Страница 171 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.44 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\frac{11}{12}$, $\frac{13}{24}$, $\frac{5}{8}$;

б) $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{11}{30}$;

в) $\frac{1}{2}$; 0,4987; 0,51.

а)

Чтобы расположить дроби $\frac{11}{12}$, $\frac{13}{24}$ и $\frac{5}{8}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 12, 24 и 8 является 24.

Приведем каждую дробь к знаменателю 24:

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{22}{24}$

Дробь $\frac{13}{24}$ уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{22}{24}$, $\frac{13}{24}$ и $\frac{15}{24}$. Для этого достаточно сравнить их числители. В порядке возрастания они располагаются так: $13 < 15 < 22$.

Соответственно, и дроби в порядке возрастания будут: $\frac{13}{24}$, $\frac{15}{24}$, $\frac{22}{24}$.

Вернувшись к исходным числам, получаем итоговый порядок.

Ответ: $\frac{13}{24}; \frac{5}{8}; \frac{11}{12}$.

б)

Чтобы расположить дроби $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{8}{15}$ и $\frac{11}{30}$ в порядке возрастания, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 5, 10, 15 и 30 является 30.

Приведем каждую дробь к знаменателю 30:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$

$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$

$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30}$

Дробь $\frac{11}{30}$ уже имеет нужный знаменатель.

Теперь сравним числители полученных дробей: $11 < 16 < 21 < 24$.

Таким образом, порядок возрастания дробей следующий: $\frac{11}{30}$, $\frac{16}{30}$, $\frac{21}{30}$, $\frac{24}{30}$.

Это соответствует исходным дробям.

Ответ: $\frac{11}{30}; \frac{8}{15}; \frac{7}{10}; \frac{4}{5}$.

в)

Чтобы расположить числа $\frac{1}{2}$, $0,4987$ и $0,51$ в порядке возрастания, удобнее всего представить все числа в виде десятичных дробей.

Переведем дробь $\frac{1}{2}$ в десятичный формат:

$\frac{1}{2} = 0,5$

Теперь у нас есть три десятичные дроби для сравнения: $0,5$; $0,4987$; $0,51$.

Для наглядности сравнения можно уравнять количество знаков после запятой, добавив нули:

$0,5 = 0,5000$

$0,4987$

$0,51 = 0,5100$

Сравнивая эти числа, получаем следующий порядок возрастания:

$0,4987 < 0,5000 < 0,5100$

Возвращаясь к исходным числам, получаем итоговый ряд.

Ответ: $0,4987; \frac{1}{2}; 0,51$.

8.45 Найдите величину углов $\angle ABD$ и $\angle DBC$ (рис. 8.3), если известно, что:

а) угол $\angle ABD$ на $80^\circ$ больше угла $\angle DBC$;

б) угол $\angle DBC$ в 2 раза меньше угла $\angle ABD$.

Рис. 8.3

На рисунке 8.3 изображен развернутый угол $ABC$, который равен $180^\circ$. Этот угол состоит из двух смежных углов: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать основное уравнение для решения задачи: $\angle ABD + \angle DBC = 180^\circ$.

а)

По условию, угол $ABD$ на $80^\circ$ больше угла $DBC$. Обозначим величину угла $DBC$ через $x$. Тогда величина угла $ABD$ будет равна $x + 80^\circ$.
Подставим эти выражения в наше основное уравнение:
$(x + 80^\circ) + x = 180^\circ$
$2x + 80^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 80^\circ$
$2x = 100^\circ$
$x = 50^\circ$
Следовательно, $\angle DBC = 50^\circ$.
Теперь найдем величину угла $ABD$:
$\angle ABD = x + 80^\circ = 50^\circ + 80^\circ = 130^\circ$.
Ответ: $\angle ABD = 130^\circ$, $\angle DBC = 50^\circ$.

б)

По условию, угол $DBC$ в 2 раза меньше угла $ABD$. Обозначим величину угла $DBC$ через $y$. Тогда величина угла $ABD$ будет в 2 раза больше, то есть $2y$.
Подставим эти выражения в наше основное уравнение:
$2y + y = 180^\circ$
$3y = 180^\circ$
$y = 180^\circ / 3$
$y = 60^\circ$
Следовательно, $\angle DBC = 60^\circ$.
Теперь найдем величину угла $ABD$:
$\angle ABD = 2y = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Ответ: $\angle ABD = 120^\circ$, $\angle DBC = 60^\circ$.

На примере суммы $3\frac{1}{7} + 1\frac{2}{7}$ расскажите, как складывают смешанные дроби.

Чтобы сложить смешанные дроби, такие как $3\frac{1}{7} + 1\frac{2}{7}$, можно использовать два основных способа.

Способ 1: Сложение целых и дробных частей по отдельности

Этот метод особенно удобен, когда у дробных частей одинаковые знаменатели.

1. Складываем целые части.
В нашем примере это 3 и 1.$3 + 1 = 4$

2. Складываем дробные части.
Так как знаменатели у дробей $\frac{1}{7}$ и $\frac{2}{7}$ одинаковы, мы просто складываем их числители, а знаменатель оставляем без изменений.$\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{1 + 2}{7} = \frac{3}{7}$

3. Объединяем результаты.
Складываем полученную целую часть и полученную дробную часть.$4 + \frac{3}{7} = 4\frac{3}{7}$

Таким образом, $3\frac{1}{7} + 1\frac{2}{7} = 4\frac{3}{7}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ является универсальным и подходит для сложения любых смешанных дробей.

1. Преобразуем каждую смешанную дробь в неправильную.
Для этого умножаем целую часть на знаменатель и к результату прибавляем числитель. Полученное число становится новым числителем, а знаменатель остается прежним.$3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{21 + 1}{7} = \frac{22}{7}$
$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$

2. Складываем полученные неправильные дроби.$\frac{22}{7} + \frac{9}{7} = \frac{22 + 9}{7} = \frac{31}{7}$

3. Преобразуем результат обратно в смешанную дробь (если необходимо).
Для этого делим числитель на знаменатель с остатком. Частное от деления становится целой частью, остаток — новым числителем, а знаменатель не меняется.$31 \div 7 = 4$ (остаток $3$)
Следовательно, $\frac{31}{7} = 4\frac{3}{7}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $4\frac{3}{7}$

Найдите сумму $4\frac{2}{9} + 8$.

Чтобы найти сумму смешанного числа и целого числа, можно сложить их целые части, а дробную часть оставить без изменений.

Смешанное число $4\frac{2}{9}$ состоит из целой части $4$ и дробной части $\frac{2}{9}$.

Сложим целые части заданных чисел:

$4 + 8 = 12$

Теперь к полученной сумме целых частей добавим дробную часть исходного смешанного числа:

$12 + \frac{2}{9} = 12\frac{2}{9}$

Таким образом, результат сложения $4\frac{2}{9}$ и $8$ равен $12\frac{2}{9}$.

Ответ: $12\frac{2}{9}$