Номер 8.67, страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.3. Сложение и вычитание смешанных дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.67, страница 175.

ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ (8.67–8.68)

8.67 1) Подметьте закономерность в последовательности сумм:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$;

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} = 6\frac{7}{8}$;

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} = 10\frac{15}{16}$.

2) Запишите следующее равенство и проверьте результат сложением.

1) Подметьте закономерности в последовательности сумм:

Проанализируем представленную последовательность равенств:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} = 6\frac{7}{8}$

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} = 10\frac{15}{16}$

Можно выделить следующие закономерности:

• Слагаемые: Каждая следующая сумма получается путем добавления нового слагаемого к предыдущей. Слагаемые представляют собой смешанные числа, у которых целая часть последовательно увеличивается на 1 ($1, 2, 3, 4, \dots$), а знаменатель дробной части удваивается ($2, 4, 8, 16, \dots$). Таким образом, n-е слагаемое в сумме имеет вид $n\frac{1}{2^n}$.
• Целая часть результата: Целая часть результата равна сумме целых частей всех слагаемых в выражении.
  • Для первой суммы: $1 + 2 = 3$.
  • Для второй суммы: $1 + 2 + 3 = 6$.
  • Для третьей суммы: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
• Дробная часть результата: Дробная часть результата равна сумме дробных частей всех слагаемых.
  • Для первой суммы: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$.
  • Для второй суммы: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$.
  • Для третьей суммы: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{8+4+2+1}{16} = \frac{15}{16}$.
  Также можно заметить, что знаменатель дробной части в ответе совпадает со знаменателем последнего слагаемого, а числитель на единицу меньше знаменателя.

Ответ: Основные закономерности: 1) каждое новое слагаемое имеет вид $n\frac{1}{2^n}$ и добавляется к предыдущей сумме; 2) целая часть ответа является суммой целых частей слагаемых ($1+2+...+n$); 3) дробная часть ответа является суммой дробных частей слагаемых ($\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}$), которая равна дроби $\frac{2^n-1}{2^n}$.

2) Запишите следующее равенство и проверьте результат сложением.

Используя выявленные закономерности, следующее равенство в последовательности должно включать пятое слагаемое. Целая часть этого слагаемого будет 5, а знаменатель дробной части $16 \times 2 = 32$. Таким образом, новое слагаемое — это $5\frac{1}{32}$.

Следующее равенство должно выглядеть так:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = ?$

Для нахождения результата сложим сумму из предыдущего равенства с новым слагаемым:

$(1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16}) + 5\frac{1}{32} = 10\frac{15}{16} + 5\frac{1}{32}$

Теперь выполним проверку сложением:

1. Сложим целые части: $10 + 5 = 15$.

2. Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 32:

$\frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{15 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32} = \frac{30}{32} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$.

3. Объединим полученные целую и дробную части:

$15 + \frac{31}{32} = 15\frac{31}{32}$.

Проверка подтверждает, что следующее равенство в последовательности:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = 15\frac{31}{32}$.

Ответ: $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = 15\frac{31}{32}$.