Номер 8.68, страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.3. Сложение и вычитание смешанных дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.68, страница 175.

8.68 1) Вычислите разности: $1 - \frac{1}{2}$, $2 - \frac{1}{3}$, $3 - \frac{1}{4}$, $4 - \frac{1}{5}$.

2) Продолжите эту цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

3) Какая разность должна стоять на 100-м месте? Чему равно её значение?

1) Вычислите разности: $1 - \frac{1}{2}$, $2 - \frac{1}{3}$, $3 - \frac{1}{4}$, $4 - \frac{1}{5}$.

Для вычисления каждой разности представим целое число в виде дроби с соответствующим знаменателем, а затем выполним вычитание.

$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$

$2 - \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3}$ (или $1\frac{2}{3}$)

$3 - \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{12-1}{4} = \frac{11}{4}$ (или $2\frac{3}{4}$)

$4 - \frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{20}{5} - \frac{1}{5} = \frac{20-1}{5} = \frac{19}{5}$ (или $3\frac{4}{5}$)

Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{5}{3}$; $\frac{11}{4}$; $\frac{19}{5}$.

2) Продолжите эту цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

Мы видим закономерность: каждое выражение имеет вид $n - \frac{1}{n+1}$, где $n$ — это порядковый номер выражения. Исходные выражения соответствуют $n=1, 2, 3, 4$.

Следовательно, следующие три выражения будут для $n=5, 6, 7$.

Пятое выражение: $5 - \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{30-1}{6} = \frac{29}{6}$ (или $4\frac{5}{6}$)

Шестое выражение: $6 - \frac{1}{7} = \frac{6 \cdot 7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{42-1}{7} = \frac{41}{7}$ (или $5\frac{6}{7}$)

Седьмое выражение: $7 - \frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{56-1}{8} = \frac{55}{8}$ (или $6\frac{7}{8}$)

Ответ: Следующие три выражения: $5 - \frac{1}{6} = \frac{29}{6}$; $6 - \frac{1}{7} = \frac{41}{7}$; $7 - \frac{1}{8} = \frac{55}{8}$.

3) Какая разность должна стоять на 100-м месте? Чему равно её значение?

Используя установленную закономерность $n - \frac{1}{n+1}$, для 100-го места в последовательности мы подставляем $n=100$.

Выражение на 100-м месте будет: $100 - \frac{1}{100+1} = 100 - \frac{1}{101}$.

Теперь вычислим значение этой разности:

$100 - \frac{1}{101} = \frac{100 \cdot 101}{101} - \frac{1}{101} = \frac{10100 - 1}{101} = \frac{10099}{101}$.

Это значение также можно представить в виде смешанного числа: $99\frac{100}{101}$.

Ответ: На 100-м месте должна стоять разность $100 - \frac{1}{101}$. Её значение равно $\frac{10099}{101}$ (или $99\frac{100}{101}$).