Страница 173 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.51 а) Сшили костюм. На юбку ушло: $2 \frac{1}{2}$ м ткани, а на жакет — на $\frac{3}{4}$ м ткани больше. Сколько ткани ушло на костюм?

б) Вера и Коля вышли из своих домов, которые находятся на одной улице, и пошли навстречу друг другу. Вера прошла до встречи $1 \frac{2}{5}$ км, а Коля — на $\frac{3}{10}$ км больше. Чему равно расстояние между домами Веры и Коли?

а)

1. Сначала найдем, сколько ткани потребовалось на жакет. По условию, на жакет ушло на $\frac{3}{4}$ м ткани больше, чем на юбку, на которую ушло $2\frac{1}{2}$ м. Для этого сложим количество ткани для юбки и добавочное количество:

$2\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = 2\frac{5}{4} = 3\frac{1}{4}$ м.

Таким образом, на жакет ушло $3\frac{1}{4}$ м ткани.

2. Теперь вычислим общее количество ткани, ушедшее на весь костюм, сложив расход ткани на юбку и на жакет:

$2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} = 2\frac{2}{4} + 3\frac{1}{4} = 5\frac{3}{4}$ м.

Ответ: на костюм ушло $5\frac{3}{4}$ м ткани.

б)

1. Найдем расстояние, которое прошел Коля до встречи. Известно, что он прошел на $\frac{3}{10}$ км больше, чем Вера, которая прошла $1\frac{2}{5}$ км. Сложим расстояние, которое прошла Вера, и разницу:

$1\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = 1\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = 1\frac{7}{10}$ км.

Следовательно, Коля прошел $1\frac{7}{10}$ км.

2. Расстояние между домами Веры и Коли равно сумме расстояний, которые они прошли навстречу друг другу до встречи. Сложим пути, пройденные Верой и Колей:

$1\frac{2}{5} + 1\frac{7}{10} = 1\frac{4}{10} + 1\frac{7}{10} = 2\frac{11}{10} = 3\frac{1}{10}$ км.

Ответ: расстояние между домами Веры и Коли равно $3\frac{1}{10}$ км.

8.52 Запишите одно за другим десять чисел, первое из которых равно 1, а каждое следующее на $\frac{1}{2}$ больше предыдущего. Найдите сумму всех этих чисел.

В данной задаче требуется составить последовательность чисел и найти их сумму. Описанные условия соответствуют арифметической прогрессии, где каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

Основные параметры этой прогрессии:

• Первый член: $a_1 = 1$
• Разность прогрессии: $d = \frac{1}{2}$ или $0,5$
• Количество членов: $n = 10$

Чтобы получить последовательность, начнем с первого члена $a_1 = 1$ и будем последовательно прибавлять разность $d = 0,5$ к каждому предыдущему члену.

• 1-й член: $a_1 = 1$
• 2-й член: $a_2 = 1 + 0,5 = 1,5$
• 3-й член: $a_3 = 1,5 + 0,5 = 2$
• 4-й член: $a_4 = 2 + 0,5 = 2,5$
• 5-й член: $a_5 = 2,5 + 0,5 = 3$
• 6-й член: $a_6 = 3 + 0,5 = 3,5$
• 7-й член: $a_7 = 3,5 + 0,5 = 4$
• 8-й член: $a_8 = 4 + 0,5 = 4,5$
• 9-й член: $a_9 = 4,5 + 0,5 = 5$
• 10-й член: $a_{10} = 5 + 0,5 = 5,5$

Ответ: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5.

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В нашем случае, нам нужно найти сумму десяти членов ($n=10$). Мы знаем первый член $a_1 = 1$ и десятый член $a_{10} = 5,5$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{10} = \frac{1 + 5,5}{2} \cdot 10$

Выполним вычисления:

$S_{10} = \frac{6,5}{2} \cdot 10 = 3,25 \cdot 10 = 32,5$

Также можно рассчитать так:

$S_{10} = \frac{6,5 \cdot 10}{2} = \frac{65}{2} = 32,5$

Ответ: 32,5.

8.53 Представьте смешанную дробь в виде неправильной дроби и найдите разность:

a) $1\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

б) $2\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$

в) $3\frac{2}{3} - 2\frac{4}{5}$

г) $2\frac{3}{4} - 1\frac{5}{6}$

а) $1\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Сначала представим смешанную дробь $1\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь найдем разность дробей $\frac{5}{4}$ и $\frac{1}{2}$. Чтобы вычесть дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 – это 4.

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{5-2}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) $2\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$

Представим смешанную дробь $2\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Теперь найдем разность дробей $\frac{5}{2}$ и $\frac{2}{3}$. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 – это 6.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

Выполним вычитание:

$\frac{15}{6} - \frac{4}{6} = \frac{15-4}{6} = \frac{11}{6}$

Ответ: $\frac{11}{6}$

в) $3\frac{2}{3} - 2\frac{4}{5}$

Представим обе смешанные дроби в виде неправильных дробей:

$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$

Теперь найдем разность дробей $\frac{11}{3}$ и $\frac{14}{5}$. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 – это 15.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{11}{3} = \frac{11 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{55}{15}$

$\frac{14}{5} = \frac{14 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{42}{15}$

Выполним вычитание:

$\frac{55}{15} - \frac{42}{15} = \frac{55-42}{15} = \frac{13}{15}$

Ответ: $\frac{13}{15}$

г) $2\frac{3}{4} - 1\frac{5}{6}$

Представим обе смешанные дроби в виде неправильных дробей:

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

$1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$

Теперь найдем разность дробей $\frac{11}{4}$ и $\frac{11}{6}$. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 – это 12.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{11}{4} = \frac{11 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{33}{12}$

$\frac{11}{6} = \frac{11 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{22}{12}$

Выполним вычитание:

$\frac{33}{12} - \frac{22}{12} = \frac{33-22}{12} = \frac{11}{12}$

Ответ: $\frac{11}{12}$

8.54 Вычислите:

а) $1 - \frac{1}{3};$

б) $1 - \frac{3}{4};$

в) $1 - \frac{11}{20};$

г) $1 - \frac{7}{10};$

д) $1 - \frac{16}{17}.$

Образец. $1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.$

а) Чтобы вычесть дробь из единицы, необходимо представить единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби. В данном случае знаменатель равен 3, поэтому представим 1 как $\frac{3}{3}$.

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 4, то есть как $\frac{4}{4}$, и выполним вычитание.

$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Чтобы найти разность, представим 1 в виде дроби со знаменателем 20.

$1 - \frac{11}{20} = \frac{20}{20} - \frac{11}{20} = \frac{20-11}{20} = \frac{9}{20}$

Ответ: $\frac{9}{20}$

г) Представим единицу как дробь со знаменателем 10, то есть $\frac{10}{10}$, и вычтем из нее данную дробь.

$1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{10-7}{10} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

д) Для вычисления разности представим 1 в виде дроби $\frac{17}{17}$.

$1 - \frac{16}{17} = \frac{17}{17} - \frac{16}{17} = \frac{17-16}{17} = \frac{1}{17}$

Ответ: $\frac{1}{17}$

8.55 а) Турист прошёл $\frac{2}{5}$ пути. Какую часть пути ему осталось пройти? Какая часть пути больше? На сколько?

б) Прочитали $\frac{1}{4}$ всей книги. Какую часть книги осталось прочитать? Больше или меньше половины книги осталось прочитать? На сколько?

Выполните вычитание (8.56–8.59).

а)

1. Чтобы найти, какую часть пути осталось пройти туристу, нужно из всего пути, который принимается за 1, вычесть пройденную часть. Пройденная часть составляет $ \frac{2}{5} $.

Выполним вычитание: $ 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $.

Таким образом, туристу осталось пройти $ \frac{3}{5} $ всего пути.

2. Теперь сравним пройденную часть ($ \frac{2}{5} $) и оставшуюся ($ \frac{3}{5} $). Поскольку у этих дробей одинаковый знаменатель, больше та дробь, у которой больше числитель. Так как $ 3 > 2 $, то $ \frac{3}{5} > \frac{2}{5} $. Следовательно, оставшаяся часть пути больше, чем пройденная.

3. Чтобы найти, на сколько оставшаяся часть пути больше пройденной, нужно из большей дроби вычесть меньшую:

$ \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5} $.

Оставшаяся часть пути больше пройденной на $ \frac{1}{5} $.

Ответ: осталось пройти $ \frac{3}{5} $ пути; оставшаяся часть пути больше пройденной на $ \frac{1}{5} $.

б)

1. Чтобы найти, какую часть книги осталось прочитать, нужно из всей книги, которую мы принимаем за 1, вычесть прочитанную часть. Прочитали $ \frac{1}{4} $ книги.

Выполним вычитание: $ 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

Таким образом, осталось прочитать $ \frac{3}{4} $ всей книги.

2. Теперь сравним оставшуюся часть ($ \frac{3}{4} $) с половиной книги ($ \frac{1}{2} $). Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 2 это 4.

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} $.

Сравниваем $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{4} $. Так как $ 3 > 2 $, то $ \frac{3}{4} > \frac{2}{4} $. Это означает, что осталось прочитать больше половины книги.

3. Чтобы найти, на сколько оставшаяся часть книги больше половины, нужно из $ \frac{3}{4} $ вычесть $ \frac{1}{2} $:

$ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} $.

Оставшаяся часть книги на $ \frac{1}{4} $ больше половины.

Ответ: осталось прочитать $ \frac{3}{4} $ книги; это больше половины книги на $ \frac{1}{4} $.

8.56 а) $3 - \frac{1}{2}$; в) $5 - \frac{2}{5}$; д) $8 - \frac{2}{3}$;

б) $4 - \frac{1}{9}$; г) $6 - \frac{3}{7}$; е) $10 - \frac{5}{6}$.

Образец. $4 - \frac{5}{6} = 3 + 1 - \frac{5}{6} = 3 + \frac{1}{6} = 3\frac{1}{6}$.

а) Чтобы вычесть дробь из целого числа, нужно "занять" единицу у целого числа и представить ее в виде дроби с таким же знаменателем, как у вычитаемой дроби. Затем выполнить вычитание дробей.

$3 - \frac{1}{2} = (2 + 1) - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2-1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$

б) Представим число 4 в виде суммы $3+1$. Единицу запишем как дробь $\frac{9}{9}$.

$4 - \frac{1}{9} = (3 + 1) - \frac{1}{9} = 3 + \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = 3 + \frac{9-1}{9} = 3 + \frac{8}{9} = 3\frac{8}{9}$

Ответ: $3\frac{8}{9}$

в) Представим число 5 в виде суммы $4+1$. Единицу запишем как дробь $\frac{5}{5}$.

$5 - \frac{2}{5} = (4 + 1) - \frac{2}{5} = 4 + \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 4 + \frac{5-2}{5} = 4 + \frac{3}{5} = 4\frac{3}{5}$

Ответ: $4\frac{3}{5}$

г) Представим число 6 в виде суммы $5+1$. Единицу запишем как дробь $\frac{7}{7}$.

$6 - \frac{3}{7} = (5 + 1) - \frac{3}{7} = 5 + \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 5 + \frac{7-3}{7} = 5 + \frac{4}{7} = 5\frac{4}{7}$

Ответ: $5\frac{4}{7}$

д) Представим число 8 в виде суммы $7+1$. Единицу запишем как дробь $\frac{3}{3}$.

$8 - \frac{2}{3} = (7 + 1) - \frac{2}{3} = 7 + \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = 7 + \frac{3-2}{3} = 7 + \frac{1}{3} = 7\frac{1}{3}$

Ответ: $7\frac{1}{3}$

е) Представим число 10 в виде суммы $9+1$. Единицу запишем как дробь $\frac{6}{6}$.

$10 - \frac{5}{6} = (9 + 1) - \frac{5}{6} = 9 + \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = 9 + \frac{6-5}{6} = 9 + \frac{1}{6} = 9\frac{1}{6}$

Ответ: $9\frac{1}{6}$