Страница 169 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

На примере дроби $\frac{37}{15}$ покажите, как из неправильной дроби выделяют целую часть.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. В дроби $\frac{37}{15}$ числитель 37 больше знаменателя 15, поэтому из нее можно выделить целую часть.

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, необходимо разделить ее числитель на знаменатель с остатком.

1. Выполним деление числителя 37 на знаменатель 15:

$37 \div 15 = 2$ (неполное частное)

Полученное неполное частное (2) будет целой частью смешанного числа.

2. Найдем остаток от этого деления. Для этого умножим знаменатель (15) на полученную целую часть (2) и вычтем результат из числителя (37):

$37 - (15 \times 2) = 37 - 30 = 7$ (остаток)

Полученный остаток (7) будет числителем дробной части смешанного числа.

3. Запишем смешанное число. Знаменатель (15) остается без изменений.

Целая часть – 2, числитель дробной части – 7, знаменатель дробной части – 15.

Таким образом, получаем:

$\frac{37}{15} = 2\frac{7}{15}$

Ответ: $2\frac{7}{15}$

целую часть.

Как представить число $3\frac{2}{7}$ в виде неправильной дроби?

Чтобы представить смешанное число $3 \frac{2}{7}$ в виде неправильной дроби, необходимо его целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель. Результат этого действия станет новым числителем, а знаменатель останется прежним.

Выполним вычисления по шагам:

1. Умножаем целую часть ($3$) на знаменатель ($7$):
$3 \cdot 7 = 21$

2. К полученному результату ($21$) прибавляем числитель ($2$):
$21 + 2 = 23$

3. Полученное число ($23$) записываем в числитель новой дроби, а знаменатель ($7$) оставляем без изменений.

Таким образом, преобразование выглядит следующим образом:

$3 \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{21 + 2}{7} = \frac{23}{7}$

Ответ: $\frac{23}{7}$

8.27 Прочитайте смешанную дробь, запишите её в виде суммы целой и дробной частей:

а) $1\frac{1}{2}$; б) $3\frac{2}{7}$; в) $5\frac{1}{9}$; г) $4\frac{2}{3}$; д) $2\frac{11}{12}$; е) $4\frac{2}{5}$.

а) Смешанная дробь $1\frac{1}{2}$ читается как «одна целая одна вторая». По определению, смешанная дробь – это сумма её целой и дробной частей. Следовательно, мы можем записать её в виде суммы:
$1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$.
Ответ: $1 + \frac{1}{2}$

б) Смешанная дробь $3\frac{2}{7}$ читается как «три целых две седьмых». Запись этой дроби в виде суммы её целой и дробной частей:
$3\frac{2}{7} = 3 + \frac{2}{7}$.
Ответ: $3 + \frac{2}{7}$

в) Смешанная дробь $5\frac{1}{9}$ читается как «пять целых одна девятая». Запись этой дроби в виде суммы её целой и дробной частей:
$5\frac{1}{9} = 5 + \frac{1}{9}$.
Ответ: $5 + \frac{1}{9}$

г) Смешанная дробь $4\frac{2}{3}$ читается как «четыре целых две третьих». Запись этой дроби в виде суммы её целой и дробной частей:
$4\frac{2}{3} = 4 + \frac{2}{3}$.
Ответ: $4 + \frac{2}{3}$

д) Смешанная дробь $2\frac{11}{12}$ читается как «две целых одиннадцать двенадцатых». Запись этой дроби в виде суммы её целой и дробной частей:
$2\frac{11}{12} = 2 + \frac{11}{12}$.
Ответ: $2 + \frac{11}{12}$

е) Смешанная дробь $4\frac{2}{5}$ читается как «четыре целых две пятых». Запись этой дроби в виде суммы её целой и дробной частей:
$4\frac{2}{5} = 4 + \frac{2}{5}$.
Ответ: $4 + \frac{2}{5}$

8.28 Выразите в граммах:

а) $2 \frac{1}{10}$ кг;

б) $4 \frac{1}{2}$ кг;

в) $1 \frac{3}{4}$ кг;

г) $3 \frac{2}{5}$ кг.

Образец. Выразим $1 \frac{3}{5}$ кг в граммах.

1 кг = 1000 г, $\frac{3}{5}$ кг = 600 г. Значит, $1 \frac{3}{5}$ кг = 1600 г.

Чтобы выразить массу из килограммов в граммах, необходимо использовать соотношение: 1 кг = 1000 г. Для смешанных чисел мы переводим в граммы отдельно целую и дробную части, а затем складываем результаты.

а) Выразим $2\frac{1}{10}$ кг в граммах.
Сначала переведем целую часть: $2 \text{ кг} = 2 \times 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.
Затем переведем дробную часть: $\frac{1}{10} \text{ кг} = \frac{1}{10} \times 1000 \text{ г} = 100 \text{ г}$.
Теперь сложим полученные значения: $2000 \text{ г} + 100 \text{ г} = 2100 \text{ г}$.
Ответ: 2100 г.

б) Выразим $4\frac{1}{2}$ кг в граммах.
Переведем целую часть: $4 \text{ кг} = 4 \times 1000 \text{ г} = 4000 \text{ г}$.
Переведем дробную часть: $\frac{1}{2} \text{ кг} = \frac{1}{2} \times 1000 \text{ г} = 500 \text{ г}$.
Сложим полученные значения: $4000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 4500 \text{ г}$.
Ответ: 4500 г.

в) Выразим $1\frac{3}{4}$ кг в граммах.
Переведем целую часть: $1 \text{ кг} = 1 \times 1000 \text{ г} = 1000 \text{ г}$.
Переведем дробную часть: $\frac{3}{4} \text{ кг} = \frac{3}{4} \times 1000 \text{ г} = 3 \times 250 \text{ г} = 750 \text{ г}$.
Сложим полученные значения: $1000 \text{ г} + 750 \text{ г} = 1750 \text{ г}$.
Ответ: 1750 г.

г) Выразим $3\frac{2}{5}$ кг в граммах.
Переведем целую часть: $3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$.
Переведем дробную часть: $\frac{2}{5} \text{ кг} = \frac{2}{5} \times 1000 \text{ г} = 2 \times 200 \text{ г} = 400 \text{ г}$.
Сложим полученные значения: $3000 \text{ г} + 400 \text{ г} = 3400 \text{ г}$.
Ответ: 3400 г.

8.29 Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, равный 4 клеткам тетради). Отметьте на ней числа $1\frac{1}{2}$, $2\frac{3}{4}$, $3\frac{1}{4}$, $4\frac{1}{2}$, $5\frac{1}{8}$, $6\frac{1}{4}$.

Для решения задачи построим координатную прямую, выбрав правильный масштаб, и затем отметим на ней заданные числа, рассчитав их точное положение.

Сначала начертим горизонтальную линию — это будет наша координатная прямая. Отметим на ней точку начала отсчета 0. По условию, единичный отрезок (расстояние от 0 до 1, от 1 до 2 и т.д.) равен 4 клеткам тетради. Это наш масштаб.

Таким образом:

• Число 1 будет находиться на расстоянии $1 \times 4 = 4$ клетки от 0.
• Число 2 будет находиться на расстоянии $2 \times 4 = 8$ клеток от 0.
• И так далее для всех целых чисел.

Чтобы отметить на прямой смешанные числа, нужно определить, какому количеству клеток соответствуют их дробные части.

• Для дробей со знаменателем 2: $\frac{1}{2}$ единичного отрезка соответствует $4 \text{ клетки} \times \frac{1}{2} = 2$ клеткам.
• Для дробей со знаменателем 4: $\frac{1}{4}$ единичного отрезка соответствует $4 \text{ клетки} \times \frac{1}{4} = 1$ клетке. Соответственно, $\frac{3}{4}$ — это 3 клетки.
• Для дробей со знаменателем 8: $\frac{1}{8}$ единичного отрезка соответствует $4 \text{ клетки} \times \frac{1}{8} = 0.5$ клетки (половине клетки).

Теперь вычислим точное положение каждой точки в клетках от начала отсчета (точки 0):

• Для $1\frac{1}{2}$: Целая часть '1' — это 4 клетки. Дробная часть $\frac{1}{2}$ — это еще 2 клетки. Итого: $4 + 2 = 6$ клеток от 0.
• Для $2\frac{3}{4}$: Целая часть '2' — это $2 \times 4 = 8$ клеток. Дробная часть $\frac{3}{4}$ — это еще 3 клетки. Итого: $8 + 3 = 11$ клеток от 0.
• Для $3\frac{1}{4}$: Целая часть '3' — это $3 \times 4 = 12$ клеток. Дробная часть $\frac{1}{4}$ — это еще 1 клетка. Итого: $12 + 1 = 13$ клеток от 0.
• Для $4\frac{1}{2}$: Целая часть '4' — это $4 \times 4 = 16$ клеток. Дробная часть $\frac{1}{2}$ — это еще 2 клетки. Итого: $16 + 2 = 18$ клеток от 0.
• Для $5\frac{1}{8}$: Целая часть '5' — это $5 \times 4 = 20$ клеток. Дробная часть $\frac{1}{8}$ — это еще 0.5 клетки. Итого: $20.5$ клеток от 0.
• Для $6\frac{1}{4}$: Целая часть '6' — это $6 \times 4 = 24$ клетки. Дробная часть $\frac{1}{4}$ — это еще 1 клетка. Итого: $24 + 1 = 25$ клеток от 0.

Ответ:

Ниже представлена координатная прямая, на которой отмечены заданные числа в соответствии с расчетами. Маленькие серые деления обозначают границы клеток.

8.30 Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 6 клеткам тетради. Отметьте на ней числа $1\frac{1}{2}$, $1\frac{1}{6}$, $1\frac{1}{3}$, $2\frac{2}{3}$, $2\frac{1}{2}$, $2\frac{5}{6}$, $2\frac{1}{12}$.

Для выполнения этого задания необходимо начертить координатную прямую и выбрать на ней единичный отрезок, равный 6 клеткам тетради. Это означает, что расстояние между любыми двумя соседними целыми числами (например, между 0 и 1, 1 и 2) будет составлять 6 клеток.

Чтобы отметить на этой прямой заданные числа, мы должны определить, на каком расстоянии от ближайшего целого числа слева находится каждая точка. Для этого мы умножаем дробную часть числа на длину единичного отрезка (6 клеток).

$1\frac{1}{2}$

Эта точка расположена между 1 и 2. Чтобы найти ее точное положение, вычислим, сколько клеток составляет $\frac{1}{2}$ от единичного отрезка: $\frac{1}{2} \times 6 = 3$ клетки. Следовательно, точка $1\frac{1}{2}$ находится на 3 клетки правее отметки 1.

$1\frac{1}{6}$

Эта точка расположена между 1 и 2. Вычислим расстояние в клетках для дробной части $\frac{1}{6}$: $\frac{1}{6} \times 6 = 1$ клетка. Следовательно, точка $1\frac{1}{6}$ находится на 1 клетку правее отметки 1.

$1\frac{1}{3}$

Эта точка расположена между 1 и 2. Вычислим расстояние в клетках для дробной части $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} \times 6 = 2$ клетки. Следовательно, точка $1\frac{1}{3}$ находится на 2 клетки правее отметки 1.

$2\frac{2}{3}$

Эта точка расположена между 2 и 3. Вычислим расстояние в клетках для дробной части $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ клетки. Следовательно, точка $2\frac{2}{3}$ находится на 4 клетки правее отметки 2.

$2\frac{1}{2}$

Эта точка расположена между 2 и 3. Вычислим расстояние в клетках для дробной части $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \times 6 = 3$ клетки. Следовательно, точка $2\frac{1}{2}$ находится на 3 клетки правее отметки 2.

$2\frac{5}{6}$

Эта точка расположена между 2 и 3. Вычислим расстояние в клетках для дробной части $\frac{5}{6}$: $\frac{5}{6} \times 6 = 5$ клеток. Следовательно, точка $2\frac{5}{6}$ находится на 5 клеток правее отметки 2.

$2\frac{1}{12}$

Эта точка расположена между 2 и 3. Вычислим расстояние в клетках для дробной части $\frac{1}{12}$: $\frac{1}{12} \times 6 = 0.5$ клетки. Следовательно, точка $2\frac{1}{12}$ находится на полклетки правее отметки 2.

Ответ: Чтобы начертить координатную прямую, выполните следующие шаги:
1. Нарисуйте горизонтальную линию.
2. Отметьте на ней точку 0 (начало отсчета).
3. Отсчитайте 6 клеток вправо от 0 и поставьте отметку 1.
4. Отсчитайте 6 клеток вправо от 1 и поставьте отметку 2.
5. Отсчитайте 6 клеток вправо от 2 и поставьте отметку 3.
6. Теперь отметьте на прямой заданные точки в соответствии с расчетами (в порядке их возрастания):
- Точка $1\frac{1}{6}$ находится на 1 клетку правее отметки 1.
- Точка $1\frac{1}{3}$ находится на 2 клетки правее отметки 1.
- Точка $1\frac{1}{2}$ находится на 3 клетки правее отметки 1.
- Точка $2\frac{1}{12}$ находится на полклетки правее отметки 2.
- Точка $2\frac{1}{2}$ находится на 3 клетки правее отметки 2.
- Точка $2\frac{2}{3}$ находится на 4 клетки правее отметки 2.
- Точка $2\frac{5}{6}$ находится на 5 клеток правее отметки 2.

8.31 Выделите целую часть из дроби:

а) $ \frac{5}{3} $, $ \frac{8}{3} $, $ \frac{9}{2} $, $ \frac{21}{11} $;

б) $ \frac{64}{15} $, $ \frac{43}{12} $, $ \frac{80}{9} $, $ \frac{78}{25} $.

а)

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, необходимо разделить её числитель на знаменатель. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется без изменений.

Выделим целую часть для каждой дроби:

Для дроби $\frac{5}{3}$: делим $5$ на $3$. Получаем неполное частное $1$ и остаток $2$. Следовательно, $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Для дроби $\frac{8}{3}$: делим $8$ на $3$. Получаем неполное частное $2$ и остаток $2$. Следовательно, $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Для дроби $\frac{9}{2}$: делим $9$ на $2$. Получаем неполное частное $4$ и остаток $1$. Следовательно, $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Для дроби $\frac{21}{11}$: делим $21$ на $11$. Получаем неполное частное $1$ и остаток $10$. Следовательно, $\frac{21}{11} = 1\frac{10}{11}$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$; $2\frac{2}{3}$; $4\frac{1}{2}$; $1\frac{10}{11}$.

б)

Применим то же правило для следующих дробей:

Для дроби $\frac{64}{15}$: делим $64$ на $15$. $64 = 4 \times 15 + 4$. Неполное частное равно $4$, остаток $4$. Следовательно, $\frac{64}{15} = 4\frac{4}{15}$.

Для дроби $\frac{43}{12}$: делим $43$ на $12$. $43 = 3 \times 12 + 7$. Неполное частное равно $3$, остаток $7$. Следовательно, $\frac{43}{12} = 3\frac{7}{12}$.

Для дроби $\frac{80}{9}$: делим $80$ на $9$. $80 = 8 \times 9 + 8$. Неполное частное равно $8$, остаток $8$. Следовательно, $\frac{80}{9} = 8\frac{8}{9}$.

Для дроби $\frac{78}{25}$: делим $78$ на $25$. $78 = 3 \times 25 + 3$. Неполное частное равно $3$, остаток $3$. Следовательно, $\frac{78}{25} = 3\frac{3}{25}$.

Ответ: $4\frac{4}{15}$; $3\frac{7}{12}$; $8\frac{8}{9}$; $3\frac{3}{25}$.

8.32 Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби:

а) $ \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{53}{6}; $

б) $ \frac{8}{5}, \frac{7}{2}, \frac{10}{3}, \frac{15}{4}, \frac{40}{9}. $

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь, необходимо числитель разделить на знаменатель с остатком. Результат деления (неполное частное) станет целой частью смешанной дроби, остаток от деления станет новым числителем, а знаменатель останется прежним.

а)

$ \frac{3}{2} $: Делим $3$ на $2$. Получаем $1$ и остаток $1$.
$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $.
Ответ: $1\frac{1}{2}$

$ \frac{5}{4} $: Делим $5$ на $4$. Получаем $1$ и остаток $1$.
$ \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $.
Ответ: $1\frac{1}{4}$

$ \frac{4}{3} $: Делим $4$ на $3$. Получаем $1$ и остаток $1$.
$ \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $.
Ответ: $1\frac{1}{3}$

$ \frac{7}{3} $: Делим $7$ на $3$. Получаем $2$ и остаток $1$.
$ \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} $.
Ответ: $2\frac{1}{3}$

$ \frac{53}{6} $: Делим $53$ на $6$. Получаем $8$ ($6 \times 8 = 48$) и остаток $5$ ($53 - 48 = 5$).
$ \frac{53}{6} = 8\frac{5}{6} $.
Ответ: $8\frac{5}{6}$

б)

$ \frac{8}{5} $: Делим $8$ на $5$. Получаем $1$ и остаток $3$.
$ \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} $.
Ответ: $1\frac{3}{5}$

$ \frac{7}{2} $: Делим $7$ на $2$. Получаем $3$ и остаток $1$.
$ \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} $.
Ответ: $3\frac{1}{2}$

$ \frac{10}{3} $: Делим $10$ на $3$. Получаем $3$ и остаток $1$.
$ \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $.
Ответ: $3\frac{1}{3}$

$ \frac{15}{4} $: Делим $15$ на $4$. Получаем $3$ ($4 \times 3 = 12$) и остаток $3$ ($15 - 12 = 3$).
$ \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} $.
Ответ: $3\frac{3}{4}$

$ \frac{40}{9} $: Делим $40$ на $9$. Получаем $4$ ($9 \times 4 = 36$) и остаток $4$ ($40 - 36 = 4$).
$ \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} $.
Ответ: $4\frac{4}{9}$

8.33 Сократите дробь и выделите из неё целую часть:

а) $ \frac{20}{8}, \frac{15}{10}, \frac{28}{21}, \frac{10}{6}, \frac{14}{4}; $

б) $ \frac{40}{15}, \frac{56}{12}, \frac{42}{9}, \frac{22}{4}, \frac{50}{6}. $

а)

Для дроби $\frac{20}{8}$:
Сначала сократим дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 20 и знаменателя 8. НОД(20, 8) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{20}{8} = \frac{20 \div 4}{8 \div 4} = \frac{5}{2}$
Теперь выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{5}{2}$. Разделим числитель на знаменатель с остатком: $5 \div 2 = 2$ и остаток 1.
Целая часть равна 2, а остаток 1 становится числителем дробной части.
$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$
Ответ: $2\frac{1}{2}$

Для дроби $\frac{15}{10}$:
Сократим дробь. НОД(15, 10) = 5.
$\frac{15}{10} = \frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2}$
Выделим целую часть: $3 \div 2 = 1$ и остаток 1.
$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$
Ответ: $1\frac{1}{2}$

Для дроби $\frac{28}{21}$:
Сократим дробь. НОД(28, 21) = 7.
$\frac{28}{21} = \frac{28 \div 7}{21 \div 7} = \frac{4}{3}$
Выделим целую часть: $4 \div 3 = 1$ и остаток 1.
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$

Для дроби $\frac{10}{6}$:
Сократим дробь. НОД(10, 6) = 2.
$\frac{10}{6} = \frac{10 \div 2}{6 \div 2} = \frac{5}{3}$
Выделим целую часть: $5 \div 3 = 1$ и остаток 2.
$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$
Ответ: $1\frac{2}{3}$

Для дроби $\frac{14}{4}$:
Сократим дробь. НОД(14, 4) = 2.
$\frac{14}{4} = \frac{14 \div 2}{4 \div 2} = \frac{7}{2}$
Выделим целую часть: $7 \div 2 = 3$ и остаток 1.
$\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$
Ответ: $3\frac{1}{2}$

б)

Для дроби $\frac{40}{15}$:
Сократим дробь. НОД(40, 15) = 5.
$\frac{40}{15} = \frac{40 \div 5}{15 \div 5} = \frac{8}{3}$
Выделим целую часть: $8 \div 3 = 2$ и остаток 2.
$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
Ответ: $2\frac{2}{3}$

Для дроби $\frac{56}{12}$:
Сократим дробь. НОД(56, 12) = 4.
$\frac{56}{12} = \frac{56 \div 4}{12 \div 4} = \frac{14}{3}$
Выделим целую часть: $14 \div 3 = 4$ и остаток 2.
$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$
Ответ: $4\frac{2}{3}$

Для дроби $\frac{42}{9}$:
Сократим дробь. НОД(42, 9) = 3.
$\frac{42}{9} = \frac{42 \div 3}{9 \div 3} = \frac{14}{3}$
Выделим целую часть: $14 \div 3 = 4$ и остаток 2.
$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$
Ответ: $4\frac{2}{3}$

Для дроби $\frac{22}{4}$:
Сократим дробь. НОД(22, 4) = 2.
$\frac{22}{4} = \frac{22 \div 2}{4 \div 2} = \frac{11}{2}$
Выделим целую часть: $11 \div 2 = 5$ и остаток 1.
$\frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$
Ответ: $5\frac{1}{2}$

Для дроби $\frac{50}{6}$:
Сократим дробь. НОД(50, 6) = 2.
$\frac{50}{6} = \frac{50 \div 2}{6 \div 2} = \frac{25}{3}$
Выделим целую часть: $25 \div 3 = 8$ и остаток 1.
$\frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$
Ответ: $8\frac{1}{3}$

8.34 Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби:

а) $1\frac{1}{2}$, $5\frac{1}{3}$, $3\frac{2}{5}$, $2\frac{3}{4}$, $4\frac{2}{3}$, $1\frac{2}{7}$.

б) $2\frac{1}{2}$, $1\frac{3}{5}$, $6\frac{1}{6}$, $3\frac{4}{9}$, $7\frac{3}{11}$, $5\frac{5}{12}$.

Для того чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, необходимо выполнить следующие действия:
1. Умножить целую часть на знаменатель дробной части.
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.
3. Результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить без изменений.
Общая формула преобразования выглядит так: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

а)

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{15 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}$

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$

Ответ: $\frac{3}{2}; \frac{16}{3}; \frac{17}{5}; \frac{11}{4}; \frac{14}{3}; \frac{9}{7}$.

б)

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

$6\frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{36 + 1}{6} = \frac{37}{6}$

$3\frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{27 + 4}{9} = \frac{31}{9}$

$7\frac{3}{11} = \frac{7 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{77 + 3}{11} = \frac{80}{11}$

$5\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{60 + 5}{12} = \frac{65}{12}$

Ответ: $\frac{5}{2}; \frac{8}{5}; \frac{37}{6}; \frac{31}{9}; \frac{80}{11}; \frac{65}{12}$.

РАССУЖДАЕМ (8.35–8.36)

8.35 Между какими последовательными натуральными числами заключено число:

а) $\frac{13}{4}$;

б) $\frac{26}{4}$;

в) $\frac{32}{5}$;

г) $\frac{35}{17}$;

д) $\frac{17}{15}$;

е) $\frac{54}{24}$?

Чтобы найти, между какими последовательными натуральными числами заключено данное число (дробь), нужно преобразовать неправильную дробь в смешанное число. Целая часть смешанного числа будет меньшим из двух искомых натуральных чисел, а следующее за ним натуральное число — большим.

Преобразуем дробь $\frac{13}{4}$ в смешанное число. Для этого разделим числитель 13 на знаменатель 4 с остатком:
$13 \div 4 = 3$ (остаток 1).
Следовательно, $\frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$.
Число $3\frac{1}{4}$ больше 3 и меньше 4, то есть выполняется неравенство $3 < 3\frac{1}{4} < 4$.
Это означает, что число $\frac{13}{4}$ заключено между натуральными числами 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

Преобразуем дробь $\frac{26}{4}$ в смешанное число. Разделим числитель 26 на знаменатель 4 с остатком:
$26 \div 4 = 6$ (остаток 2).
Следовательно, $\frac{26}{4} = 6\frac{2}{4} = 6\frac{1}{2}$.
Число $6\frac{1}{2}$ больше 6 и меньше 7, то есть $6 < 6\frac{1}{2} < 7$.
Это означает, что число $\frac{26}{4}$ заключено между натуральными числами 6 и 7.
Ответ: 6 и 7.

Преобразуем дробь $\frac{32}{5}$ в смешанное число. Разделим числитель 32 на знаменатель 5 с остатком:
$32 \div 5 = 6$ (остаток 2).
Следовательно, $\frac{32}{5} = 6\frac{2}{5}$.
Число $6\frac{2}{5}$ больше 6 и меньше 7, то есть $6 < 6\frac{2}{5} < 7$.
Это означает, что число $\frac{32}{5}$ заключено между натуральными числами 6 и 7.
Ответ: 6 и 7.

Преобразуем дробь $\frac{35}{17}$ в смешанное число. Разделим числитель 35 на знаменатель 17 с остатком:
$35 \div 17 = 2$ (остаток 1).
Следовательно, $\frac{35}{17} = 2\frac{1}{17}$.
Число $2\frac{1}{17}$ больше 2 и меньше 3, то есть $2 < 2\frac{1}{17} < 3$.
Это означает, что число $\frac{35}{17}$ заключено между натуральными числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

Преобразуем дробь $\frac{17}{15}$ в смешанное число. Разделим числитель 17 на знаменатель 15 с остатком:
$17 \div 15 = 1$ (остаток 2).
Следовательно, $\frac{17}{15} = 1\frac{2}{15}$.
Число $1\frac{2}{15}$ больше 1 и меньше 2, то есть $1 < 1\frac{2}{15} < 2$.
Это означает, что число $\frac{17}{15}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

Преобразуем дробь $\frac{54}{24}$ в смешанное число. Разделим числитель 54 на знаменатель 24 с остатком:
$54 \div 24 = 2$ (остаток 6).
Следовательно, $\frac{54}{24} = 2\frac{6}{24}$. Сократим дробную часть: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
Получаем смешанное число $2\frac{1}{4}$.
Число $2\frac{1}{4}$ больше 2 и меньше 3, то есть $2 < 2\frac{1}{4} < 3$.
Это означает, что число $\frac{54}{24}$ заключено между натуральными числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.