Номер 8.73, страница 176 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.3. Сложение и вычитание смешанных дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.73, страница 176.

8.73 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Найдите неверные утверждения и опровергните их с помощью контрпримера.

а) Чётное число имеет только чётные делители.

б) Нечётное число имеет только нечётные делители.

в) Число, следующее за простым числом, всегда чётное.

г) Число, предшествующее простому числу, всегда нечётное.

Проанализируем каждое утверждение, чтобы найти неверные и опровергнуть их с помощью контрпримеров.

а) Чётное число имеет только чётные делители.

Это утверждение неверно. Любое натуральное число, включая чётные, делится на 1. Число 1 является нечётным. Следовательно, у любого чётного числа есть как минимум один нечётный делитель.

Контрпример: Возьмём чётное число 10. Его делители: 1, 2, 5, 10. Среди делителей есть нечётные числа 1 и 5. Это опровергает утверждение.

Ответ: утверждение неверно.

б) Нечётное число имеет только нечётные делители.

Это утверждение верно. Докажем это. Пусть $n$ — нечётное число. Предположим, что у него есть чётный делитель $d$. Если делитель $d$ — чётный, его можно записать как $d = 2k$ для некоторого целого числа $k$. Поскольку $d$ является делителем $n$, то и число $n$ можно представить в виде произведения $n = d \cdot m$ для некоторого целого числа $m$. Подставим выражение для $d$: $n = (2k) \cdot m = 2(km)$. Это означает, что число $n$ делится на 2, то есть является чётным. Но это противоречит исходному условию, что $n$ — нечётное. Следовательно, наше предположение было неверным, и у нечётного числа могут быть только нечётные делители.

Ответ: утверждение верно.

в) Число, следующее за простым числом, всегда чётное.

Это утверждение неверно. Оно не выполняется для одного простого числа — двойки.

Контрпример: Число 2 является простым. Число, следующее за ним, — это 3. Число 3 является нечётным, а не чётным. Наличие этого единственного исключения делает утверждение ложным. Для всех остальных простых чисел (3, 5, 7, ...), которые являются нечётными, следующее за ними число действительно будет чётным.

Ответ: утверждение неверно.

г) Число, предшествующее простому числу, всегда нечётное.

Это утверждение неверно. Все простые числа, кроме 2, являются нечётными. Число, предшествующее любому нечётному числу, является чётным.

Контрпример: Возьмём простое число 5. Число, предшествующее ему, — это 4. Число 4 является чётным, а не нечётным. Другой пример: для простого числа 13 предшествующее число — 12 (чётное).

Ответ: утверждение неверно.