Страница 164 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Расскажите, как складывают и вычитают дроби с разными знаменателями, на примерах вычисления суммы $\frac{3}{7} + \frac{1}{3}$ и разности $\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$.

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему знаменателю. Для этого выполняют следующие действия:

Сначала находят наименьший общий знаменатель. Обычно для этого вычисляют наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей.

Затем для каждой дроби определяют дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.

Далее умножают числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

После того как дроби приведены к общему знаменателю, выполняют сложение или вычитание их числителей, а знаменатель оставляют без изменений.

В конце, если это возможно, полученную дробь сокращают.

Пример вычисления суммы $\frac{3}{7} + \frac{1}{3}$

Знаменатели дробей 7 и 3 являются простыми числами. Их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $7 \cdot 3 = 21$.

Определим дополнительные множители. Для дроби $\frac{3}{7}$ дополнительный множитель равен $21 \div 7 = 3$. Для дроби $\frac{1}{3}$ дополнительный множитель равен $21 \div 3 = 7$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{3}{7} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{9}{21} + \frac{7}{21} = \frac{9 + 7}{21} = \frac{16}{21}$

Дробь $\frac{16}{21}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{16}{21}$

Пример вычисления разности $\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 6. Это их наименьшее общее кратное (НОК). НОК(4, 6) = 12.

Определим дополнительные множители. Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $12 \div 4 = 3$. Для дроби $\frac{1}{6}$ дополнительный множитель равен $12 \div 6 = 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9 - 2}{12} = \frac{7}{12}$

Дробь $\frac{7}{12}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{7}{12}$

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (8.1–8.2)

8.1 Сложите дроби и, если возможно, сократите получившуюся дробь:

а) $ \frac{3}{7} + \frac{1}{7} $;

б) $ \frac{3}{10} + \frac{2}{10} $;

в) $ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} $;

г) $ \frac{1}{7} + \frac{2}{7} + \frac{3}{7} $;

д) $ \frac{2}{15} + \frac{4}{15} + \frac{4}{15} $;

е) $ \frac{4}{17} + \frac{6}{17} + \frac{7}{17} $.

а) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{3}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3+1}{7} = \frac{4}{7}$

Полученная дробь $\frac{4}{7}$ является несократимой, так как числитель 4 и знаменатель 7 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{4}{7}$

б) Складываем числители дробей, а знаменатель оставляем тем же.

$\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3+2}{10} = \frac{5}{10}$

Полученную дробь $\frac{5}{10}$ можно сократить, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 5. Разделим числитель и знаменатель на 5.

$\frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Складываем числители, знаменатель оставляем прежним.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3}$

Если у дроби числитель равен знаменателю, то такая дробь равна 1.

$\frac{3}{3} = 1$

Ответ: $1$

г) Складываем числители всех трех дробей, знаменатель оставляем без изменений.

$\frac{1}{7} + \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{1+2+3}{7} = \frac{6}{7}$

Дробь $\frac{6}{7}$ является несократимой, так как у чисел 6 и 7 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{6}{7}$

д) Складываем числители всех дробей.

$\frac{2}{15} + \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{2+4+4}{15} = \frac{10}{15}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя 10 и знаменателя 15 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5.

$\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

е) Складываем числители, знаменатель оставляем прежним.

$\frac{4}{17} + \frac{6}{17} + \frac{7}{17} = \frac{4+6+7}{17} = \frac{17}{17}$

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице.

$\frac{17}{17} = 1$

Ответ: $1$

8.2 Найдите разность и, если возможно, упростите результат:

a) $\frac{7}{9} - \frac{5}{9}$;

б) $\frac{17}{25} - \frac{7}{25}$;

в) $\frac{9}{16} - \frac{3}{16}$;

г) $\frac{7}{12} - \frac{1}{12}$;

д) $\frac{19}{21} - \frac{4}{21}$;

е) $\frac{57}{100} - \frac{17}{100}$.

а) Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же.

$\frac{7}{9} - \frac{5}{9} = \frac{7-5}{9} = \frac{2}{9}$

Числитель 2 и знаменатель 9 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1), поэтому дробь $\frac{2}{9}$ сократить нельзя.

Ответ: $\frac{2}{9}$

б) Выполним вычитание числителей, оставив знаменатель без изменений.

$\frac{17}{25} - \frac{7}{25} = \frac{17-7}{25} = \frac{10}{25}$

Теперь упростим (сократим) полученную дробь. Наибольший общий делитель (НОД) для чисел 10 и 25 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5.

$\frac{10}{25} = \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

в) Вычитаем числители, знаменатель оставляем прежним.

$\frac{9}{16} - \frac{3}{16} = \frac{9-3}{16} = \frac{6}{16}$

Сократим полученный результат. НОД для 6 и 16 равен 2. Делим числитель и знаменатель на 2.

$\frac{6}{16} = \frac{6 \div 2}{16 \div 2} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

г) Находим разность числителей.

$\frac{7}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7-1}{12} = \frac{6}{12}$

Упростим дробь. НОД для 6 и 12 равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6.

$\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Выполняем вычитание дробей.

$\frac{19}{21} - \frac{4}{21} = \frac{19-4}{21} = \frac{15}{21}$

Сократим результат. НОД для 15 и 21 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3.

$\frac{15}{21} = \frac{15 \div 3}{21 \div 3} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$

е) Находим разность дробей.

$\frac{57}{100} - \frac{17}{100} = \frac{57-17}{100} = \frac{40}{100}$

Упростим результат. НОД для 40 и 100 равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20.

$\frac{40}{100} = \frac{40 \div 20}{100 \div 20} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

8.3 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Найдите три следующих числа в последовательности дробей:

а) $\frac{1}{17}, \frac{3}{17}, \frac{5}{17}, \dots$

б) $\frac{8}{21}, \frac{11}{21}, \frac{14}{21}, \dots$

Приведите дроби к общему знаменателю и выполните действия (8.4–8.6).

а)
В последовательности дробей $\frac{1}{17}, \frac{3}{17}, \frac{5}{17}, ...$ знаменатель остается неизменным и равен 17.
Числители образуют последовательность: 1, 3, 5, ...
Закономерность заключается в том, что каждый следующий числитель на 2 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью 2.
Найдем следующие три члена последовательности числителей:
Четвертый числитель: $5 + 2 = 7$.
Пятый числитель: $7 + 2 = 9$.
Шестой числитель: $9 + 2 = 11$.
Таким образом, следующие три дроби в последовательности: $\frac{7}{17}, \frac{9}{17}, \frac{11}{17}$.
Ответ: $\frac{7}{17}, \frac{9}{17}, \frac{11}{17}$.

б)
В последовательности дробей $\frac{8}{21}, \frac{11}{21}, \frac{14}{21}, ...$ знаменатель также остается неизменным и равен 21.
Числители образуют последовательность: 8, 11, 14, ...
Найдем разность между соседними числителями:
$11 - 8 = 3$
$14 - 11 = 3$
Закономерность заключается в том, что каждый следующий числитель на 3 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью 3.
Найдем следующие три члена последовательности числителей:
Четвертый числитель: $14 + 3 = 17$.
Пятый числитель: $17 + 3 = 20$.
Шестой числитель: $20 + 3 = 23$.
Следовательно, следующие три дроби в последовательности: $\frac{17}{21}, \frac{20}{21}, \frac{23}{21}$.
Ответ: $\frac{17}{21}, \frac{20}{21}, \frac{23}{21}$.

8.4 a) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$;

Б) $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$;

В) $\frac{5}{8} + \frac{5}{24}$;

Г) $\frac{1}{2} - \frac{1}{8}$;

Д) $\frac{2}{3} - \frac{4}{9}$;

е) $\frac{3}{4} - \frac{1}{12}$.

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{4} $, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 4 — это 4. Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{1}{2} $ равен $ 4 \div 2 = 2 $. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4} $

Ответ: $ \frac{3}{4} $

б) Чтобы сложить дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{1}{6} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 — это 6. Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{2}{3} $ равен $ 6 \div 3 = 2 $. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 2:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6} $

Ответ: $ \frac{5}{6} $

в) Сложим дроби $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{5}{24} $. Общий знаменатель для 8 и 24 — это 24. Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{5}{8} $ равен $ 24 \div 8 = 3 $. Умножим ее числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} $

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{15}{24} + \frac{5}{24} = \frac{15+5}{24} = \frac{20}{24} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$ \frac{20}{24} = \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6} $

Ответ: $ \frac{5}{6} $

г) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{1}{2} - \frac{1}{8} $, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 8 — это 8. Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{1}{2} $ равен $ 8 \div 2 = 4 $. Умножим ее числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4-1}{8} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $

д) Выполним вычитание $ \frac{2}{3} - \frac{4}{9} $. Общий знаменатель для 3 и 9 — это 9. Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{2}{3} $ равен $ 9 \div 3 = 3 $. Умножим ее числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} $

Теперь вычтем дроби:

$ \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{6-4}{9} = \frac{2}{9} $

Ответ: $ \frac{2}{9} $

е) Выполним вычитание $ \frac{3}{4} - \frac{1}{12} $. Общий знаменатель для 4 и 12 — это 12. Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{3}{4} $ равен $ 12 \div 4 = 3 $. Умножим ее числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9-1}{12} = \frac{8}{12} $

Сократим результат. Наибольший общий делитель для 8 и 12 равен 4:

$ \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $

8.5 a) $\frac{1}{2} + \frac{5}{7}$;

Б) $\frac{4}{5} + \frac{1}{6}$;

В) $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$;

Г) $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$;

Д) $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$;

е) $\frac{5}{7} - \frac{2}{3}$.

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{7}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 2 и 7 является их произведение, так как они простые числа. Общий знаменатель: $2 \times 7 = 14$.

Приводим каждую дробь к знаменателю 14, домножая числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

Для дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен 7: $\frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14}$.

Для дроби $\frac{5}{7}$ дополнительный множитель равен 2: $\frac{5 \times 2}{7 \times 2} = \frac{10}{14}$.

Теперь складываем полученные дроби:

$\frac{7}{14} + \frac{10}{14} = \frac{7 + 10}{14} = \frac{17}{14}$.

Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{3}{14}$.

Ответ: $\frac{17}{14}$

б)

Для сложения дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{1}{6}$ найдем их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для чисел 5 и 6 НОЗ равен $5 \times 6 = 30$.

Приводим дроби к знаменателю 30:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$

Складываем полученные дроби:

$\frac{24}{30} + \frac{5}{30} = \frac{24 + 5}{30} = \frac{29}{30}$.

Ответ: $\frac{29}{30}$

в)

Чтобы вычесть $\frac{1}{3}$ из $\frac{1}{2}$, приведем их к общему знаменателю. НОЗ для 2 и 3 равен $2 \times 3 = 6$.

Преобразуем дроби:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$

Выполняем вычитание:

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

г)

Для вычитания $\frac{1}{4}$ из $\frac{1}{3}$ найдем общий знаменатель для 3 и 4. НОЗ равен $3 \times 4 = 12$.

Приводим дроби к знаменателю 12:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

Вычитаем:

$\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

д)

Чтобы выполнить вычитание $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для 3 и 5 равен $3 \times 5 = 15$.

Преобразуем каждую дробь:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$

Теперь вычитаем:

$\frac{10}{15} - \frac{3}{15} = \frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$

е)

Для вычитания $\frac{2}{3}$ из $\frac{5}{7}$ найдем их общий знаменатель. НОЗ для 7 и 3 это $7 \times 3 = 21$.

Приводим дроби к знаменателю 21:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}$

Выполняем вычитание:

$\frac{15}{21} - \frac{14}{21} = \frac{15 - 14}{21} = \frac{1}{21}$.

Ответ: $\frac{1}{21}$

8.6 a) $\frac{1}{4} + \frac{5}{6}$;

б) $\frac{3}{20} + \frac{7}{25}$;

В) $\frac{2}{9} + \frac{1}{6}$;

Г) $\frac{5}{6} - \frac{3}{8}$;

Д) $\frac{9}{10} - \frac{3}{4}$;

е) $\frac{3}{10} - \frac{2}{15}$.

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{6}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 6 – это 12.

Приведем первую дробь к знаменателю 12, домножив числитель и знаменатель на 3: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 12, домножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$.

Теперь сложим полученные дроби: $\frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{3 + 10}{12} = \frac{13}{12}$.

Так как полученная дробь неправильная (числитель больше знаменателя), выделим целую часть: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.

Ответ: $1\frac{1}{12}$

б)

Чтобы сложить дроби $\frac{3}{20}$ и $\frac{7}{25}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для чисел 20 и 25 – это 100.

Приведем дроби к знаменателю 100.

Дополнительный множитель для первой дроби: $100 \div 20 = 5$. Получаем: $\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $100 \div 25 = 4$. Получаем: $\frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100}$.

Сложим полученные дроби: $\frac{15}{100} + \frac{28}{100} = \frac{15 + 28}{100} = \frac{43}{100}$.

Ответ: $\frac{43}{100}$

в)

Для сложения дробей $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{6}$ найдем наименьший общий знаменатель для 9 и 6. Это число 18.

Приведем дроби к знаменателю 18.

Для первой дроби дополнительный множитель $18 \div 9 = 2$: $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$.

Для второй дроби дополнительный множитель $18 \div 6 = 3$: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$.

Сложим полученные дроби: $\frac{4}{18} + \frac{3}{18} = \frac{4 + 3}{18} = \frac{7}{18}$.

Ответ: $\frac{7}{18}$

г)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 8 – это 24.

Приведем первую дробь к знаменателю 24, домножив на 4: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 24, домножив на 3: $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.

Выполним вычитание: $\frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{20 - 9}{24} = \frac{11}{24}$.

Ответ: $\frac{11}{24}$

д)

Для вычитания дробей $\frac{9}{10}$ и $\frac{3}{4}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Для 10 и 4 это 20.

Приведем дроби к знаменателю 20.

Для первой дроби дополнительный множитель 2: $\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{18}{20}$.

Для второй дроби дополнительный множитель 5: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.

Выполним вычитание: $\frac{18}{20} - \frac{15}{20} = \frac{18 - 15}{20} = \frac{3}{20}$.

Ответ: $\frac{3}{20}$

е)

Чтобы вычесть дробь $\frac{2}{15}$ из $\frac{3}{10}$, найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 15. Это число 30.

Приведем дроби к знаменателю 30.

Домножим первую дробь на 3: $\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$.

Домножим вторую дробь на 2: $\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30}$.

Выполним вычитание: $\frac{9}{30} - \frac{4}{30} = \frac{9 - 4}{30} = \frac{5}{30}$.

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5: $\frac{5}{30} = \frac{5 \div 5}{30 \div 5} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$