Страница 176 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.71 a) От куска шёлковой ткани отрезали $6\frac{2}{5}$ м, потом ещё $3\frac{3}{10}$ м, после чего осталось $1\frac{1}{2}$ м. Сколько всего метров шёлка было в куске?

б) Турист проехал на автобусе $2\frac{1}{5}$ ч, потом на попутной машине $1\frac{3}{10}$ ч и ещё шёл пешком четверть часа. Сколько часов турист был в пути?

а) Чтобы найти, сколько всего метров шёлка было в куске, нужно сложить длины всех частей: двух отрезанных и одной оставшейся.

Складываем длины: $6\frac{2}{5} + 3\frac{3}{10} + 1\frac{1}{2}$ м.

Чтобы сложить эти смешанные числа, приведём их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 10 и 2 это 10.

$6\frac{2}{5} = 6\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 6\frac{4}{10}$

$1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = 1\frac{5}{10}$

Теперь выполним сложение:

$6\frac{4}{10} + 3\frac{3}{10} + 1\frac{5}{10} = (6+3+1) + (\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{5}{10}) = 10 + \frac{4+3+5}{10} = 10 + \frac{12}{10}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{12}{10}$ в смешанное число: $\frac{12}{10} = 1\frac{2}{10}$. Сократим дробную часть: $1\frac{2}{10} = 1\frac{1}{5}$.

Следовательно, итоговая длина: $10 + 1\frac{1}{5} = 11\frac{1}{5}$ м.

Ответ: $11\frac{1}{5}$ м.

б) Чтобы найти, сколько всего часов турист был в пути, нужно сложить время, затраченное на каждый этап путешествия. Учтём, что четверть часа – это $\frac{1}{4}$ часа.

Складываем время: $2\frac{1}{5} + 1\frac{3}{10} + \frac{1}{4}$ ч.

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 10 и 4 это 20.

$2\frac{1}{5} = 2\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = 2\frac{4}{20}$

$1\frac{3}{10} = 1\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = 1\frac{6}{20}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$

Теперь сложим полученные числа:

$2\frac{4}{20} + 1\frac{6}{20} + \frac{5}{20} = (2+1) + (\frac{4}{20} + \frac{6}{20} + \frac{5}{20}) = 3 + \frac{4+6+5}{20} = 3 + \frac{15}{20}$

Сократим дробную часть: $\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$.

Итоговое время в пути составляет $3\frac{3}{4}$ ч.

Ответ: $3\frac{3}{4}$ ч.

8.72 a) Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один может проехать расстояние за 3 ч, а другой – за 2 ч. Какая часть расстояния будет между ними через 1 ч?

б) С двух турбаз одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Один турист может пройти расстояние между турбазами за 5 ч, а другой – за 3 ч. Какая часть расстояния окажется между ними через 1 ч?

а)

Примем все расстояние между пунктами А и В за 1 (единицу). Тогда:

1. Скорость первого автомобиля равна $\frac{1}{3}$ расстояния в час, так как он проезжает весь путь за 3 часа. За 1 час он проедет $\frac{1}{3}$ всего расстояния.

2. Скорость второго автомобиля равна $\frac{1}{2}$ расстояния в час, так как он проезжает весь путь за 2 часа. За 1 час он проедет $\frac{1}{2}$ всего расстояния.

3. Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости сближения складываются. За 1 час они вместе проедут часть расстояния, равную сумме пройденных ими частей:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

4. Чтобы найти, какая часть расстояния останется между ними, нужно из всего расстояния (1) вычесть ту часть, которую они уже проехали вместе:

$1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б)

Примем все расстояние между турбазами за 1 (единицу). Тогда:

1. Скорость первого туриста равна $\frac{1}{5}$ расстояния в час, так как он проходит весь путь за 5 часов. За 1 час он пройдет $\frac{1}{5}$ всего расстояния.

2. Скорость второго туриста равна $\frac{1}{3}$ расстояния в час, так как он проходит весь путь за 3 часа. За 1 час он пройдет $\frac{1}{3}$ всего расстояния.

3. Поскольку туристы идут навстречу друг другу, за 1 час они вместе пройдут часть расстояния, равную сумме пройденных ими частей:

$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}$

4. Чтобы найти, какая часть расстояния окажется между ними, нужно из всего расстояния (1) вычесть ту часть, которую они уже прошли вместе:

$1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$.

8.73 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Найдите неверные утверждения и опровергните их с помощью контрпримера.

а) Чётное число имеет только чётные делители.

б) Нечётное число имеет только нечётные делители.

в) Число, следующее за простым числом, всегда чётное.

г) Число, предшествующее простому числу, всегда нечётное.

Проанализируем каждое утверждение, чтобы найти неверные и опровергнуть их с помощью контрпримеров.

а) Чётное число имеет только чётные делители.

Это утверждение неверно. Любое натуральное число, включая чётные, делится на 1. Число 1 является нечётным. Следовательно, у любого чётного числа есть как минимум один нечётный делитель.

Контрпример: Возьмём чётное число 10. Его делители: 1, 2, 5, 10. Среди делителей есть нечётные числа 1 и 5. Это опровергает утверждение.

Ответ: утверждение неверно.

б) Нечётное число имеет только нечётные делители.

Это утверждение верно. Докажем это. Пусть $n$ — нечётное число. Предположим, что у него есть чётный делитель $d$. Если делитель $d$ — чётный, его можно записать как $d = 2k$ для некоторого целого числа $k$. Поскольку $d$ является делителем $n$, то и число $n$ можно представить в виде произведения $n = d \cdot m$ для некоторого целого числа $m$. Подставим выражение для $d$: $n = (2k) \cdot m = 2(km)$. Это означает, что число $n$ делится на 2, то есть является чётным. Но это противоречит исходному условию, что $n$ — нечётное. Следовательно, наше предположение было неверным, и у нечётного числа могут быть только нечётные делители.

Ответ: утверждение верно.

в) Число, следующее за простым числом, всегда чётное.

Это утверждение неверно. Оно не выполняется для одного простого числа — двойки.

Контрпример: Число 2 является простым. Число, следующее за ним, — это 3. Число 3 является нечётным, а не чётным. Наличие этого единственного исключения делает утверждение ложным. Для всех остальных простых чисел (3, 5, 7, ...), которые являются нечётными, следующее за ними число действительно будет чётным.

Ответ: утверждение неверно.

г) Число, предшествующее простому числу, всегда нечётное.

Это утверждение неверно. Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Число, предшествующее любому нечётному числу, является чётным.

Контрпример: Возьмём простое число 5. Число, предшествующее ему, — это 4. Число 4 является чётным, а не нечётным. Другой пример: для простого числа 13 предшествующее число — 12 (чётное).

Ответ: утверждение неверно.

8.74 Расположите в порядке убывания числа:

a) $ \frac{2}{3} $, $ \frac{3}{2} $, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{4}{3} $;

б) $ \frac{5}{3} $, $ \frac{4}{7} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{7}{4} $;

в) $ 0,34 $; $ 0,5 $; $ 0,287 $; $ 0,512 $.

а) Чтобы расположить числа $ \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3} $ в порядке убывания, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное знаменателей 3, 2 и 4 равно 12.

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $
$ \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{16}{12} $

Теперь сравним полученные дроби по их числителям. Расположим их в порядке убывания:

$ \frac{18}{12} > \frac{16}{12} > \frac{9}{12} > \frac{8}{12} $

Это соответствует исходным числам в следующем порядке:

$ \frac{3}{2} > \frac{4}{3} > \frac{3}{4} > \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{3}{4}; \frac{2}{3} $.

б) Чтобы расположить числа $ \frac{5}{3}, \frac{4}{7}, \frac{3}{5}, \frac{7}{4} $ в порядке убывания, разделим их на две группы: неправильные дроби (больше 1) и правильные дроби (меньше 1).

Дроби больше 1: $ \frac{5}{3} $ и $ \frac{7}{4} $.
Дроби меньше 1: $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{5} $.

Сравним дроби в первой группе. Общий знаменатель для 3 и 4 равен 12.

$ \frac{5}{3} = \frac{20}{12} $; $ \frac{7}{4} = \frac{21}{12} $. Так как $ 21 > 20 $, то $ \frac{7}{4} > \frac{5}{3} $.

Теперь сравним дроби во второй группе. Общий знаменатель для 7 и 5 равен 35.

$ \frac{4}{7} = \frac{20}{35} $; $ \frac{3}{5} = \frac{21}{35} $. Так как $ 21 > 20 $, то $ \frac{3}{5} > \frac{4}{7} $.

Любая дробь из первой группы больше любой дроби из второй. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок убывания:

$ \frac{7}{4} > \frac{5}{3} > \frac{3}{5} > \frac{4}{7} $

Ответ: $ \frac{7}{4}; \frac{5}{3}; \frac{3}{5}; \frac{4}{7} $.

в) Чтобы расположить десятичные дроби 0,34; 0,5; 0,287; 0,512 в порядке убывания, сравним их поразрядно слева направо. Для удобства можно привести все числа к одинаковому количеству знаков после запятой:

0,340
0,500
0,287
0,512

Сравниваем целые части - они все равны 0.

Сравниваем десятые доли: 2, 3, 5, 5. Самые большие числа те, у которых в разряде десятых стоит 5: 0,500 и 0,512.

Сравним 0,500 и 0,512 по сотым долям: у 0,512 в разряде сотых 1, а у 0,500 - 0. Значит, $ 0,512 > 0,500 $.

Теперь сравним оставшиеся числа 0,340 и 0,287. В разряде десятых у 0,340 стоит 3, а у 0,287 - 2. Значит, $ 0,340 > 0,287 $.

Итоговый порядок убывания:

$ 0,512 > 0,5 > 0,34 > 0,287 $

Ответ: 0,512; 0,5; 0,34; 0,287.

8.75 Изобразите на координатной прямой дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{4}$ (возьмите в качестве единичного отрезка 20 клеток тетради). Назовите три дроби, заключённые между числами $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{4}$, и изобразите их точками на координатной прямой.

Изобразите на координатной прямой дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{4}$

По условию задачи, единичный отрезок равен 20 клеткам тетради. Это значит, что расстояние от точки 0 до точки 1 на координатной прямой составляет 20 клеток.

Чтобы найти положение дроби на этой прямой, нужно умножить значение дроби на длину единичного отрезка в клетках.

1. Для дроби $\frac{1}{10}$:
$ \frac{1}{10} \times 20 = 2 $ клетки.
Точка, соответствующая дроби $\frac{1}{10}$, находится на расстоянии 2 клеток справа от 0.

2. Для дроби $\frac{1}{4}$:
$ \frac{1}{4} \times 20 = 5 $ клеток.
Точка, соответствующая дроби $\frac{1}{4}$, находится на расстоянии 5 клеток справа от 0.

Ответ: Чтобы изобразить дроби, нужно начертить координатную прямую, отметить на ней 0, отсчитать 2 клетки и поставить точку $\frac{1}{10}$, затем от 0 отсчитать 5 клеток и поставить точку $\frac{1}{4}$.

Назовите три дроби, заключённые между числами $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{4}$, и изобразите их точками на координатной прямой

Сначала найдём три дроби, которые больше $\frac{1}{10}$ и меньше $\frac{1}{4}$. Для этого приведём исходные дроби к общему знаменателю. Возьмём в качестве общего знаменателя число 40.

$ \frac{1}{10} = \frac{1 \times 4}{10 \times 4} = \frac{4}{40} $
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 10}{4 \times 10} = \frac{10}{40} $

Теперь нам нужно найти три дроби, которые находятся между $\frac{4}{40}$ и $\frac{10}{40}$. В этом промежутке находятся дроби: $\frac{5}{40}$, $\frac{6}{40}$, $\frac{7}{40}$, $\frac{8}{40}$, $\frac{9}{40}$.

Выберем любые три из них, например: $\frac{5}{40}$, $\frac{6}{40}$ и $\frac{8}{40}$. Упростим их:

• $ \frac{5}{40} = \frac{1}{8} $
• $ \frac{6}{40} = \frac{3}{20} $
• $ \frac{8}{40} = \frac{1}{5} $

Теперь изобразим эти три дроби на той же координатной прямой. Для этого вычислим их положение в клетках:

• Для $\frac{1}{8}$: $ \frac{1}{8} \times 20 = \frac{20}{8} = 2.5 $ клетки от 0.
• Для $\frac{3}{20}$: $ \frac{3}{20} \times 20 = 3 $ клетки от 0.
• Для $\frac{1}{5}$: $ \frac{1}{5} \times 20 = 4 $ клетки от 0.

Все точки на координатной прямой будут расположены в следующем порядке: $\frac{1}{10}$ (2 клетки), $\frac{1}{8}$ (2.5 клетки), $\frac{3}{20}$ (3 клетки), $\frac{1}{5}$ (4 клетки), $\frac{1}{4}$ (5 клеток).

Схематическое изображение координатной прямой со всеми точками:

Ответ: Три дроби, заключённые между $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{4}$ — это, например, $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{20}$ и $\frac{1}{5}$. Их изображение на координатной прямой показано на рисунке выше.