Страница 181 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.96 Запишите все трёхзначные числа, сумма цифр которых равна 3.

Чтобы найти все трёхзначные числа, сумма цифр которых равна 3, будем перебирать возможные варианты. Обозначим трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц.

По условию задачи, сумма цифр должна быть равна 3:
$a + b + c = 3$.

Поскольку число трёхзначное, первая цифра $a$ не может быть равна нулю. Таким образом, $a$ может быть 1, 2 или 3. Если $a$ будет больше 3, то сумма цифр заведомо превысит 3, так как цифры $b$ и $c$ не могут быть отрицательными.

Рассмотрим последовательно все возможные случаи:

1. Первая цифра $a = 1$.
В этом случае сумма оставшихся двух цифр $b$ и $c$ должна быть равна $3 - 1 = 2$.
$b + c = 2$.
Возможные комбинации для $b$ и $c$:
- Если $b = 0$, то $c = 2$. Получается число 102.
- Если $b = 1$, то $c = 1$. Получается число 111.
- Если $b = 2$, то $c = 0$. Получается число 120.

2. Первая цифра $a = 2$.
Сумма оставшихся двух цифр $b$ и $c$ должна быть равна $3 - 2 = 1$.
$b + c = 1$.
Возможные комбинации для $b$ и $c$:
- Если $b = 0$, то $c = 1$. Получается число 201.
- Если $b = 1$, то $c = 0$. Получается число 210.

3. Первая цифра $a = 3$.
Сумма оставшихся двух цифр $b$ и $c$ должна быть равна $3 - 3 = 0$.
$b + c = 0$.
Единственное возможное решение — $b = 0$ и $c = 0$. Получается число 300.

Итак, мы нашли все возможные трёхзначные числа, удовлетворяющие условию.
Ответ: 102, 111, 120, 201, 210, 300.

8.97 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Вычислите значение каждого из выражений:

$2 - \frac{1}{2}$, $3 - \frac{1}{3}$, $4 - \frac{1}{4}$, $5 - \frac{1}{5}$.

Запишите следующую разность в цепочке данных выражений. Догадайтесь, чему она равна (проверьте вычислением). Какая разность будет на 10-м месте? Не вычисляя, запишите её значение.

Вычислите значение каждого из выражений

Для вычисления значений представим целое число в виде дроби с соответствующим знаменателем и выполним вычитание.

$2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

$3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

$5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$; $2\frac{2}{3}$; $3\frac{3}{4}$; $4\frac{4}{5}$.

Запишите следующую разность в цепочке данных выражений. Догадайтесь, чему она равна (проверьте вычислением).

В данной последовательности выражений ($2 - \frac{1}{2}$, $3 - \frac{1}{3}$, $4 - \frac{1}{4}$, $5 - \frac{1}{5}$) можно заметить закономерность: целая часть (уменьшаемое) и знаменатель дроби (вычитаемое) каждый раз увеличиваются на 1. Таким образом, следующее выражение в цепочке будет иметь вид:

$6 - \frac{1}{6}$

Можно предположить, что результат будет $5\frac{5}{6}$, продолжая закономерность в ответах: $1\frac{1}{2}$, $2\frac{2}{3}$, $3\frac{3}{4}$, $4\frac{4}{5}$. Проверим это вычислением:

$6 - \frac{1}{6} = \frac{36}{6} - \frac{1}{6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$

Предположение оказалось верным.

Ответ: Следующая разность в цепочке: $6 - \frac{1}{6}$. Ее значение равно $5\frac{5}{6}$.

Какая разность будет на 10-м месте? Не вычисляя, запишите её значение.

Общий вид выражения для n-го места в этой последовательности можно записать как $(n+1) - \frac{1}{n+1}$.

• 1-е место: $n=1 \rightarrow (1+1) - \frac{1}{1+1} = 2 - \frac{1}{2}$
• 2-е место: $n=2 \rightarrow (2+1) - \frac{1}{2+1} = 3 - \frac{1}{3}$
• 3-е место: $n=3 \rightarrow (3+1) - \frac{1}{3+1} = 4 - \frac{1}{4}$
• и так далее...

Чтобы найти разность, которая будет на 10-м месте, подставим $n=10$ в нашу формулу:

$(10+1) - \frac{1}{10+1} = 11 - \frac{1}{11}$

Согласно заданию, вычислять результат не требуется.

Ответ: $11 - \frac{1}{11}$.

8.98 Скопируйте рисунок в тетрадь и раскрасьте две части, составляющие круг, разными цветами (рис. 8.6).

а) б) Рис. 8.6

$I = \frac{N}{d}$

а)

На рисунке а) круг разделен на две части S-образной кривой, которая проходит через его центр. Эта кривая составлена из двух одинаковых полуокружностей, диаметры которых равны радиусу исходного круга.

Чтобы выполнить задание, необходимо скопировать этот рисунок и раскрасить две образовавшиеся области разными цветами. Например, область, расположенную преимущественно в верхней половине круга, можно закрасить одним цветом, а область в нижней половине — другим.

Важно отметить, что эта кривая делит круг на две фигуры с одинаковой площадью. Если радиус большого круга равен $R$, то его площадь составляет $S_{круга} = \pi R^2$. Площадь каждой из двух частей будет равна ровно половине, то есть $S_{части} = \frac{1}{2} \pi R^2$.

Ответ: Нужно скопировать рисунок и раскрасить две части, на которые S-образная линия делит круг, в два разных цвета.

б)

На рисунке б) показан круг, разделенный на две части кривой линией, которая соединяет верхнюю и нижнюю точки окружности. Эта линия, похожая на контур символа Инь-Ян, также состоит из двух полуокружностей, диаметры которых равны радиусу большого круга.

Задание заключается в том, чтобы скопировать рисунок и закрасить две полученные части разными цветами. Например, левую часть можно сделать красной, а правую — зеленой.

Как и в случае а), разделительная линия делит круг на две равновеликие (то есть равные по площади) фигуры. Площадь каждой из этих фигур составляет половину площади всего круга: $S_{части} = \frac{1}{2} \pi R^2$, где $R$ — это радиус большого круга.

Ответ: Нужно скопировать рисунок и раскрасить две части, на которые кривая линия делит круг, в два разных цвета.