Номер 8.97, страница 181 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.4. Умножение дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.97, страница 181.

8.97 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Вычислите значение каждого из выражений:

$2 - \frac{1}{2}$, $3 - \frac{1}{3}$, $4 - \frac{1}{4}$, $5 - \frac{1}{5}$.

Запишите следующую разность в цепочке данных выражений. Догадайтесь, чему она равна (проверьте вычислением). Какая разность будет на 10-м месте? Не вычисляя, запишите её значение.

Вычислите значение каждого из выражений

Для вычисления значений представим целое число в виде дроби с соответствующим знаменателем и выполним вычитание.

$2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

$3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

$5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$; $2\frac{2}{3}$; $3\frac{3}{4}$; $4\frac{4}{5}$.

Запишите следующую разность в цепочке данных выражений. Догадайтесь, чему она равна (проверьте вычислением).

В данной последовательности выражений ($2 - \frac{1}{2}$, $3 - \frac{1}{3}$, $4 - \frac{1}{4}$, $5 - \frac{1}{5}$) можно заметить закономерность: целая часть (уменьшаемое) и знаменатель дроби (вычитаемое) каждый раз увеличиваются на 1. Таким образом, следующее выражение в цепочке будет иметь вид:

$6 - \frac{1}{6}$

Можно предположить, что результат будет $5\frac{5}{6}$, продолжая закономерность в ответах: $1\frac{1}{2}$, $2\frac{2}{3}$, $3\frac{3}{4}$, $4\frac{4}{5}$. Проверим это вычислением:

$6 - \frac{1}{6} = \frac{36}{6} - \frac{1}{6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$

Предположение оказалось верным.

Ответ: Следующая разность в цепочке: $6 - \frac{1}{6}$. Ее значение равно $5\frac{5}{6}$.

Какая разность будет на 10-м месте? Не вычисляя, запишите её значение.

Общий вид выражения для n-го места в этой последовательности можно записать как $(n+1) - \frac{1}{n+1}$.

• 1-е место: $n=1 \rightarrow (1+1) - \frac{1}{1+1} = 2 - \frac{1}{2}$
• 2-е место: $n=2 \rightarrow (2+1) - \frac{1}{2+1} = 3 - \frac{1}{3}$
• 3-е место: $n=3 \rightarrow (3+1) - \frac{1}{3+1} = 4 - \frac{1}{4}$
• и так далее...

Чтобы найти разность, которая будет на 10-м месте, подставим $n=10$ в нашу формулу:

$(10+1) - \frac{1}{10+1} = 11 - \frac{1}{11}$

Согласно заданию, вычислять результат не требуется.

Ответ: $11 - \frac{1}{11}$.