Страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.66 РАССУЖДАЕМ Вычислите сумму, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:

а) $2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{4} + 5\frac{1}{2};$

б) $1\frac{1}{3} + 4\frac{1}{6} + 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} + 3\frac{1}{4}.$

а) Чтобы вычислить сумму, используем переместительное и сочетательное свойства сложения. Сгруппируем отдельно целые и отдельно дробные части всех чисел.

$2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{4} + 5\frac{1}{2} = (2+2+3+3+4+4+5+5) + (\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2})$

Сначала вычислим сумму целых частей:

$2+2+3+3+4+4+5+5 = (2+3+4+5) + (2+3+4+5) = 14 + 14 = 28$

Теперь вычислим сумму дробных частей, сгруппировав дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = \frac{4}{4} + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3$

Сложим сумму целых и дробных частей, чтобы получить окончательный результат:

$28 + 3 = 31$

Ответ: $31$

б) Чтобы вычислить сумму, используем переместительное и сочетательное свойства сложения. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями в дробных частях.

$1\frac{1}{3} + 4\frac{1}{6} + 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} + 3\frac{1}{4} = (1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}) + (1\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4}) + 4\frac{1}{6}$

Вычислим сумму в первой группе (слагаемые с дробной частью со знаменателем 3):

$1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} = (1+2) + (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}) = 3 + \frac{3}{3} = 3 + 1 = 4$

Вычислим сумму во второй группе (слагаемые с дробной частью со знаменателем 4):

$1\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4} = (1+3) + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) = 4 + \frac{4}{4} = 4 + 1 = 5$

Теперь сложим полученные результаты и оставшееся слагаемое:

$4 + 5 + 4\frac{1}{6} = 9 + 4\frac{1}{6} = 13\frac{1}{6}$

Ответ: $13\frac{1}{6}$

ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ (8.67–8.68)

8.67 1) Подметьте закономерность в последовательности сумм:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$;

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} = 6\frac{7}{8}$;

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} = 10\frac{15}{16}$.

2) Запишите следующее равенство и проверьте результат сложением.

1) Подметьте закономерности в последовательности сумм:

Проанализируем представленную последовательность равенств:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} = 6\frac{7}{8}$

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} = 10\frac{15}{16}$

Можно выделить следующие закономерности:

• Слагаемые: Каждая следующая сумма получается путем добавления нового слагаемого к предыдущей. Слагаемые представляют собой смешанные числа, у которых целая часть последовательно увеличивается на 1 ($1, 2, 3, 4, \dots$), а знаменатель дробной части удваивается ($2, 4, 8, 16, \dots$). Таким образом, n-е слагаемое в сумме имеет вид $n\frac{1}{2^n}$.
• Целая часть результата: Целая часть результата равна сумме целых частей всех слагаемых в выражении.
  • Для первой суммы: $1 + 2 = 3$.
  • Для второй суммы: $1 + 2 + 3 = 6$.
  • Для третьей суммы: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
• Дробная часть результата: Дробная часть результата равна сумме дробных частей всех слагаемых.
  • Для первой суммы: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$.
  • Для второй суммы: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$.
  • Для третьей суммы: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{8+4+2+1}{16} = \frac{15}{16}$.
  Также можно заметить, что знаменатель дробной части в ответе совпадает со знаменателем последнего слагаемого, а числитель на единицу меньше знаменателя.

Ответ: Основные закономерности: 1) каждое новое слагаемое имеет вид $n\frac{1}{2^n}$ и добавляется к предыдущей сумме; 2) целая часть ответа является суммой целых частей слагаемых ($1+2+...+n$); 3) дробная часть ответа является суммой дробных частей слагаемых ($\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}$), которая равна дроби $\frac{2^n-1}{2^n}$.

2) Запишите следующее равенство и проверьте результат сложением.

Используя выявленные закономерности, следующее равенство в последовательности должно включать пятое слагаемое. Целая часть этого слагаемого будет 5, а знаменатель дробной части $16 \times 2 = 32$. Таким образом, новое слагаемое — это $5\frac{1}{32}$.

Следующее равенство должно выглядеть так:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = ?$

Для нахождения результата сложим сумму из предыдущего равенства с новым слагаемым:

$(1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16}) + 5\frac{1}{32} = 10\frac{15}{16} + 5\frac{1}{32}$

Теперь выполним проверку сложением:

1. Сложим целые части: $10 + 5 = 15$.

2. Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 32:

$\frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{15 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32} = \frac{30}{32} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$.

3. Объединим полученные целую и дробную части:

$15 + \frac{31}{32} = 15\frac{31}{32}$.

Проверка подтверждает, что следующее равенство в последовательности:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = 15\frac{31}{32}$.

Ответ: $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = 15\frac{31}{32}$.

8.68 1) Вычислите разности: $1 - \frac{1}{2}$, $2 - \frac{1}{3}$, $3 - \frac{1}{4}$, $4 - \frac{1}{5}$.

2) Продолжите эту цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

3) Какая разность должна стоять на 100-м месте? Чему равно её значение?

1) Вычислите разности: $1 - \frac{1}{2}$, $2 - \frac{1}{3}$, $3 - \frac{1}{4}$, $4 - \frac{1}{5}$.

Для вычисления каждой разности представим целое число в виде дроби с соответствующим знаменателем, а затем выполним вычитание.

$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$

$2 - \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3}$ (или $1\frac{2}{3}$)

$3 - \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{12-1}{4} = \frac{11}{4}$ (или $2\frac{3}{4}$)

$4 - \frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{20}{5} - \frac{1}{5} = \frac{20-1}{5} = \frac{19}{5}$ (или $3\frac{4}{5}$)

Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{5}{3}$; $\frac{11}{4}$; $\frac{19}{5}$.

2) Продолжите эту цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

Мы видим закономерность: каждое выражение имеет вид $n - \frac{1}{n+1}$, где $n$ — это порядковый номер выражения. Исходные выражения соответствуют $n=1, 2, 3, 4$.

Следовательно, следующие три выражения будут для $n=5, 6, 7$.

Пятое выражение: $5 - \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{30-1}{6} = \frac{29}{6}$ (или $4\frac{5}{6}$)

Шестое выражение: $6 - \frac{1}{7} = \frac{6 \cdot 7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{42-1}{7} = \frac{41}{7}$ (или $5\frac{6}{7}$)

Седьмое выражение: $7 - \frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{56-1}{8} = \frac{55}{8}$ (или $6\frac{7}{8}$)

Ответ: Следующие три выражения: $5 - \frac{1}{6} = \frac{29}{6}$; $6 - \frac{1}{7} = \frac{41}{7}$; $7 - \frac{1}{8} = \frac{55}{8}$.

3) Какая разность должна стоять на 100-м месте? Чему равно её значение?

Используя установленную закономерность $n - \frac{1}{n+1}$, для 100-го места в последовательности мы подставляем $n=100$.

Выражение на 100-м месте будет: $100 - \frac{1}{100+1} = 100 - \frac{1}{101}$.

Теперь вычислим значение этой разности:

$100 - \frac{1}{101} = \frac{100 \cdot 101}{101} - \frac{1}{101} = \frac{10100 - 1}{101} = \frac{10099}{101}$.

Это значение также можно представить в виде смешанного числа: $99\frac{100}{101}$.

Ответ: На 100-м месте должна стоять разность $100 - \frac{1}{101}$. Её значение равно $\frac{10099}{101}$ (или $99\frac{100}{101}$).

8.69 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1) Разберите, как вычислена разность:
$4\frac{4}{9} - \frac{7}{9} = \left(4\frac{4}{9} - 1\right) + \frac{2}{9} = 3\frac{4}{9} + \frac{2}{9} = 3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}$.
Мы заменили вычитаемое $\frac{7}{9}$ числом 1, а чтобы разность не изменилась, «вернули» $\frac{2}{9}$.

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, вычислите:

а) $4\frac{8}{15} - \frac{14}{15}$,

б) $3\frac{7}{11} - \frac{9}{11}$,

в) $9\frac{1}{21} - 5\frac{20}{21}$,

г) $10\frac{5}{64} - 3\frac{61}{64}$.

8.70 РАССУЖДАЕМ Не вычисляя сумму, сравните её с числом 10:

а) $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$;

б) $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25}$;

в) $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$;

г) $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3}$.

а) $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$

Чтобы сравнить сумму с числом 10, оценим первое слагаемое $9\frac{9}{10}$. Оно меньше 10. Чтобы из него получить 10, нужно прибавить $10 - 9\frac{9}{10} = \frac{1}{10}$. Второе слагаемое в выражении равно $\frac{1}{100}$. Теперь сравним то, что мы прибавляем ($\frac{1}{100}$), с тем, что нужно прибавить для получения 10 ($\frac{1}{10}$). Приведем дробь $\frac{1}{10}$ к знаменателю 100: $\frac{1}{10} = \frac{10}{100}$. Так как $1 < 10$, то $\frac{1}{100} < \frac{10}{100}$, а значит $\frac{1}{100} < \frac{1}{10}$. Мы прибавляем число, которое меньше, чем нужно для получения 10. Следовательно, сумма будет меньше 10.

Ответ: $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100} < 10$.

б) $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25}$

Первое слагаемое $9\frac{3}{4}$ меньше 10. До 10 ему не хватает $10 - 9\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. Мы прибавляем к нему $\frac{1}{25}$. Сравним $\frac{1}{25}$ и $\frac{1}{4}$. Из двух дробей с одинаковым числителем (1) меньше та, у которой знаменатель больше. Поскольку $25 > 4$, то $\frac{1}{25} < \frac{1}{4}$. Мы прибавляем число, которое меньше необходимого для получения 10. Значит, итоговая сумма меньше 10.

Ответ: $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25} < 10$.

в) $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

Первое слагаемое $9\frac{1}{2}$ меньше 10. Чтобы получить 10, к нему нужно добавить $10 - 9\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Мы же прибавляем $\frac{3}{4}$. Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Так как $3 > 2$, то $\frac{3}{4} > \frac{2}{4}$, а значит $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$. Мы прибавляем число, которое больше, чем нужно для получения 10. Следовательно, сумма будет больше 10.

Ответ: $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4} > 10$.

г) $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3}$

Сначала сложим целые части чисел: $4 + 5 = 9$. Теперь, чтобы сравнить всю сумму с 10, нам нужно сравнить сумму дробных частей с $10 - 9 = 1$. Сложим дробные части: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Сравним полученную сумму с 1. Так как числитель 5 меньше знаменателя 6, то дробь $\frac{5}{6} < 1$. Поскольку сумма целых частей равна 9, а сумма дробных частей меньше 1, то и вся сумма $9 + \frac{5}{6}$ будет меньше 10.

Ответ: $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3} < 10$.