Номер 8.92, страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.4. Умножение дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.92, страница 180.

8.92 а) Одна швея может выполнить работу за 4 ч, другая — за 5 ч. Какую часть работы они выполнят, работая вместе, за 2 ч; за $ \frac{3}{4} $ ч?

б) Рабочий может выполнить заказ за 4 ч, а его ученик — за 8 ч. Успеют ли они выполнить весь заказ за $ 2 \frac{2}{3} $ ч, если будут работать вместе?

а)

Чтобы найти, какую часть работы выполнят две швеи, работая вместе, нужно сначала определить их совместную производительность (скорость работы).

1. Производительность первой швеи — это часть работы, которую она выполняет за 1 час. Если всю работу она выполняет за 4 часа, то ее производительность равна $P_1 = \frac{1}{4}$ работы в час.

2. Аналогично, производительность второй швеи, которая выполняет всю работу за 5 часов, равна $P_2 = \frac{1}{5}$ работы в час.

3. При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность $P_{общ}$ равна:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$P_{общ} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$ работы в час.

4. Теперь найдем, какую часть работы они выполнят за указанное время. Объем выполненной работы $A$ равен произведению производительности $P$ на время $t$ ($A = P \cdot t$).

За 2 часа они выполнят:

$A_1 = P_{общ} \cdot 2 = \frac{9}{20} \cdot 2 = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ часть работы.

За $\frac{3}{4}$ часа они выполнят:

$A_2 = P_{общ} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 4} = \frac{27}{80}$ часть работы.

Ответ: за 2 часа швеи выполнят $\frac{9}{10}$ работы, а за $\frac{3}{4}$ часа — $\frac{27}{80}$ работы.

б)

Чтобы определить, успеют ли рабочий и ученик выполнить заказ, нужно рассчитать, какую часть заказа они смогут сделать за отведенное время, работая вместе.

1. Найдем производительность рабочего и ученика.

Производительность рабочего: $P_{р} = \frac{1}{4}$ заказа в час.

Производительность ученика: $P_{у} = \frac{1}{8}$ заказа в час.

2. Найдем их совместную производительность $P_{общ}$, сложив их индивидуальные производительности:

$P_{общ} = P_{р} + P_{у} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$P_{общ} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ заказа в час.

3. Теперь проверим, какую часть работы они выполнят за $2\frac{2}{3}$ часа. Сначала переведем время в неправильную дробь:

$t = 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ часа.

4. Вычислим объем выполненной работы $A$ за это время:

$A = P_{общ} \cdot t = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = 1$

Так как выполненная работа равна 1, это означает, что они выполнят весь заказ ровно за $2\frac{2}{3}$ часа.

Ответ: да, успеют.