9}{8} $. Представим их в виде смешанных чисел: $ \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} $ и $ \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} $. Чтобы их сравнить, достаточно сравнить дробные части $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{8} $. У них одинаковые числители, значит, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $5 < 8$, то $ \frac{1}{5} > \frac{1}{8} $. Следовательно, $ \frac{6}{5} > \frac{9}{8} $.
Теперь сравним дроби из второй группы: $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{9} $. Используем перекрестное умножение: $3 \times 9 = 27$ и $4 \times 8 = 32$. Так как $32 > 27$, то $ \frac{4}{9} > \frac{3}{8} $.
Объединяя все сравнения, получаем итоговый ряд: $ \frac{6}{5}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9}, \frac{3}{8} $.

Ответ: $ \frac{6}{5}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9}, \frac{3}{8} $.

7.122 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

а) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша сделал 10 бросков и 6 раз попал в кольцо, а Коля – 8 бросков и попал 5 раз. Чей результат лучше?

б) В соревнованиях в стрельбе по летающим тарелочкам первый спортсмен из 24 выстрелов попал 14 раз, а второй – из 18 выстрелов попал 12 раз. Чей результат лучше?

Совет. Подумайте, по каким показателям можно сравнить результаты.

а)

Чтобы определить, чей результат лучше, необходимо сравнить относительную частоту попаданий, то есть долю успешных бросков от их общего числа.

Эффективность Саши составляет $ \frac{6}{10} $ (6 попаданий из 10 бросков).

Эффективность Коли составляет $ \frac{5}{8} $ (5 попаданий из 8 бросков).

Чтобы сравнить две дроби, $ \frac{6}{10} $ и $ \frac{5}{8} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 10 и 8 является 40.

Для Саши: $ \frac{6}{10} = \frac{6 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{24}{40} $.

Для Коли: $ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40} $.

Теперь сравним полученные дроби: $ \frac{25}{40} > \frac{24}{40} $. Следовательно, результат Коли лучше.

Ответ: результат Коли лучше.

б)

Для сравнения результатов двух спортсменов, найдем долю их попаданий.

Доля попаданий первого спортсмена: $ \frac{14}{24} $.

Доля попаданий второго спортсмена: $ \frac{12}{18} $.

Для удобства сравнения сначала сократим обе дроби.

Первый спортсмен: $ \frac{14}{24} = \frac{14 \div 2}{24 \div 2} = \frac{7}{12} $.

Второй спортсмен: $ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $.

Теперь сравним дроби $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{2}{3} $. Приведем их к общему знаменателю 12.

Доля первого спортсмена: $ \frac{7}{12} $.

Доля второго спортсмена: $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $.

Сравниваем числители: $ 8 > 7 $, значит $ \frac{8}{12} > \frac{7}{12} $. Таким образом, второй спортсмен показал лучший результат.

Ответ: результат второго спортсмена лучше.

7.123 Найдите значение выражения и представьте, если возможно, полученный результат в виде квадрата некоторого числа (воспользуйтесь при необходимости таблицей квадратов двузначных чисел):

а) $3^2 + 4^2$;

б) $15^2 - 9^2$;

в) $7^2 + 8^2$;

г) $17^2 - 8^2$.

а) Найдем значение выражения, вычислив квадраты чисел и сложив их:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
Полученный результат $25$ можно представить в виде квадрата числа $5$, так как $5^2 = 25$.
Ответ: $25 = 5^2$

б) Для вычисления разности квадратов воспользуемся формулой сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$15^2 - 9^2 = (15 - 9)(15 + 9) = 6 \cdot 24 = 144$
Полученный результат $144$ можно представить в виде квадрата числа $12$, так как $12^2 = 144$.
Ответ: $144 = 12^2$

в) Найдем значение выражения, вычислив квадраты чисел и сложив их:
$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$
Полученный результат $113$ нельзя представить в виде квадрата целого числа, так как $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$.
Ответ: $113$

г) Для вычисления разности квадратов воспользуемся формулой сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$17^2 - 8^2 = (17 - 8)(17 + 8) = 9 \cdot 25 = 225$
Полученный результат $225$ можно представить в виде квадрата числа $15$, так как $15^2 = 225$.
Ответ: $225 = 15^2$

7.124 a) В книге 490 страниц. Олег читает ежедневно по 30 страниц. На какой день после начала чтения книги он дочитает её до конца?

б) Саше поручили купить одинаковые значки для подарка учащимся младших классов. Какое наибольшее число значков по цене 35 р. он сможет купить, имея 1000 р.?

а) Чтобы найти, на какой день Олег дочитает книгу, нужно общее количество страниц в книге разделить на количество страниц, которые он читает ежедневно. Результат деления нужно округлить в большую сторону до целого числа, так как даже если останется прочитать всего одну страницу, на это потребуется еще один день.

Общее количество страниц: 490.
Количество страниц, прочитываемых в день: 30.

Выполним деление с остатком:
$490 \div 30 = 16$ (остаток 10).

Это означает, что за 16 полных дней Олег прочитает $16 \times 30 = 480$ страниц. На 17-й день ему останется прочитать оставшиеся $490 - 480 = 10$ страниц. Следовательно, он закончит читать книгу на 17-й день.
Ответ: на 17-й день.

б) Чтобы найти наибольшее число значков, которое сможет купить Саша, нужно разделить общую сумму денег на цену одного значка. В данном случае нас интересует только целая часть от деления, так как купить можно только целое количество значков.

Общая сумма денег: 1000 р.
Цена одного значка: 35 р.

Выполним деление с остатком, чтобы найти, сколько целых значков можно купить:
$1000 \div 35 = 28$ (остаток 20).

Саша сможет купить 28 значков. При этом он потратит $28 \times 35 = 980$ рублей. У него останется 20 рублей сдачи, чего недостаточно для покупки еще одного значка. Таким образом, наибольшее возможное количество значков — 28.
Ответ: 28 значков.