Страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Умею приводить дроби к новому знаменателю, сокращать дроби.

8. Приведите дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю:

а) 12;

б) 15;

в) 36.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо и числитель, и знаменатель исходной дроби умножить на одно и то же число, называемое дополнительным множителем. Дополнительный множитель можно найти, разделив новый знаменатель на старый.

а) Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 12.

Сначала найдем дополнительный множитель. для этого разделим новый знаменатель (12) на исходный (3):

$12 \div 3 = 4$

Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель 4:

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

Ответ: $\frac{8}{12}$

б) Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 15.

Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель (15) на исходный (3):

$15 \div 3 = 5$

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на 5:

$\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

Ответ: $\frac{10}{15}$

в) Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 36.

Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель (36) на исходный (3):

$36 \div 3 = 12$

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на 12:

$\frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{24}{36}$

Ответ: $\frac{24}{36}$

9. Сократите дробь:

а) $ \frac{8}{10} $

б) $ \frac{12}{48} $

в) $ \frac{75}{100} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{8}{10}$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 8 и знаменателя 10. Оба числа являются четными, поэтому их общий делитель — 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{12}{48}$, найдем НОД для 12 и 48. Заметим, что знаменатель 48 делится на числитель 12 без остатка ($48 = 12 \times 4$), следовательно, наибольший общий делитель этих чисел равен 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:
$\frac{12}{48} = \frac{12 \div 12}{48 \div 12} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{75}{100}$, найдем НОД для 75 и 100. Можно разложить числа на простые множители, но в данном случае легко увидеть, что оба числа делятся на 25. Это и есть их наибольший общий делитель.
$75 = 3 \times 25$
$100 = 4 \times 25$
Разделим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

Умею сравнивать дроби.

10. Сравните:

а) $\frac{8}{17}$ и $\frac{6}{17}$;

б) $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$;

в) $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$;

г) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$;

д) $\frac{9}{10}$ и $\frac{10}{9}$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{17}$ и $\frac{6}{17}$, обратим внимание на их знаменатели. Знаменатели у дробей одинаковые и равны 17. Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то больше та дробь, у которой числитель больше. Сравниваем числители: $8 > 6$. Следовательно, $\frac{8}{17} > \frac{6}{17}$.
Ответ: $\frac{8}{17} > \frac{6}{17}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$, у которых разные знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 8 и 7 будет их произведение, так как они взаимно простые: $8 \times 7 = 56$. Приведем первую дробь к знаменателю 56, умножив числитель и знаменатель на 7: $\frac{5}{8} = \frac{5 \times 7}{8 \times 7} = \frac{35}{56}$. Приведем вторую дробь к знаменателю 56, умножив числитель и знаменатель на 8: $\frac{4}{7} = \frac{4 \times 8}{7 \times 8} = \frac{32}{56}$. Теперь сравним полученные дроби $\frac{35}{56}$ и $\frac{32}{56}$. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители: $35 > 32$. Значит, $\frac{35}{56} > \frac{32}{56}$, и следовательно, $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{10}$, нужно привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 8 и 10. НОК(8, 10) = 40. Приведем первую дробь к знаменателю 40. Дополнительный множитель для нее $40 \div 8 = 5$. $\frac{5}{8} = \frac{5 \times 5}{8 \times 5} = \frac{25}{40}$. Приведем вторую дробь к знаменателю 40. Дополнительный множитель для нее $40 \div 10 = 4$. $\frac{7}{10} = \frac{7 \times 4}{10 \times 4} = \frac{28}{40}$. Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{25}{40}$ и $\frac{28}{40}$. Так как $25 < 28$, то $\frac{25}{40} < \frac{28}{40}$. Следовательно, $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{5}{8} < \frac{7}{10}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$, обратим внимание на их числители. Числители у дробей одинаковые и равны 1. Если у двух дробей одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Сравниваем знаменатели: $10 < 100$. Следовательно, $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.

д) Чтобы сравнить дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{10}{9}$, можно сравнить каждую из них с единицей. Дробь $\frac{9}{10}$ является правильной, так как ее числитель (9) меньше знаменателя (10). Это значит, что $\frac{9}{10} < 1$. Дробь $\frac{10}{9}$ является неправильной, так как ее числитель (10) больше знаменателя (9). Это значит, что $\frac{10}{9} > 1$. Поскольку $\frac{9}{10} < 1$ и $\frac{10}{9} > 1$, то очевидно, что $\frac{9}{10} < \frac{10}{9}$.
Ответ: $\frac{9}{10} < \frac{10}{9}$.

Умею применять дроби, чтобы выражать более мелкие единицы измерения величин через более крупные.

11. Выразите в метрах: 23 см; 50 см; 75 см.

Чтобы выразить сантиметры в метрах, необходимо использовать соотношение, что в одном метре содержится 100 сантиметров. Таким образом, 1 сантиметр — это одна сотая часть метра.

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

$1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м}$

Для перевода сантиметров в метры нужно количество сантиметров записать в числитель дроби, а в знаменатель поставить 100.

23 см

Чтобы выразить 23 сантиметра в метрах, представим это значение в виде дроби со знаменателем 100.

$23 \text{ см} = \frac{23}{100} \text{ м}$

Эта дробь является несократимой, так как у чисел 23 и 100 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{23}{100} \text{ м}$

50 см

Чтобы выразить 50 сантиметров в метрах, запишем это как дробь $\frac{50}{100}$ метра и сократим её. Наибольший общий делитель для 50 и 100 равен 50.

$50 \text{ см} = \frac{50}{100} \text{ м} = \frac{50 \div 50}{100 \div 50} \text{ м} = \frac{1}{2} \text{ м}$

Таким образом, 50 см — это половина метра.

Ответ: $\frac{1}{2} \text{ м}$

75 см

Чтобы выразить 75 сантиметров в метрах, запишем это как дробь $\frac{75}{100}$ метра и сократим её. Наибольший общий делитель для 75 и 100 равен 25.

$75 \text{ см} = \frac{75}{100} \text{ м} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} \text{ м} = \frac{3}{4} \text{ м}$

Таким образом, 75 см — это три четверти метра.

Ответ: $\frac{3}{4} \text{ м}$

12. Выразите в часах:

$29 \text{ мин}$

$30 \text{ мин}$

$48 \text{ мин}$

Чтобы выразить минуты в часах, необходимо данное количество минут разделить на 60, так как в одном часе содержится 60 минут. Результат представим в виде обыкновенной дроби.

29 мин

Делим количество минут на 60:

$$ \frac{29}{60} \text{ часа} $$

Данная дробь является несократимой, так как число 29 – простое, и 60 на 29 не делится.

Ответ: $ \frac{29}{60} $ ч.

30 мин

Делим количество минут на 60:

$$ \frac{30}{60} \text{ часа} $$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 30:

$$ \frac{30 \div 30}{60 \div 30} = \frac{1}{2} \text{ часа} $$

Ответ: $ \frac{1}{2} $ ч.

48 мин

Делим количество минут на 60:

$$ \frac{48}{60} \text{ часа} $$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 48 и 60 – это 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:

$$ \frac{48 \div 12}{60 \div 12} = \frac{4}{5} \text{ часа} $$

Ответ: $ \frac{4}{5} $ ч.

Знаю, как записать натуральное число в виде дроби; умею записывать в виде дроби частное двух натуральных чисел.

13. Представьте число 10 в виде дроби со знаменателем 1; 5; 8.

Чтобы представить натуральное число в виде дроби с определённым знаменателем, необходимо умножить это число на требуемый знаменатель. Полученное произведение станет числителем искомой дроби, а знаменатель останется тот, что был задан.

Другими словами, чтобы представить число $N$ в виде дроби со знаменателем $b$, нужно найти числитель $a$ из равенства $\frac{a}{b} = N$. Отсюда $a = N \times b$.

В данном случае нам нужно представить число 10.

1
Представим число 10 в виде дроби со знаменателем 1. Для этого найдём числитель, умножив 10 на 1: $10 \times 1 = 10$. Следовательно, искомая дробь — $\frac{10}{1}$.
Ответ: $\frac{10}{1}$.

5
Представим число 10 в виде дроби со знаменателем 5. Для этого найдём числитель, умножив 10 на 5: $10 \times 5 = 50$. Следовательно, искомая дробь — $\frac{50}{5}$.
Ответ: $\frac{50}{5}$.

8
Представим число 10 в виде дроби со знаменателем 8. Для этого найдём числитель, умножив 10 на 8: $10 \times 8 = 80$. Следовательно, искомая дробь — $\frac{80}{8}$.
Ответ: $\frac{80}{8}$.

14. Найдите частное:

а) $3 : 5$;

б) $20 : 25$.

а) Чтобы найти частное, нужно разделить 3 на 5. Результат этого деления можно представить в виде обыкновенной дроби, а затем преобразовать ее в десятичную.
Запишем деление в виде дроби: $3 : 5 = \frac{3}{5}$.
Для преобразования дроби в десятичную, приведем знаменатель к 10, домножив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0.6$.
Таким образом, частное от деления 3 на 5 равно 0,6.
Ответ: 0.6

б) Чтобы найти частное, необходимо разделить 20 на 25. Запишем это выражение в виде обыкновенной дроби:
$20 : 25 = \frac{20}{25}$.
Эту дробь можно сократить. Найдем наибольший общий делитель для числителя (20) и знаменателя (25). Он равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{20 \div 5}{25 \div 5} = \frac{4}{5}$.
Теперь преобразуем полученную дробь $\frac{4}{5}$ в десятичную. Для этого приведем знаменатель к 10, домножив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0.8$.
Таким образом, частное от деления 20 на 25 равно 0,8.
Ответ: 0.8

15. Масса восьми одинаковых пачек печенья равна 2 кг. Чему равна масса одной пачки печенья?

Чтобы найти массу одной пачки печенья, необходимо общую массу всех пачек разделить на их количество.

1. Переведем общую массу из килограммов в граммы для удобства.
Мы знаем, что в одном килограмме содержится 1000 граммов. $2 \text{ кг} = 2 \times 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$

2. Рассчитаем массу одной пачки печенья.
Теперь разделим общую массу в граммах на количество пачек: $2000 \text{ г} \div 8 = 250 \text{ г}$

Таким образом, масса одной пачки печенья составляет 250 граммов.

Альтернативное решение в килограммах: $2 \text{ кг} \div 8 = 0.25 \text{ кг}$

Ответ: 250 г.