Номер 8.92, страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 8. Действия с дробями. 8.4. Умножение дробей. Упражнения - номер 8.92, страница 180.

Условие.

8.92 а) Одна швея может выполнить работу за 4 ч, другая — за 5 ч. Какую часть работы они выполнят, работая вместе, за 2 ч; за $ \frac{3}{4} $ ч?

б) Рабочий может выполнить заказ за 4 ч, а его ученик — за 8 ч. Успеют ли они выполнить весь заказ за $ 2 \frac{2}{3} $ ч, если будут работать вместе?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы найти, какую часть работы выполнят две швеи, работая вместе, нужно сначала определить их совместную производительность (скорость работы).

1. Производительность первой швеи — это часть работы, которую она выполняет за 1 час. Если всю работу она выполняет за 4 часа, то ее производительность равна $P_1 = \frac{1}{4}$ работы в час.

2. Аналогично, производительность второй швеи, которая выполняет всю работу за 5 часов, равна $P_2 = \frac{1}{5}$ работы в час.

3. При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность $P_{общ}$ равна:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$P_{общ} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$ работы в час.

4. Теперь найдем, какую часть работы они выполнят за указанное время. Объем выполненной работы $A$ равен произведению производительности $P$ на время $t$ ($A = P \cdot t$).

За 2 часа они выполнят:

$A_1 = P_{общ} \cdot 2 = \frac{9}{20} \cdot 2 = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ часть работы.

За $\frac{3}{4}$ часа они выполнят:

$A_2 = P_{общ} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 4} = \frac{27}{80}$ часть работы.

Ответ: за 2 часа швеи выполнят $\frac{9}{10}$ работы, а за $\frac{3}{4}$ часа — $\frac{27}{80}$ работы.

б)

Чтобы определить, успеют ли рабочий и ученик выполнить заказ, нужно рассчитать, какую часть заказа они смогут сделать за отведенное время, работая вместе.

1. Найдем производительность рабочего и ученика.

Производительность рабочего: $P_{р} = \frac{1}{4}$ заказа в час.

Производительность ученика: $P_{у} = \frac{1}{8}$ заказа в час.

2. Найдем их совместную производительность $P_{общ}$, сложив их индивидуальные производительности:

$P_{общ} = P_{р} + P_{у} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$P_{общ} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ заказа в час.

3. Теперь проверим, какую часть работы они выполнят за $2\frac{2}{3}$ часа. Сначала переведем время в неправильную дробь:

$t = 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ часа.

4. Вычислим объем выполненной работы $A$ за это время:

$A = P_{общ} \cdot t = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = 1$

Так как выполненная работа равна 1, это означает, что они выполнят весь заказ ровно за $2\frac{2}{3}$ часа.

Ответ: да, успеют.