Страница 174 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.57 а) $5 - 2\frac{1}{2}$;

б) $6 - 3\frac{2}{5}$;

в) $7 - 5\frac{3}{7}$;

г) $8 - 3\frac{3}{4}$;

д) $4 - 2\frac{3}{5}$;

е) $9 - 5\frac{1}{6}$.

Образец. $6 - 2\frac{1}{2} = 4 - \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$.

а)

Чтобы вычесть из целого числа 5 смешанное число $2\frac{1}{2}$, нужно "занять" единицу у пятёрки и представить её в виде дроби со знаменателем 2. Таким образом, число 5 мы представляем как смешанное число $4\frac{2}{2}$.

$5 - 2\frac{1}{2} = 4\frac{2}{2} - 2\frac{1}{2} = (4-2) + (\frac{2}{2}-\frac{1}{2}) = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $2\frac{1}{2}$.

б)

Для вычитания $6 - 3\frac{2}{5}$ представим число 6 в виде смешанного числа. Займем единицу у шестёрки и представим её как дробь со знаменателем 5, то есть $\frac{5}{5}$. Получим $6 = 5\frac{5}{5}$.

$6 - 3\frac{2}{5} = 5\frac{5}{5} - 3\frac{2}{5} = (5-3) + (\frac{5}{5}-\frac{2}{5}) = 2 + \frac{3}{5} = 2\frac{3}{5}$.

Ответ: $2\frac{3}{5}$.

в)

Чтобы найти разность $7 - 5\frac{3}{7}$, представим 7 в виде смешанного числа со знаменателем 7. Занимаем единицу: $7 = 6+1 = 6\frac{7}{7}$.

$7 - 5\frac{3}{7} = 6\frac{7}{7} - 5\frac{3}{7} = (6-5) + (\frac{7}{7}-\frac{3}{7}) = 1 + \frac{4}{7} = 1\frac{4}{7}$.

Ответ: $1\frac{4}{7}$.

г)

Для вычисления $8 - 3\frac{3}{4}$ представим 8 в виде смешанного числа. Займем единицу у восьмёрки и представим её как дробь со знаменателем 4: $8 = 7+1 = 7\frac{4}{4}$.

$8 - 3\frac{3}{4} = 7\frac{4}{4} - 3\frac{3}{4} = (7-3) + (\frac{4}{4}-\frac{3}{4}) = 4 + \frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$.

Ответ: $4\frac{1}{4}$.

д)

Чтобы найти разность $4 - 2\frac{3}{5}$, представим 4 в виде смешанного числа со знаменателем 5. Занимаем единицу: $4 = 3+1 = 3\frac{5}{5}$.

$4 - 2\frac{3}{5} = 3\frac{5}{5} - 2\frac{3}{5} = (3-2) + (\frac{5}{5}-\frac{3}{5}) = 1 + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5}$.

Ответ: $1\frac{2}{5}$.

е)

Для вычисления $9 - 5\frac{1}{6}$ представим 9 в виде смешанного числа. Займем единицу у девятки и представим её как дробь со знаменателем 6: $9 = 8+1 = 8\frac{6}{6}$.

$9 - 5\frac{1}{6} = 8\frac{6}{6} - 5\frac{1}{6} = (8-5) + (\frac{6}{6}-\frac{1}{6}) = 3 + \frac{5}{6} = 3\frac{5}{6}$.

Ответ: $3\frac{5}{6}$.

8.58 а) $5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3};$

б) $12\frac{1}{3} - 9\frac{1}{4};$

в) $5\frac{2}{3} - \frac{1}{6};$

г) $10\frac{8}{9} - \frac{2}{3};$

д) $6\frac{3}{4} - 2\frac{1}{2};$

е) $4\frac{3}{5} - 1\frac{1}{10}.$

а) $5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3}$

Так как знаменатели дробных частей одинаковы, можно вычитать целые и дробные части по отдельности.

Вычитаем целые части: $5 - 4 = 1$.

Вычитаем дробные части: $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}$.

Объединяем результаты: $1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $1\frac{1}{3}$

б) $12\frac{1}{3} - 9\frac{1}{4}$

Сначала приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 равен 12.

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

Теперь вычитание выглядит так: $12\frac{4}{12} - 9\frac{3}{12}$.

Вычитаем целые части: $12 - 9 = 3$.

Вычитаем дробные части: $\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$.

Соединяем результаты: $3\frac{1}{12}$.

Ответ: $3\frac{1}{12}$

в) $5\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 равен 6.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$

Получаем: $5\frac{4}{6} - \frac{1}{6}$.

Вычитаем дробные части, целая часть остается неизменной: $5 + (\frac{4}{6} - \frac{1}{6}) = 5 + \frac{3}{6}$.

Сокращаем дробную часть: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Итоговый результат: $5\frac{1}{2}$.

Ответ: $5\frac{1}{2}$

г) $10\frac{8}{9} - \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 равен 9.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9}$

Получаем: $10\frac{8}{9} - \frac{6}{9}$.

Вычитаем дробные части: $10 + (\frac{8}{9} - \frac{6}{9}) = 10 + \frac{2}{9} = 10\frac{2}{9}$.

Ответ: $10\frac{2}{9}$

д) $6\frac{3}{4} - 2\frac{1}{2}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 равен 4.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$

Теперь вычитание выглядит так: $6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{4}$.

Вычитаем целые части: $6 - 2 = 4$.

Вычитаем дробные части: $\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$.

Соединяем результаты: $4\frac{1}{4}$.

Ответ: $4\frac{1}{4}$

е) $4\frac{3}{5} - 1\frac{1}{10}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 равен 10.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}$

Теперь вычитание выглядит так: $4\frac{6}{10} - 1\frac{1}{10}$.

Вычитаем целые части: $4 - 1 = 3$.

Вычитаем дробные части: $\frac{6}{10} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10}$.

Сокращаем дробь: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Соединяем результаты: $3\frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$

8.59 a) $5\frac{1}{6} - \frac{5}{6}$;

б) $2\frac{1}{3} - \frac{2}{3}$;

в) $4\frac{5}{9} - \frac{8}{9}$;

г) $3\frac{1}{12} - 1\frac{5}{12}$;

д) $6\frac{3}{7} - 5\frac{5}{7}$;

е) $2\frac{3}{8} - 1\frac{7}{8}$.

Подсказка. Используйте в качестве образца пример 3.

а)

Чтобы вычесть из $5\frac{1}{6}$ дробь $\frac{5}{6}$, нужно сравнить их дробные части. Поскольку $\frac{1}{6} < \frac{5}{6}$, необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

Представим $5\frac{1}{6}$ в виде $4 + 1 + \frac{1}{6}$. Заменим 1 на дробь $\frac{6}{6}$: $4 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 4 + \frac{7}{6} = 4\frac{7}{6}$.

Теперь выполним вычитание:

$4\frac{7}{6} - \frac{5}{6} = 4 + (\frac{7}{6} - \frac{5}{6}) = 4 + \frac{7-5}{6} = 4\frac{2}{6}$.

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 2:

$4\frac{2}{6} = 4\frac{1}{3}$.

Ответ: $4\frac{1}{3}$.

б)

В выражении $2\frac{1}{3} - \frac{2}{3}$ дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{3}$) меньше вычитаемого ($\frac{2}{3}$). Займем единицу у целой части 2.

$2\frac{1}{3} = 1 + 1 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = 1\frac{4}{3}$.

Выполним вычитание:

$1\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = 1 + (\frac{4}{3} - \frac{2}{3}) = 1 + \frac{4-2}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

в)

В выражении $4\frac{5}{9} - \frac{8}{9}$ дробная часть $\frac{5}{9}$ меньше, чем $\frac{8}{9}$. Займем 1 у целой части 4.

$4\frac{5}{9} = 3 + 1 + \frac{5}{9} = 3 + \frac{9}{9} + \frac{5}{9} = 3\frac{14}{9}$.

Теперь вычитаем:

$3\frac{14}{9} - \frac{8}{9} = 3 + (\frac{14}{9} - \frac{8}{9}) = 3 + \frac{14-8}{9} = 3\frac{6}{9}$.

Сократим дробь $\frac{6}{9}$ на 3:

$3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}$.

Ответ: $3\frac{2}{3}$.

г)

Для вычитания $3\frac{1}{12} - 1\frac{5}{12}$ сравним дробные части: $\frac{1}{12} < \frac{5}{12}$. Займем 1 у целой части 3.

$3\frac{1}{12} = 2 + 1 + \frac{1}{12} = 2 + \frac{12}{12} + \frac{1}{12} = 2\frac{13}{12}$.

Выполним вычитание целых и дробных частей отдельно:

$2\frac{13}{12} - 1\frac{5}{12} = (2-1) + (\frac{13}{12} - \frac{5}{12}) = 1 + \frac{13-5}{12} = 1\frac{8}{12}$.

Сократим дробную часть $\frac{8}{12}$ на 4:

$1\frac{8}{12} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

д)

В выражении $6\frac{3}{7} - 5\frac{5}{7}$ дробная часть $\frac{3}{7}$ меньше $\frac{5}{7}$. Займем 1 у целой части 6.

$6\frac{3}{7} = 5 + 1 + \frac{3}{7} = 5 + \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = 5\frac{10}{7}$.

Выполним вычитание:

$5\frac{10}{7} - 5\frac{5}{7} = (5-5) + (\frac{10}{7} - \frac{5}{7}) = 0 + \frac{10-5}{7} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

е)

В выражении $2\frac{3}{8} - 1\frac{7}{8}$ дробная часть $\frac{3}{8}$ меньше $\frac{7}{8}$. Займем 1 у целой части 2.

$2\frac{3}{8} = 1 + 1 + \frac{3}{8} = 1 + \frac{8}{8} + \frac{3}{8} = 1\frac{11}{8}$.

Выполним вычитание:

$1\frac{11}{8} - 1\frac{7}{8} = (1-1) + (\frac{11}{8} - \frac{7}{8}) = 0 + \frac{11-7}{8} = \frac{4}{8}$.

Сократим дробь $\frac{4}{8}$ на 4:

$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Вычислите разность, воспользовавшись любым из известных вам способов (8.60-8.61).

8.60 а) $1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3}$;

б) $1 \frac{1}{4} - \frac{1}{3}$;

в) $1 \frac{1}{8} - \frac{1}{4}$;

г) $1 \frac{2}{3} - \frac{5}{6}$;

д) $2 \frac{3}{10} - \frac{4}{15}$;

е) $3 \frac{1}{4} - \frac{5}{6}$.

а) Чтобы вычислить разность $1\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$. Затем приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Выполним вычитание:
$1\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$. Найдем общий знаменатель для 4 и 3, он равен 12. Вычислим разность:
$1\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{15}{12} - \frac{4}{12} = \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{11}{12}$.

в) Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{8}$ в неправильную дробь $\frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$. Общий знаменатель для 8 и 4 равен 8. Выполним вычитание:
$1\frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{9}{8} - \frac{1}{4} = \frac{9}{8} - \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{9}{8} - \frac{2}{8} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

г) Сначала переведем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. Общий знаменатель для 3 и 6 равен 6. Вычисляем:
$1\frac{2}{3} - \frac{5}{6} = \frac{5}{3} - \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

д) Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 равен 30.
$2\frac{3}{10} - \frac{4}{15} = 2\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = 2\frac{9}{30} - \frac{8}{30}$.
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{9}{30}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{8}{30}$), вычитаем целые и дробные части отдельно:
$2\frac{9}{30} - \frac{8}{30} = 2 + (\frac{9}{30} - \frac{8}{30}) = 2 + \frac{1}{30} = 2\frac{1}{30}$.
Ответ: $2\frac{1}{30}$.

е) Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 равен 12.
$3\frac{1}{4} - \frac{5}{6} = 3\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 3\frac{3}{12} - \frac{10}{12}$.
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{12}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{10}{12}$), поэтому "займем" единицу у целой части:
$3\frac{3}{12} = 2 + 1 + \frac{3}{12} = 2 + \frac{12}{12} + \frac{3}{12} = 2\frac{15}{12}$.
Теперь выполним вычитание:
$2\frac{15}{12} - \frac{10}{12} = 2\frac{15-10}{12} = 2\frac{5}{12}$.
Ответ: $2\frac{5}{12}$.

8.61 а) $2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$;

б) $4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{10}$;

в) $7\frac{1}{9} - 4\frac{1}{3}$;

г) $2\frac{2}{7} - 1\frac{3}{5}$;

д) $6\frac{1}{4} - 3\frac{2}{5}$;

е) $4\frac{1}{6} - 1\frac{2}{3}$.

а) $2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$

Для вычитания смешанных чисел, сначала преобразуем их в неправильные дроби. Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 равен 6. Домножим первую дробь на 2, а вторую на 3:

$\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} - \frac{9}{6} = \frac{14 - 9}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) $4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{10}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$

$2\frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{23}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 равен 10. Домножим первую дробь на 2:

$\frac{21}{5} - \frac{23}{10} = \frac{21 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{23}{10} = \frac{42}{10} - \frac{23}{10} = \frac{42 - 23}{10} = \frac{19}{10}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{19}{10} = 1\frac{9}{10}$

Ответ: $1\frac{9}{10}$

в) $7\frac{1}{9} - 4\frac{1}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$7\frac{1}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{64}{9}$

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 равен 9. Домножим вторую дробь на 3:

$\frac{64}{9} - \frac{13}{3} = \frac{64}{9} - \frac{13 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{64}{9} - \frac{39}{9} = \frac{64 - 39}{9} = \frac{25}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$

Ответ: $2\frac{7}{9}$

г) $2\frac{2}{7} - 1\frac{3}{5}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 5 равен 35. Домножим первую дробь на 5, а вторую на 7:

$\frac{16}{7} - \frac{8}{5} = \frac{16 \cdot 5}{7 \cdot 5} - \frac{8 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{80}{35} - \frac{56}{35} = \frac{80 - 56}{35} = \frac{24}{35}$

Ответ: $\frac{24}{35}$

д) $6\frac{1}{4} - 3\frac{2}{5}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 равен 20. Домножим первую дробь на 5, а вторую на 4:

$\frac{25}{4} - \frac{17}{5} = \frac{25 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{17 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{125}{20} - \frac{68}{20} = \frac{125 - 68}{20} = \frac{57}{20}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{57}{20} = 2\frac{17}{20}$

Ответ: $2\frac{17}{20}$

е) $4\frac{1}{6} - 1\frac{2}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 равен 6. Домножим вторую дробь на 2:

$\frac{25}{6} - \frac{5}{3} = \frac{25}{6} - \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{25}{6} - \frac{10}{6} = \frac{25 - 10}{6} = \frac{15}{6}$

Сократим полученную дробь и преобразуем ее в смешанное число:

$\frac{15}{6} = \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$

8.62 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ По какому правилу составляется последовательность чисел? Запишите три следующих числа этой последовательности, найдите сумму всех шести записанных чисел:

а) $5, 4\frac{2}{3}, 4\frac{1}{3}, \dots$

б) $3\frac{1}{2}, 3, 2\frac{1}{2}, \dots$

а)

Исходная последовательность: $5, 4\frac{2}{3}, 4\frac{1}{3}, ...$
Чтобы определить правило, по которому составляется последовательность, найдем разность между соседними членами:
$4\frac{2}{3} - 5 = 4\frac{2}{3} - 4\frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$
$4\frac{1}{3} - 4\frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$
Правило: каждое следующее число в последовательности на $\frac{1}{3}$ меньше предыдущего.

Используя это правило, найдем три следующих числа:
Четвертое число: $4\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 4$
Пятое число: $4 - \frac{1}{3} = 3\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = 3\frac{2}{3}$
Шестое число: $3\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 3\frac{1}{3}$
Таким образом, следующие три числа: $4, 3\frac{2}{3}, 3\frac{1}{3}$.

Теперь найдем сумму всех шести чисел: $5, 4\frac{2}{3}, 4\frac{1}{3}, 4, 3\frac{2}{3}, 3\frac{1}{3}$.
$S = 5 + 4\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3} + 4 + 3\frac{2}{3} + 3\frac{1}{3}$
Сложим отдельно целые и дробные части.
Сумма целых частей: $5 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3 = 23$.
Сумма дробных частей: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2+1+2+1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Общая сумма: $23 + 2 = 25$.

Ответ: правило - каждое следующее число на $\frac{1}{3}$ меньше предыдущего; следующие три числа: $4, 3\frac{2}{3}, 3\frac{1}{3}$; сумма всех шести чисел равна $25$.

б)

Исходная последовательность: $3\frac{1}{2}, 3, 2\frac{1}{2}, ...$
Чтобы определить правило, по которому составляется последовательность, найдем разность между соседними членами:
$3 - 3\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$2\frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$
Правило: каждое следующее число в последовательности на $\frac{1}{2}$ меньше предыдущего.

Используя это правило, найдем три следующих числа:
Четвертое число: $2\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 2$
Пятое число: $2 - \frac{1}{2} = 1\frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$
Шестое число: $1\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$
Таким образом, следующие три числа: $2, 1\frac{1}{2}, 1$.

Теперь найдем сумму всех шести чисел: $3\frac{1}{2}, 3, 2\frac{1}{2}, 2, 1\frac{1}{2}, 1$.
$S = 3\frac{1}{2} + 3 + 2\frac{1}{2} + 2 + 1\frac{1}{2} + 1$
Сложим отдельно целые и дробные части.
Сумма целых частей: $3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 12$.
Сумма дробных частей: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Общая сумма: $12 + 1\frac{1}{2} = 13\frac{1}{2}$.

Ответ: правило - каждое следующее число на $\frac{1}{2}$ меньше предыдущего; следующие три числа: $2, 1\frac{1}{2}, 1$; сумма всех шести чисел равна $13\frac{1}{2}$.

8.63 a) Из $7\frac{1}{2}$ т картофеля магазин продал $3\frac{1}{4}$ т. Сколько тонн картофеля осталось?

б) В куске было $10\frac{3}{4}$ м материи. На платья израсходовали $8\frac{1}{2}$ м. Сколько метров материи осталось в куске?

а)

Чтобы узнать, сколько тонн картофеля осталось, необходимо из первоначального количества вычесть количество проданного картофеля.

$7\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4}$

Для вычитания смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 – это 4.

$7\frac{1}{2} = 7\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 7\frac{2}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$7\frac{2}{4} - 3\frac{1}{4} = (7-3) + (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = 4 + \frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$

Ответ: осталось $4\frac{1}{4}$ тонны картофеля.

б)

Чтобы найти, сколько метров материи осталось в куске, нужно из начальной длины материи вычесть ту часть, что израсходовали на платья.

$10\frac{3}{4} - 8\frac{1}{2}$

Приведем дробные части к общему знаменателю 4.

$8\frac{1}{2} = 8\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 8\frac{2}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$10\frac{3}{4} - 8\frac{2}{4} = (10-8) + (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = 2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$

Ответ: в куске осталось $2\frac{1}{4}$ метра материи.

8.64 От куска проволоки длиной $5\frac{1}{2}$ м отрезали $2\frac{7}{10}$ м проволоки. Сколько метров проволоки осталось? Какой кусок длиннее: отрезанный или оставшийся? На сколько?

Сколько метров проволоки осталось?

Чтобы найти, сколько метров проволоки осталось, необходимо из первоначальной длины куска вычесть длину отрезанной части.

Начальная длина проволоки: $5\frac{1}{2}$ м.

Длина отрезанного куска: $2\frac{7}{10}$ м.

Выполним вычитание: $5\frac{1}{2} - 2\frac{7}{10}$.

Для вычитания смешанных чисел с разными знаменателями, приведем их дробовые части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 10 – это 10.

$5\frac{1}{2} = 5\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = 5\frac{5}{10}$

Теперь наше выражение выглядит так: $5\frac{5}{10} - 2\frac{7}{10}$.

Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{10}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{7}{10}$), нам нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

$5\frac{5}{10} = 4 + 1 + \frac{5}{10} = 4 + \frac{10}{10} + \frac{5}{10} = 4\frac{15}{10}$

Теперь вычитание можно выполнить:

$4\frac{15}{10} - 2\frac{7}{10} = (4-2) + (\frac{15-7}{10}) = 2\frac{8}{10}$

Сократим дробную часть полученного числа, разделив числитель и знаменатель на 2:

$2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5}$

Ответ: осталось $2\frac{4}{5}$ м проволоки.

Какой кусок длиннее: отрезанный или оставшийся?

Чтобы определить, какой кусок длиннее, сравним их длины.

Длина отрезанного куска: $2\frac{7}{10}$ м.

Длина оставшегося куска: $2\frac{4}{5}$ м.

Приведем дробь $2\frac{4}{5}$ к знаменателю 10 для удобства сравнения:

$2\frac{4}{5} = 2\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 2\frac{8}{10}$

Теперь сравним $2\frac{7}{10}$ м и $2\frac{8}{10}$ м. Целые части у чисел одинаковые, поэтому сравниваем дробные части:

$\frac{7}{10} < \frac{8}{10}$

Следовательно, $2\frac{7}{10} < 2\frac{8}{10}$. Это означает, что оставшийся кусок проволоки длиннее отрезанного.

Ответ: оставшийся кусок длиннее.

На сколько?

Чтобы найти, на сколько оставшийся кусок длиннее отрезанного, нужно из большей длины вычесть меньшую.

$2\frac{8}{10} - 2\frac{7}{10} = (2-2) + (\frac{8-7}{10}) = 0 + \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$

Ответ: оставшийся кусок длиннее отрезанного на $\frac{1}{10}$ м.

8.65 а) Найдите скорость лодки по течению реки и скорость лодки против течения, если её собственная скорость 8 км/ч, а скорость течения реки $1\frac{1}{2}$ км/ч.

б) Скорость лодки по течению реки равна $17\frac{1}{2}$ км/ч, а скорость течения реки равна $2\frac{3}{4}$ км/ч. Найдите собственную скорость лодки и её скорость против течения реки.

а)

Для нахождения скорости лодки по течению реки необходимо сложить её собственную скорость и скорость течения. Скорость лодки против течения находится путем вычитания скорости течения из собственной скорости лодки.

1. Найдём скорость лодки по течению:
$v_{по\;течению} = v_{собственная} + v_{течения} = 8 + 1\frac{1}{2} = 9\frac{1}{2}$ км/ч.

2. Найдём скорость лодки против течения:
$v_{против\;течения} = v_{собственная} - v_{течения} = 8 - 1\frac{1}{2} = 7\frac{2}{2} - 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}$ км/ч.

Ответ: скорость лодки по течению реки равна $9\frac{1}{2}$ км/ч, а скорость против течения — $6\frac{1}{2}$ км/ч.

б)

Сначала необходимо найти собственную скорость лодки. Так как скорость по течению — это сумма собственной скорости и скорости течения, то собственную скорость можно найти, вычтя из скорости по течению скорость течения. Затем, зная собственную скорость, можно найти скорость против течения.

1. Найдём собственную скорость лодки:
$v_{собственная} = v_{по\;течению} - v_{течения} = 17\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4} = 17\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4} = 16\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = 14\frac{3}{4}$ км/ч.

2. Найдём скорость лодки против течения:
$v_{против\;течения} = v_{собственная} - v_{течения} = 14\frac{3}{4} - 2\frac{3}{4} = 12$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки равна $14\frac{3}{4}$ км/ч, а её скорость против течения реки — $12$ км/ч.